Statistics · AP Statistics
Pruebas ji cuadrada
conteos frente a lo esperado
Una prueba ji cuadrada pregunta si los conteos en las categorías están demasiado lejos de lo que predice una hipótesis como para atribuirlo al azar.
Un fabricante de dulces dice que sus bolsas son 24% blue, 20% orange, 16% green, 14% yellow, 13% red, 13% brown. Se cuenta una bolsa de 200 (barras negras). Si la afirmación es cierta, la bolsa debería tener cerca de 200 × 0.24 = 48 azules, y así con los demás (fantasmas azules).
Ninguna bolsa coincide exactamente. Las varillas rojas son las diferencias, observado − esperado. Cada diferencia se eleva al cuadrado y se divide entre su conteo esperado, y las piezas se apilan en un solo número, el estadístico ji cuadrada, χ² = 12.11.
Un χ² pequeño significa que los conteos están cerca de la afirmación; un χ² grande, que no. Este capítulo pregunta qué tan grande es demasiado grande: para una variable frente a una distribución declarada (bondad de ajuste) y para tablas de doble entrada (homogeneidad e independencia).
lo que produciría solo el azar
Las muestras aleatorias varían. Para juzgar un resultado, compáralo con los resultados que produce el azar por sí solo cuando la afirmación es verdadera.
La figura llena 300 bolsas de 200 al azar, exactamente con la mezcla afirmada. Cada bolsa simulada (izquierda) se aleja un poco de los conteos esperados, y su χ² queda como un punto en el diagrama de puntos.
Aun con la afirmación verdadera, χ² nunca es 0 y suele ser de unas pocas unidades. Estos 300 valores tienen un promedio de 4.99. Solo 10 de los 300 (en rojo) alcanzan el 12.11 de la bolsa real: una proporción de 0.033.
Esa es la lógica de toda prueba: si la afirmación fuera verdadera, ¿con qué frecuencia veríamos un resultado al menos así de extremo? Si pocas veces, el resultado es evidencia estadísticamente significativa en contra de la afirmación. Si con frecuencia, los datos no dan motivo para dudar de ella, lo cual no prueba que sea verdadera.
La curva gris es la distribución χ² hacia la cual se acumulan los puntos. Nos permite hallar la probabilidad sin simular (8.3).
hipótesis, conteos esperados, condiciones
Una prueba ji cuadrada de bondad de ajuste contrasta si la distribución de una variable categórica coincide con una distribución afirmada.
Las hipótesis se refieren a las proporciones de la población, nunca a los conteos de la muestra:
H0: pazul = 0.24, pnaranja = 0.2, … , pcafé = 0.13 (la distribución afirmada es correcta).
Ha: al menos una de las proporciones difiere de la afirmación.
Ha no dice que “todas difieren” y no indica ninguna dirección.
Los conteos esperados son n × pi, calculados a partir de H0:
| color | blue | orange | green | yellow | red | brown |
|---|
| p afirmada | 0.24 | 0.2 | 0.16 | 0.14 | 0.13 | 0.13 |
|---|
| esperado | 48 | 40 | 32 | 28 | 26 | 26 |
|---|
Suman n = 200 y no tienen que ser números enteros: no los redondees.
Condiciones. Aleatoriedad: una muestra aleatoria (o un experimento aleatorizado). 10%: si el muestreo es sin reemplazo, n ≤ 10% de la población (200 dulces es mucho menos que el 10% de todos los dulces del fabricante). Conteos grandes: todos los conteos esperados son al menos 5; aquí el menor es 26. Revisa los conteos esperados, no los observados.
diferencias al cuadrado, escaladas por lo esperado
El estadístico χ² suma, sobre todas las categorías, la diferencia al cuadrado entre lo observado y lo esperado, dividida entre el conteo esperado.
| color | O | E | O − E | (O − E)²/E |
|---|
| blue | 34 | 48 | −14 | 4.08 |
| orange | 48 | 40 | +8 | 1.60 |
| green | 41 | 32 | +9 | 2.53 |
| yellow | 19 | 28 | −9 | 2.89 |
| red | 27 | 26 | +1 | 0.04 |
| brown | 31 | 26 | +5 | 0.96 |
| total | 200 | 200 | 0 | 12.11 |
|---|
Las diferencias siempre suman 0, así que no se pueden sumar tal cual: al elevarlas al cuadrado, todas cuentan. Dividir entre E hace que una diferencia pese más cuando se esperaba poco: fallar por 10 de 20 esperados importa más que fallar por 10 de 200.
Los grados de libertad son el número de categorías menos uno: df = 6 − 1 = 5. Una vez conocidos cinco conteos, el sexto queda fijado por el total.
La mayor contribución indica dónde discrepan más los datos y la afirmación: blue, 4.08 de los 12.11, con 34 observados frente a 48 esperados: menos dulces blue de lo afirmado.
qué tan adentro de la cola
El valor p es el área bajo la curva χ² con los df de la prueba, en el χ² observado y más allá: los valores grandes son la evidencia contra H0, por eso la prueba siempre mira la cola derecha.
La simulación de 8.1 dio 0.033, una respuesta cercana.
Interpretación. Suponiendo que la distribución afirmada por el fabricante es correcta, hay una probabilidad de 0.033 de obtener un χ² de 12.11 o mayor solo por azar en una muestra aleatoria de 200 dulces.
Conclusión. Como p = 0.033 < α = 0.05, se rechaza H0. Hay evidencia convincente de que la distribución de colores de los dulces de este fabricante difiere de lo afirmado.
Con una tabla en lugar de tecnología: el valor crítico para df = 5 y una cola de 0.05 es χ²* = 11.07 (azul). 12.11 > 11.07, así que p < 0.05.
Si p hubiera sido mayor que α, la conclusión sería “no hay evidencia convincente de que la distribución difiera”: nunca “la afirmación es correcta” ni “se acepta H0”. Además, una prueba χ² no puede decir en qué sentido se desvía la distribución; para eso, observa las mayores contribuciones.
una familia, una para cada df
Las distribuciones χ² son una familia de curvas de densidad, una para cada número de grados de libertad.
Cada una toma solo valores de 0 o más, ya que χ² es una suma de cuadrados. Cada una tiene sesgo a la derecha. Su media es df y, para df ≥ 2, su pico está en df − 2.
Al crecer df, la curva se mueve a la derecha, se ensancha y se vuelve menos sesgada (la curva roja recorre de df = 1 a 12). Más categorías significan más términos en la suma, así que se espera un χ² mayor aunque H0 sea verdadera.
Por eso el mismo χ² puede ser una evidencia fuerte con un df y ninguna con otro. Los valores críticos superiores:
| df | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 10 |
|---|
| cola 0.05 | 3.84 | 5.99 | 7.81 | 9.49 | 11.07 | 18.31 |
|---|
| cola 0.01 | 6.63 | 9.21 | 11.34 | 13.28 | 15.09 | 23.21 |
|---|
Una revisión rápida: un χ² cercano a su df es normal. El 12.11 de los dulces es más del doble de su df de 5.
La distribución χ² es solo una aproximación a la verdadera distribución muestral del estadístico. Es buena cuando todos los conteos esperados son al menos 5: por eso importa la condición.
a partir de los márgenes
En una tabla de doble entrada, cada conteo esperado es el total de la fila por el total de la columna, dividido entre el total de la tabla.
Una muestra aleatoria de 400 adultos, cada uno clasificado por grupo de edad y principal fuente de noticias. Conteos observados, con los esperados entre paréntesis:
| online | TV | print | total |
|---|
| 18–34 | 64 (48.2) | 46 (49.6) | 24 (36.2) | 134 |
|---|
| 35–54 | 43 (47.5) | 48 (48.8) | 41 (35.6) | 132 |
|---|
| 55+ | 37 (48.2) | 54 (49.6) | 43 (36.2) | 134 |
|---|
| total | 144 | 148 | 108 | 400 |
|---|
Por qué funciona. En total, 144 de 400 adultos (36%) se informan online. Si el grupo de edad no influyera, la misma proporción de los 134 adultos de 18–34 lo haría: 134 × 144/400 = 48.24.
Los conteos esperados tienen los mismos márgenes que los observados. La figura calcula una celda a la vez: la tapa roja es el conteo esperado y los mosaicos azules son los dos totales de los que proviene.
Conserva los decimales. Los conteos esperados son promedios sobre muchas muestras, no conteos que se puedan observar.
el diseño decide
La misma tabla de doble entrada puede provenir de dos diseños, y el diseño determina de qué prueba se trata.
Homogeneidad (izquierda): muestras aleatorias separadas de varias poblaciones (o grupos de un experimento), con una variable categórica registrada. Aquí, una muestra de cada grupo de edad, a cada persona se le pregunta su fuente de noticias. Los totales de las filas los fijó el diseño.
H0: la distribución de la fuente de noticias es la misma en los tres grupos de edad. Ha: la distribución de la fuente de noticias no es la misma en los tres.
Independencia (derecha): una muestra aleatoria de una población, con dos variables categóricas registradas para cada individuo. Solo se fijó el total de la tabla; cuántos caen en cada grupo de edad depende del azar.
H0: no hay asociación entre el grupo de edad y la fuente de noticias entre los adultos (son independientes). Ha: hay una asociación (no son independientes).
| homogeneidad | independencia |
|---|
| muestras | una por población o grupo | una |
| variables | una | dos |
| pregunta | ¿misma distribución en cada una? | ¿hay asociación? |
La aritmética es la misma: conteos esperados, χ², df y valor p. Condiciones, para ambas: muestras aleatorias (o asignación aleatoria); cada muestra de a lo sumo el 10% de su población; todos los conteos esperados de al menos 5.
χ² y df = (r − 1)(c − 1)
Para una tabla de doble entrada, χ² suma (O − E)²/E en todas las celdas, y df = (filas − 1)(columnas − 1).
La muestra de fuentes de noticias es una sola muestra con dos variables: una prueba de independencia, con α = 0.05.
H0: el grupo de edad y la fuente principal de noticias son independientes entre los adultos. Ha: están asociados.
Condiciones. Una muestra aleatoria; 400 es menos del 10% de todos los adultos; el menor conteo esperado es 35.6, al menos 5.
La contribución de cada celda (columnas rojas):
| online | TV | print |
|---|
| 18–34 | 5.15 | 0.26 | 4.10 |
|---|
| 35–54 | 0.43 | 0.01 | 0.81 |
|---|
| 55+ | 2.62 | 0.39 | 1.29 |
|---|
Por qué (r − 1)(c − 1): con los márgenes fijos, una vez llenada una esquina de 2 × 2 de la tabla, todas las demás celdas se obtienen a partir de los totales.
Las mayores contribuciones: 18–34, online (5.15: 64 observados, 48.2 esperados) y 18–34, print (4.10: 24 observados, 36.2 esperados). Los adultos más jóvenes se inclinan por lo digital y se alejan de lo impreso.
evidencia de una asociación, no de una causa
El valor p es el área más allá de χ² bajo la curva con df = (r − 1)(c − 1), y la conclusión trata sobre las poblaciones, en contexto.
Conclusión. Como p = 0.0046 < α = 0.05, se rechaza H0. Hay evidencia convincente de una asociación entre el grupo de edad y la fuente principal de noticias entre los adultos.
Por el valor crítico: χ²* = 9.49 para df = 4, y 15.06 > 9.49.
No es una causa. Este es un estudio observacional: la prueba encuentra una asociación y no dice nada sobre que la edad cause la elección de la fuente de noticias. Solo un experimento aleatorizado, probado por homogeneidad entre sus grupos de tratamiento, puede mostrar causalidad.
Si los mismos conteos vinieran de tres muestras independientes, la conclusión sería: evidencia convincente de que la distribución de la fuente de noticias difiere entre los tres grupos de edad.
Errores comunes. Escribir hipótesis sobre la muestra; usar porcentajes en lugar de conteos; revisar los conteos observados en vez de los esperados; df = rc − 1; concluir que H0 es verdadera cuando p es grande.
z para proporciones, o χ²
Para datos categóricos, la elección depende de cuántas muestras hay, cuántas variables y cuántas categorías.
| los datos | procedimiento |
|---|
| una muestra, una variable de dos categorías, una afirmación sobre p | prueba z de una muestra (o intervalo) para p |
| dos muestras o grupos, una variable de dos categorías | z de dos muestras para p1 − p2 |
| una muestra, una variable con varias categorías, frente a una afirmación | χ² de bondad de ajuste, df = k − 1 |
| varias muestras o grupos, una variable | χ² de homogeneidad, df = (r − 1)(c − 1) |
| una muestra, dos variables | χ² de independencia, df = (r − 1)(c − 1) |
Los procedimientos z estiman: dan un intervalo de confianza y permiten una Ha unilateral (“mayor que”). Las pruebas χ² solo contrastan, y su Ha no tiene dirección.
Con dos grupos y dos categorías, la prueba z de dos muestras con Ha bilateral y la prueba χ² de homogeneidad dan el mismo valor p (χ² = z2).
Lee primero el diseño: ¿cómo se tomó la muestra y qué se registró de cada individuo? La figura muestra la forma que cada diseño deja en los datos y elige un procedimiento para cada pregunta.
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