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Inferencia para pendientes
¿la tendencia es real?
Una recta de mínimos cuadrados describe una muestra. La inferencia pregunta qué dice esa recta sobre la recta de toda la población.
Un profesor elige al azar 18 estudiantes y registra cuántas horas estudió cada uno para un examen y la calificación que obtuvo. En general, a más horas, mayor calificación. Pero ¿la tendencia es real, o una muestra tan pequeña podría mostrarla por casualidad?
La figura construye una población en la que se conoce la respuesta. La recta negra es su recta de regresión poblacional: la calificación media para cada número de horas. En cada x, las calificaciones se distribuyen normalmente alrededor de la recta (las curvas azules). La calificación de cada estudiante se extrae de la curva correspondiente a sus horas.
La recta roja se ajusta a la muestra: pendiente b = 2.247, mientras que la pendiente de la población es β = 2.5. En la práctica, β nunca se conoce y b es todo lo que tenemos.
Este capítulo plantea el modelo, muestra cómo varía b de una muestra a otra, verifica las condiciones, construye un intervalo de confianza para β, prueba si β = 0, lo lee todo en la salida de computadora y termina con la elección del procedimiento adecuado entre todos los del curso.
una distribución normal de y en cada x
La inferencia para una pendiente supone un modelo: para cada valor de x, las respuestas y son normales, están centradas en una recta y tienen la misma dispersión.
α, β y σ son parámetros: la ordenada al origen y la pendiente de la recta de regresión poblacional, y la desviación estándar de y alrededor de ella, igual para todo x. Una muestra estima cada uno con un estadístico:
| parámetro | estadístico | en la figura |
|---|
| α (ordenada al origen) | a | 50 → 49.783 |
| β (pendiente) | b | 2.5 → 2.247 |
| σ (DE alrededor de la recta) | s | 9 → 9.834 |
| μy (media de y en x) | ŷ | α + βx → a + bx |
β es el cambio en la calificación media por cada hora adicional, entre todos los estudiantes de la escuela. Aquí β = 2.5: con 3 horas la media es 57.5, y con 5 horas es 62.5.
s estima σ a partir de los residuos, dividiendo entre n − 2 porque primero se estimaron dos números (a y b):
La pregunta detrás de cada prueba de este capítulo: ¿los puntos realmente se alinean, o una pendiente como b aparecería por casualidad aunque β fuera 0?
la distribución muestral de b
Otra muestra de la misma población da otra recta y otra pendiente. Las pendientes de todas las muestras posibles forman la distribución muestral de b.
En la figura se mantienen las mismas 18 horas y se extraen nuevas calificaciones, 100 veces. Cada recta ajustada (roja y luego gris) se inclina un poco distinto alrededor de la recta verdadera, y cada pendiente cae en el diagrama de puntos.
Cuando el modelo se cumple, la distribución muestral de b es normal, centrada en β (b es un estimador insesgado), con desviación estándar
donde σx es la desviación estándar de los valores de x (dividiendo entre n). Las 100 pendientes tienen media 2.47 y desviación estándar 0.83, cercanas a 2.5 y 0.81.
Qué hace que b varíe menos: menos dispersión alrededor de la recta (σ menor), más dispersión en x (σx mayor) y una muestra más grande. Separar los valores de x fija mejor una recta que amontonarlos.
σ se desconoce, así que se sustituye por s, y σx√n por sx√(n − 1). Eso da el error estándar de la pendiente, y al estandarizar con él se obtiene una distribución t con n − 2 grados de libertad:
LINER: lineal, independiente, normal, DE igual, aleatorio
El intervalo y la prueba solo son confiables cuando el modelo se ajusta. Verifica cinco condiciones con los datos antes de hacer cualquier cálculo.
| condición | cómo verificarla |
|---|
| Lineal | el diagrama de dispersión es más o menos recto; la gráfica de residuos no muestra curva |
| Independiente | muestreo sin reemplazo: n ≤ 10% de la población |
| Normal | histograma o diagrama de puntos de los residuos: sin sesgo fuerte ni valores atípicos |
| Equal (DE igual) | gráfica de residuos: sin forma de abanico, la misma dispersión en cada x |
| Random (aleatorio) | una muestra aleatoria o un experimento aleatorizado |
Para los 18 estudiantes: la gráfica de residuos (centro) es una banda sin patrón alrededor de 0, sin curva ni abanico, así que se cumplen las condiciones de linealidad y de DE igual. El histograma de residuos (derecha) tiene un solo pico y no hay sesgo fuerte; el residuo mayor es 21.2, aproximadamente 2.2 s, no es un valor atípico extremo. Los estudiantes fueron una muestra aleatoria, y 18 ≤ 10% de los 950 estudiantes de la escuela.
Errores comunes. Verifica la normalidad en los residuos, no en x ni en y. Aquí no existe una regla de “n ≥ 30” que justifique una gráfica de residuos sesgada. Una gráfica de residuos curva significa que la pendiente no es el resumen adecuado: ningún intervalo puede arreglar eso.
Coef, EE Coef, T, P, S y R-cuad
El software imprime la regresión en una tabla estándar. Todos los números que necesita este capítulo están en ella.
| Predictor | Coef | SE Coef | T | P |
|---|
| Constante | 49.783 | 4.749 | 10.48 | 0.000 |
| Horas | 2.247 | 0.883 | 2.55 | 0.022 |
| S = 9.834 R-Sq = 28.8% R-Sq(adj) = 24.4% |
Coef. La fila Constant da la ordenada al origen a; la fila con el nombre de la variable explicativa da la pendiente b:
SE Coef de Hours es SEb = 0.883. T = Coef/SE Coef = 2.55: el estadístico de prueba para H0: β = 0. P = 0.022 es su valor P bilateral.
S = s = 9.834: las calificaciones reales suelen diferir de la calificación predicha en unos 9.8 puntos. R-Sq = r2: 28.8% de la variación en la calificación se explica por el modelo lineal con las horas. Entonces r = +√0.288 = 0.537, positivo como la pendiente.
Interpretación de la pendiente: por cada hora adicional de estudio, la calificación predicha aumenta en unos 2.247 puntos.
Errores comunes. La T y la P de la fila Constant prueban α = 0, rara vez una pregunta que valga la pena. S no es SEb. R-Sq(adj) no se necesita en este curso.
b ± t*·SEb, con n − 2 grados de libertad
Un intervalo de confianza para β es la pendiente muestral más o menos un margen de error.
Procedimiento. Con n = 18, df = 16 y una confianza de 95%, t* = 2.120. A partir de la salida:
Conclusión. Tenemos 95% de confianza en que el intervalo de 0.375 a 4.119 contiene la pendiente de la recta de regresión poblacional que relaciona la calificación del examen con las horas de estudio de los estudiantes de esta escuela. Es decir, la calificación media aumenta entre 0.38 y 4.12 puntos por cada hora adicional.
El nivel de confianza se refiere al método: en muestras repetidas, alrededor de 95% de los intervalos construidos así contienen a β. A la derecha, 24 de 25 intervalos de 25 muestras lo hacen. Un intervalo en particular contiene a β o no lo contiene.
La figura recorre el nivel de 80% a 99%: un nivel mayor requiere una t* más grande y da un intervalo más ancho. Con 99%, t* = 2.921 y el intervalo es (−0.332, 4.826).
Una respuesta completa nombra el procedimiento (un intervalo t para la pendiente), verifica las condiciones, hace los cálculos y concluye en contexto.
¿está la pendiente afirmada entre los valores plausibles?
Los valores dentro de un intervalo de confianza son los valores plausibles de β. Un valor afirmado que queda fuera del intervalo es evidencia en contra de la afirmación.
¿Existe una relación? Si β = 0, la calificación media no cambia con las horas: no hay relación lineal. El 0 no está en el intervalo de 95% (0.375, 4.119), y todos sus valores son positivos. Por lo tanto, los datos dan evidencia convincente de que β > 0: en la población, más horas se asocian con calificaciones medias más altas.
Con 99% el intervalo es (−0.332, 4.826). Contiene al 0, así que con ese nivel el 0 es plausible: la evidencia no es lo bastante fuerte para descartar que no haya relación.
Una afirmación. Una empresa de asesorías dice que cada hora adicional de estudio vale 5 puntos en promedio. 5 queda por encima de ambos intervalos, así que los datos dan evidencia convincente en contra de la afirmación: la pendiente verdadera parece ser menor.
Un intervalo de C% y una prueba bilateral con α = 1 − C coinciden: la prueba rechaza β = β0 exactamente cuando β0 queda fuera del intervalo. El intervalo dice más: qué tan grande es plausiblemente la pendiente.
Errores comunes. Un valor dentro del intervalo es plausible, no demostrado: “el 0 está en el intervalo, así que no hay relación” es incorrecto. Y también es incorrecto decir “hay una probabilidad de 95% de que β esté en el intervalo”: β es fija; el 95% es la tasa de captura del método.
H0: β = 0, frente a la alternativa que quieres demostrar
Una prueba de significancia para la pendiente pregunta si la pendiente muestral está demasiado lejos de un valor hipotético, normalmente 0, como para atribuirla al azar.
Las hipótesis se refieren a la pendiente poblacional β, nunca a b:
H0: β = 0 dice que no hay relación lineal: la media de y es la misma para todo x. Define β en contexto: “la pendiente de la recta de regresión poblacional que relaciona la calificación del examen con las horas de estudio de todos los estudiantes de la escuela”. Elige Ha a partir de la pregunta, antes de ver los datos.
El profesor pregunta si la calificación y las horas tienen alguna relación lineal, así que Ha: β ≠ 0, con α = 0.05. El procedimiento es una prueba t para la pendiente, con las mismas condiciones LINER, verificadas en 9.2.
Por qué hace falta una prueba. A la derecha está el mundo de H0: la recta verdadera es plana y se extraen muestras de ella con las mismas horas y la misma dispersión que las nuestras. Sus rectas ajustadas aun así se inclinan, por azar. De 200 muestras así, 3 tuvieron una pendiente tan pronunciada como la nuestra, 2.247, en cualquier dirección. Nuestra pendiente sería inusual si H0 fuera verdadera.
H0 puede nombrar otro valor, β = β0, como una pendiente afirmada; la prueba es la misma con β0 en lugar de 0.
t = (b − β0)/SEb, y P a partir de la distribución t
El estadístico de prueba cuenta cuántos errores estándar separan la pendiente muestral de la pendiente hipotética.
con df = n − 2 = 16. La salida imprime T = 2.55, calculada con b y SEb sin redondear; cualquiera de las dos sirve.
El valor P es la probabilidad, si H0 es verdadera, de obtener una t al menos así de alejada. Ha es bilateral, así que cuentan ambas colas: P = 2P(t ≥ 2.55) = 0.022, como imprime la salida. En la figura, las muestras nulas de 9.4 dejan caer sus valores de t sobre la curva t; 4 de 200, 0.020, caen en las colas rojas.
Interpretación. Suponiendo que no hay relación lineal entre las horas y la calificación en la población, hay una probabilidad de 0.022 de obtener, solo por azar, una pendiente muestral al menos tan lejana de 0 como 2.247.
Conclusión. Como P = 0.022 < α = 0.05, se rechaza H0. Hay evidencia convincente de una relación lineal entre las horas de estudio y la calificación del examen en los estudiantes de esta escuela.
Errores comunes. Nunca “aceptes H0”: no se rechaza. El valor P no es la probabilidad de que H0 sea verdadera. Además, estos estudiantes eligieron su propio tiempo de estudio: fue un estudio observacional, así que muestra una asociación, no que estudiar más cause calificaciones más altas. Solo un experimento aleatorizado respalda la causalidad.
cuando la P impresa no es la respuesta
La T y la P de la salida responden una sola pregunta: una prueba bilateral de β = 0. Otras preguntas requieren un pequeño paso más.
Unilateral. Para Ha: β > 0, el valor P es una sola cola. Cuando b está del lado que predice Ha, divide entre 2 la P impresa: 0.022/2 = 0.0110. Cuando b está del otro lado, el valor P es 1 menos eso, y no hay evidencia a favor de Ha.
Otro β0. Para probar la afirmación de la empresa de tutorías, H0: β = 5 contra Ha: β < 5, calcula t a mano:
Con df = 16: hay evidencia sólida de que la pendiente verdadera es menor que 5, como mostró el intervalo en 9.3.
La prueba y el intervalo coinciden. P = 0.022 < 0.05, y el intervalo de 95% excluye el 0. P = 0.022 > 0.01, y el intervalo de 99% incluye el 0.
Errores. Un error tipo I aquí sería concluir que las horas y la calificación están relacionadas linealmente cuando en la población no lo están; su probabilidad es α. Un error tipo II sería no detectar una relación que sí existe. Las muestras más grandes, más dispersión en x y un α mayor hacen menos probable un error tipo II.
asocia el procedimiento con la pregunta
Cada procedimiento del curso responde un tipo de pregunta. Tres preguntas sobre los datos permiten identificarlo.
1. ¿Qué se midió? Una categoría para cada individuo (proporciones, conteos), un número (medias) o dos números para cada individuo (una pendiente). 2. ¿Cuántas muestras o grupos hay, y están pareados? 3. ¿Estimar o probar? “¿Qué tan grande…?” o “estima…” pide un intervalo; “¿hay evidencia convincente…?” pide una prueba.
| procedimiento | cuándo |
|---|
| z de 1 proporción | una variable categórica, una muestra: p |
| z de 2 proporciones | una variable categórica, dos grupos: p1 − p2 |
| χ² de bondad de ajuste | una variable categórica, toda su distribución frente a una afirmación |
| t de 1 muestra | una variable cuantitativa, una muestra: μ |
| t pareada | dos mediciones en cada individuo: μdiff |
| t de 2 muestras | una variable cuantitativa, dos grupos independientes: μ1 − μ2 |
| χ² de homogeneidad | una variable categórica, varias muestras o tratamientos separados |
| χ² de independencia | dos variables categóricas en una muestra |
| t para la pendiente | dos variables cuantitativas, una relación lineal: β |
Pistas en el enunciado: “proporción”, “porcentaje” → z; “media”, “promedio” → t; “relación” entre variables categóricas → χ²; entre variables cuantitativas → la pendiente.
Errores comunes. Analizar datos pareados como dos muestras (las mismas personas medidas dos veces son datos pareados). Confundir homogeneidad e independencia: depende del diseño, varias muestras o una. Una pregunta sobre correlación necesita la prueba de la pendiente, no una prueba χ².
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