均值的推断

第 7 章 · 均值的推断

关于 μ 的 t 方法

样本均值是总体均值的良好估计,但也只是估计。均值的推断只用样本本身,说明这个估计有多好。

这个图形是模拟,所以这一次真相是已知的:总体均值 μ = 250,标准差为 5。每次随机抽取一个容量为 10 的样本,仅凭各个样本构造区间 x̄ ± t*·s/√n。

区间随样本而变动。这 20 个区间中有 19 个覆盖了 μ;没有覆盖的那个显示为红色。长期来看,有 95% 的区间会覆盖它,这就是“95% 置信”的含义。

本章内容:为什么用 t 而不用 z(7.1);一个均值的置信区间与显著性检验(7.2–7.5),包括配对数据;两个均值之差的同类方法(7.6–7.9);以及如何选择方法(7.10)。

7.1 · t 分布

该担心误差吗?

要将 x̄ 标准化,需要 σ,但我们几乎从不知道它。用样本的 s 代替后,得到的统计量比 z 的波动更大:它服从 t 分布。

对于随机样本,x̄ 的均值为 μ,标准差为 σ/√n。用 s 代替 σ,则 x̄ 的标准误为 s/√n,并且

s 也会随样本而变,在小样本中它往往偏小,所以 t 比 z 更常落在远离 0 的位置。t 分布以 0 为中心,对称,呈钟形,但尾部比标准正态分布更厚。它的形状由自由度决定:随着 df 增大,s 对 σ 的估计更准,曲线也越来越接近正态分布。

图中:df = 4 时,P(|t| > 2) = 0.116,而 z 对应的是 0.046。小样本时若使用 z* = 1.96,区间会过窄:它们包含 μ 的频率低于所声称的水平。t* 可以修正这一点。

总有可能出错。区间可能没有包含 μ;检验可能拒绝一个真的原假设(第一类错误),也可能没有拒绝一个假的原假设(第二类错误)。这些方法能说明出错的频率,却不能说明这一次是否出错。

7.2 · μ 的置信区间

统计量 ± (临界值)(标准误)

单样本 t 区间根据一个随机样本估计总体均值 μ。

一台咖啡机设定每杯倒出 250 mL。随机抽取 16 杯,容量(mL)如下:

x̄ = 247.73 mL,s = 3.60 mL。df = 15 时,95% 置信水平对应的 t* = 2.131。

图中蓝色小球是 x̄,深色杆向两侧各延伸一个标准误,红色杆表示整个区间:向两侧各延伸 t* 个标准误。

结合情境解释:我们有 95% 的把握认为,从 245.81 到 249.64 mL 的区间包含这台机器倒出的所有杯子的真实平均容量。

误差范围 t*·s/√n 随置信水平提高而增大(90%:±1.58;99%:±2.65),并随 n 增大按 1/√n 缩小:样本量变为四倍,误差范围减半。

7.2 · 检验条件

随机、10% 条件,以及正态或大样本

t 区间或检验只有在三个条件成立时才可信。计算之前,要结合情境逐一说明。

随机。数据来自随机样本或随机化实验。

10%。不放回抽样时,n ≤ 总体的 10%,这样各观测值才近似独立。

正态/大样本。总体近似正态,或 n ≥ 30。若 n < 30 且总体形状未知,就画出样本图形:不能有明显的偏态,也不能有离群值。

图中在同一刻度上有三个样本。

在 B 中,Q₁ = 2.40,Q₃ = 6.15,所以高于 6.15 + 1.5(3.75) = 11.78 的值都是离群值:13.7 就是。只有 12 个数据时,x̄ 和 s 会被它拉偏,t 方法不可靠。C 也是偏态,但有 40 个数据,由中心极限定理,x̄ 的抽样分布接近正态。

对咖啡杯的数据,16 < 30,但点图没有明显的偏态或离群值,所以 7.2 的区间成立。

7.3 · 用区间来论证结论

μ 的合理取值

置信区间给出 μ 的合理取值。区间之外的声称值不合理;区间之内的值合理,但并未得到证明。

机器的制造商声称平均每杯倒出 250 mL。95% 区间 245.81 到 249.64 mL 不包含 250(蓝线)。所有合理的取值都低于它:该区间提供了令人信服的证据,表明这台机器平均每杯倒出的量少于 250 mL。

在 99% 置信水平下,区间为 245.07 到 250.38 mL,它确实包含 250,所以在这个水平上该声称是合理的。置信水平越高,区间越宽,被排除的值越少。

“95% 的把握”是什么意思。在所有可能的随机样本中,该方法有 95% 的样本能包含 μ,如开头的图所示。而这一个区间要么包含 μ,要么不包含,我们不知道是哪一种。

常见错误。

• “μ 在 245.81 与 249.64 之间的概率是 95%。”不对:μ 是固定的,概率属于这个方法。
• “95% 的杯子容量在 245.81 到 249.64 mL 之间。”不对:区间针对的是均值,而不是单个杯子,单个杯子的差异要大得多。
• “250 在 99% 区间内,所以均值就是 250。”不对:它只是众多合理取值中的一个。

7.4 · 建立关于 μ 的检验

关于总体均值的假设

单样本 t 检验要问的是:样本是否提供了令人信服的证据,来否定总体均值的某个声称值 μ₀。

质检员要检查机器是否偏离目标,无论偏高还是偏低:

其中 μ 是这台机器倒出的所有杯子的真实平均容量(mL)。假设针对的是参数 μ,绝不是 x̄,并且要在看数据之前确定。如果只关心少倒,H_a:μ < 250 就是单侧检验。

显著性水平 α = 0.05 也要事先确定:它是犯第一类错误的概率,即在 H₀ 为真时拒绝它。

条件与区间相同:随机样本;16 杯少于所倒出全部杯子的 10%;样本中没有明显偏态或离群值,因为 16 < 30。

检验要回答的问题:样本均值 247.73 mL(蓝色)低于 250。以标准误为单位,它低得足够远,使得仅凭偶然很难解释吗?

7.5 · 进行关于 μ 的检验

t 统计量及其 p 值

检验统计量表示 x̄ 与 μ₀ 相差多少个标准误。p 值是在 H₀ 为真时,出现至少同样极端结果的概率。

对于 H_a:μ ≠ 250,两侧尾部都要计入(红色):p 值 = 2P(t ≤ −2.53) = 0.023。

结合情境得出结论。因为 0.023 < α = 0.05,所以拒绝 H₀。有令人信服的证据表明,这台机器倒出的所有杯子的真实平均容量不是 250 mL。

解释 p 值:假设真实均值为 250 mL,在 16 杯的随机样本中,仅凭偶然得到与 250 至少相差 247.73 mL 的样本均值(无论偏高还是偏低)的概率为 0.023。

该检验与 7.3 中的 95% 区间一致,该区间把 250 排除在外:α = 0.05 的双侧检验恰好拒绝 95% 区间之外的那些值。在 α = 0.01 时我们不会拒绝,因为 250 落在 99% 区间内。

未能拒绝并不能说明 H₀ 为真,只说明证据不够有说服力。

7.5 · 配对数据

由差值组成的一个样本

当每个个体被测量两次,或个体构成配对时,就分析差值:它们构成一个样本,单样本 t 程序适用于它们。

随机抽取 12 名学生,在一门短期课程前后各做一次阅读速度测试(每分钟字数)。图中每名学生是一根连接课前(灰色)与课后(黑色)的杆。这些杆滑动到从 0 开始,它们的长度就是差值 d = 课后 − 课前:

x̄_d = 9.92,s_d = 8.01。检验 H₀: μ_d = 0,备择假设 H_a: μ_d > 0,其中 μ_d 是这类学生真实的平均提高量。

p 值 = 0.0006:有确凿证据表明该课程能提高平均阅读速度。μ_d 的 95% 置信区间为 4.83 到 15.00 字/分钟(红色)。

条件要在差值上检查:随机样本,12 < 此类学生总数的 10%,并且由于 12 < 30,差值的点图没有明显偏斜或离群值。

7.6 · μ₁ − μ₂ 的置信区间

两个独立样本

要比较两个总体(或两种处理)的均值,用 μ₁ − μ₂ 的两样本 t 区间。

一位评测人员在同一只手电筒中测试两个品牌电池的随机样本(发光小时数):

自由度。技术工具用公式算得此处 df = 24.0,所以 t* = 2.064。不用工具时,保守的做法是取较小的 n − 1 = 11,t* = 2.201:区间稍宽,为 (0.25, 2.27)。要说明你用的是哪一种。

条件:两个独立的随机样本(或通过随机分配形成的两组);每个 n ≤ 其总体的 10%;每个 n ≥ 30,或两个样本都没有明显偏斜或离群值。

解释:我们有 95% 的把握认为,从 0.31 到 2.21 小时的区间包含了平均电池寿命的真实差值(品牌 A 减品牌 B)。

7.7 · 论证关于 μ₁ − μ₂ 的结论

0 落在哪里?

对于均值之差,要看的值通常是 0:没有差异。如果 0 在区间之外,该区间就给出了存在差异的确凿证据。

说法 1:品牌 A 平均持续时间更长。从 0.31 到 2.21 小时的每个值都是正数,所以 0 不是可信的值:有确凿证据表明 μ_A − μ_B > 0,即品牌 A 平均持续时间更长。

说法 2:品牌 A 平均至少长 2 小时。2 在区间内,所以是可信的,但远低于它的值也是可信的,一直低到 0.31。该区间没有为这一说法提供确凿证据(也没有反对它)。

读符号时要看减法的顺序。A − B 从 0.31 到 2.21,与 B − A 从 −2.21 到 −0.31 是同一个结论。

结论针对的是所抽样总体的均值。如果数据来自随机化实验,结论还涉及因果关系;来自随机抽样则不然。

7.8 · 建立关于 μ₁ − μ₂ 的检验

配对还是双样本?

先判断数据是怎么得到的。每个个体测量两次,或配对数据,用对差值的配对 t 检验;两个独立的组,用两样本 t 检验。

对于两个独立的组:

要结合情境定义 μ₁ 和 μ₂,并说明谁减去谁。对于配对数据,参数是单个均值差 μ_d。

为什么重要。7.5 中的阅读速度,被错误地当作两个独立样本处理:

均值相同,差值也相同:9.92。但学生彼此之间的差异(s ≈ 31 字/分钟)远大于单个学生自身的变化(s_d = 8.01)。两样本分析把这些学生间的差异全当作噪声;配对则消除了它。图中蓝色区间是错误的分析,红色区间是正确的。

两样本程序还要求各组相互独立,而同一名学生的课前和课后成绩并不独立。

7.9 · 进行关于 μ₁ − μ₂ 的检验

双样本 t 检验

检验统计量是样本均值之差减去 H₀ 下的值,再用标准误来度量。

7.6 中的评测人员事先就想知道品牌 A 是否更持久。H₀: μ_A − μ_B = 0,H_a: μ_A − μ_B > 0,其中每个 μ 是该品牌电池在这只手电筒中的真实平均寿命,α = 0.05。

取 df = 24.0(技术工具),p 值为 P(t ≥ 2.74) = 0.0057,即红色尾部(在角落中放大显示);用保守的 df = 11 则为 0.0096。无论哪种,都小于 0.05。

结论:拒绝 H₀。有确凿证据表明,在这只手电筒中,品牌 A 电池平均比品牌 B 更持久。

不要合并两个标准差:AP 课程使用上面的非合并标准误。也不要分别做两个单样本检验再比较:问题是关于差值的,所以程序也必须针对差值。

7.10 · 选择方法

选择、实施与表达

大部分工作在于选择。按顺序问:是什么类型的参数、有几个样本、是估计还是检验?

均值还是比例?定量数据(每个个体一个测量值)对应均值 μ 和 t。分类数据(是或否)对应比例 p 和 z(第 6 章)。均值用 t,是因为 σ 用 s 来估计。

单样本、配对还是两样本?配对数据是差值构成的一个样本。两个独立样本或两个处理组,用两样本程序。

区间还是检验?“估计”或“多少”要用区间;“是否有确凿证据”要用检验。

然后表达,分四步:陈述:结合情境写出参数和假设(或置信水平);计划:写出程序名称,并检查随机性、10% 条件和正态/大样本条件;执行:统计量、df 以及 p 值或区间;结论:结合情境,与 α 联系起来,不要超出研究设计所允许的范围。