多项式函数与有理函数 · AP Precalculus

第1章 · 多项式函数与有理函数

输出如何随输入变化

函数把每个输入与一个输出配成一对。预备微积分要问的是:随着输入的变化,输出怎样变化:在哪里上升、在哪里下降,有多快,以及在很远的地方会发生什么。

图像是三次函数 $p(x) = \tfrac{1}{2}(x + 2)(x - 1)(x - 3)$ 。它的因式显示了它的零点 −2, 1, 3,即它与 x 轴相交之处。红色割线沿曲线滑动;它的斜率就是在其区间上的平均变化率。在 [0, 2] 上:

\frac{p(2) - p(0)}{2 - 0} = \frac{-2 - 3}{2} = -2.5

本章是 AP Precalculus 的第 1 单元,也是考试中最大的单元(约占 30–40%)。它为多项式函数(x 的幂之和)和有理函数(一个多项式除以另一个)备好工具:变化率、零点、端点行为、渐近线与空洞、变换,最后是选择并建立函数来为真实数据建模。

1.1 · 一同变化

输入与输出,一起变化

函数 f 把每个输入 x 送到一个输出 f(x)。输入一变化,输出也随之变化,二者同步。图像把两者同时画出:输入沿 x 轴,输出是高度。

让 x 移动,跟着 $f(x) = x^3 - 3x$ 上的点看。它的灰色引线把输入向下送到 x 轴,把输出横向送到 y 轴。

x	−2	−1	0	1	2
f(x)	−2	2	0	−2	2

如果在某个区间内,输入增大时输出总是增大,即区间内所有 a < b 都有 f(a) < f(b),就说 f 在该区间上递增。如果输出总是减小,就是递减。这里 f 在 x < -1 时递增(红色),在 -1 和 1 之间递减(蓝色),在 1 之后又递增。

图像在 x 轴上方的地方输出为正,在下方的地方输出为负。它在零点处变号,零点就是使 f(x) = 0 的输入:这里是 0 和 ±√3 ≈ ±1.73。

在实际情境中,同样的词也适用:以恒定的速率往花瓶里倒水,水深在瓶子窄的地方增加得快,在宽的地方增加得慢。水深对体积的图像,就是这两个量如何一同变化的图画。

1.2 · 变化率

割线的斜率,与某一点处的斜率

f 在 [a, b] 上的平均变化率,是输出的变化量除以输入的变化量:即从 (a, f(a)) 到 (b, f(b)) 的割线的斜率。

\frac{f(b) - f(a)}{b - a}

某一点处的变化率,可以用该点周围越来越小的区间上的平均变化率来近似。对于 x = 2 处的 $f(x) = \tfrac{1}{2}x^2$ ,取 [2 − h, 2](蓝色)和 [2, 2 + h](红色)上的割线:

h	1	0.5	0.1	0.01
left	1.5	1.75	1.95	1.995
right	2.5	2.25	2.05	2.005

两列数从两侧逼近 2:x = 2 处的变化率是 2,即虚线切线的斜率。在 x = 1 处做同样的计算,得到 1。

两者比较:2 处的变化率大于 1 处的变化率,所以 x 增大时图像越来越陡。有两个联系要记住:

变化率为正,说明 f 在那里递增;为负,则递减;
变化率递增的地方,图像凹向上(向上弯曲,就像这条曲线);变化率递减的地方,则凹向下。

1.3 · 线性函数与二次函数的变化率

恒定的变化,与匀速变化的变化

让输入按相等的量递增,观察输出。变化的规律可以区分线性函数与二次函数。

x	0	1	2	3	4
2x + 1	1	3	5	7	9
change	+2	+2	+2	+2
x² − 4x + 5	5	2	1	2	5
change	−3	−1	+1	+3
变化的变化	+2	+2	+2

线性:每个区间上的平均变化率都相同,就是斜率 2。相等的输入步长给出相等的输出变化。

二次:在长度相等的连续区间上,平均变化率是 −3, −1, 1, 3。它们不是常数,但以恒定的速率变化,每步变化 2。对于步长为 1 的 $ax^2 + bx + c$ ,这个常数是 2a。

变化率还能确定顶点。到 x = 2 为止它们是负的(函数递减),之后是正的(递增),所以最小值在 x = 2 处。因为变化率递增,抛物线凹向上;若 a < 0,它们就会递减,抛物线就凹向下。

1.4 · 多项式函数与变化率

转折点、拐点、全局极值

多项式函数是 $p(x) = a_n x^n + a_{n-1}x^{n-1} + \dots + a_1 x + a_0$ ,系数为实数,且 a_n ≠ 0。它的次数是 n,a_n 是首项系数。非零常数是 0 次多项式。

图像是 $p(x) = \tfrac{1}{4}x^4 - 2x^2 + 1$ 。红线随着曲线的斜率移动,即它的变化率:

局部最大值在变化率由正变负之处:(0, 1);
局部最小值在变化率由负变正之处:(−2, −3) 和 (2, −3);
拐点在变化率由递增变为递减,或反过来之处,所以凹凸性改变:在 x = ±2/√3 ≈ ±1.15 处。

函数取到的最小值 −3 是它的全局最小值。偶数次多项式总有全局最大值或全局最小值(当 a_n > 0 时是最小值,如本例);奇数次多项式两者都没有,因为它的输出会趋向 ∞ 和 −∞。

它的零点是 ±(√3 − 1) ≈ ±0.73 和 ±(√3 + 1) ≈ ±2.73。非常数多项式的任意两个不同实零点之间,都有一个局部最大值或最小值:这里依次是 −2 处的最小值、0 处的最大值、2 处的最小值。

1.5 · 多项式函数与复零点

n 次多项式有 n 个零点,按重数计

一个 n 次多项式恰有 n 个复零点(按重数计)。有些可能是实数,有些不是。

取 $p(x) = \tfrac{1}{10}(x + 2)^2(x - 1)(x^2 + 1)$ ,次数为 2 + 1 + 2 = 5。它的零点:

zero	multiplicity	在图像上
−2	2	与 x 轴相切,不穿过
1	1	穿过 x 轴
i, −i	各 1 个	没有 x 截距:不是实数

a 是 p 的零点,当且仅当 (x − a) 是 p(x) 的因式;当 a 为实数时,(a, 0) 是一个 x 截距。
若 (x − a) 出现 k 次,则 a 的重数为 k。在重数为偶数的实零点处,图像与坐标轴相切后折回;重数为奇数时,图像穿过坐标轴。
系数为实数时,非实零点成共轭对出现:若 a + bi 是零点,则 a − bi 也是。

图中把最后一个因式换成 $x^2 + q$ ,并滑动 q。当 q < 0 时,它的零点 ±√(−q) 是实数,是两个红色的 x 截距;在 q = 0 时它们相遇,随后一起离开实轴,沿虚轴一上一下,成为 ±i√q。次数和零点的个数始终不变。

偶函数与奇函数。若对每个 x 都有 f(−x) = f(x)(关于 y 轴对称),f 就是偶函数,如 1.4 中的 $\tfrac{1}{4}x^4 - 2x^2 + 1$ ;若 f(−x) = −f(x)(关于原点对称),就是奇函数,如 1.1 中的 $x^3 - 3x$ 。只含偶次幂的多项式是偶函数,只含奇次幂的是奇函数。

1.6 · 多项式函数与端点行为

在很远的地方,只有首项起作用

函数的端点行为是指当 x → ∞ 和 x → −∞ 时它的输出会怎样。对多项式来说,它只由首项决定。

红色曲线是 $p(x) = -x^3 + 3x^2 + x - 3 = -(x + 1)(x - 1)(x - 3)$ 。它所在的窗口放大到原来的 12 倍再缩回:注意看坐标轴上的数字。缩小来看,零点挤到原点附近,起伏消失,曲线贴在它的首项 $-x^3$ (蓝色)上。在 x = 48 处,p(x) 是 −x³ 的 0.937 倍。

\begin{aligned} \lim_{x\to\infty} p(x) &= -\infty \\ \lim_{x\to -\infty} p(x) &= \infty \end{aligned}

	a_n > 0	a_n < 0
n 为偶数	两端都向上	两端都向下
n 为奇数	左端向下,右端向上	左端向上,右端向下

原因是: $p(x) = -x^3\left(1 - \tfrac{3}{x} - \tfrac{1}{x^2} + \tfrac{3}{x^3}\right)$ ,而方括号里 1 之后的每一项,在 |x| 增大时都趋于 0。极限记号读作“当 x 无限增大时,p(x) 无限减小”。

1.7 · 有理函数与端点行为

首项之比

有理函数是多项式之比 $r(x) = \dfrac{p(x)}{q(x)}$ ,其中 q 不是零多项式。在很远的地方,每个多项式都像它的首项,所以 r 就像这两个首项之比。

degrees	水平渐近线	在很远处
分子次数 < 分母次数	y = 0	3x/(x² + 1) ≈ 3/x → 0
分子次数 = 分母次数	y = 首项系数之比	(2x² − 1)/(x² + 2) ≈ 2x²/x² = 2
分子次数 > 分母次数	没有;表现得像多项式	(x² + x + 1)/(x − 1) ≈ x²/x = x

在每一叶上,红点和蓝点分别向 −∞ 和 ∞ 跑去,最终贴近红色虚线。当次数相等时, $r(100) = 1.9995$ :接近 2,但从下方永远达不到。

\lim_{x\to\pm\infty} \frac{2x^2 - 1}{x^2 + 2} = 2

当分子的次数恰好比分母高 1 时,图像趋近斜渐近线,即一条直线 y = mx + b,可由除法求得(1.11)。这里是 y = x + 2。图像可以穿过水平渐近线或斜渐近线;渐近线只描述两端。

1.8 · 有理函数与零点

分子为零而分母不为零之处

$r(x) = \dfrac{p(x)}{q(x)}$ 的实零点,就是分子 p 的实零点中位于 r 的定义域内的那些:即 p 为 0 而 q 不为 0 的输入。

对于 $r(x) = \dfrac{(x + 2)(x - 1)}{(x + 1)(x - 3)}$ ,零点是 −2 and 1。输入 −1 and 3 不在定义域内:在那里分母为 0,图像有垂直渐近线(1.9)。

输出只可能在零点处或 r 无定义之处变号。所以这四个输入把数轴分成几个区间,在每个区间里取一个测试输入,就得到整个区间上的符号:

interval	x < −2	−2 < x < −1	−1 < x < 1	1 < x < 3	x > 3
测试 x	−3	−1.5	0	2	4
r(x)	0.33	−0.56	0.67	−1.33	3.6
sign	+	−	+	−	+

这样就解出了不等式。 $r(x) \ge 0$ 的解在图像位于坐标轴上或其上方的地方,即红色部分:x ≤ −2,或 −1 < x ≤ 1,或 x > 3。零点包含在内(那里 r = 0);渐近线则永远不包含。

分子的零点若同时也是分母的零点,就不是 r 的零点。它对应的是空洞或渐近线(1.10)。

1.9 · 有理函数与垂直渐近线

分母为零,并且一直为零

若 a 是分母的实零点而不是分子的零点,或者它作为分母的零点重数更高,则直线 x = a 是 r 的垂直渐近线。在它附近,输出无限增大。

对于 $r(x) = \dfrac{4}{(x + 1)(x - 2)^2}$ ,分母在 −1 and 2 处为 0,而分子从不为 0:

x	−1.01	−0.99	1.99	2.01
r(x)	−44	45	13378	13289

\begin{aligned} \lim_{x\to -1^-} r(x) &= -\infty \\ \lim_{x\to -1^+} r(x) &= \infty \\ \lim_{x\to 2^\pm} r(x) &= \infty \end{aligned}

每一侧的符号由各因式决定。在 x = −1 附近,因式 x + 1 变号,所以两侧的走向相反。在 x = 2 附近,该因式是平方,两侧都为正,所以两侧都向上。奇重数:方向相反;偶重数:方向相同。

$\lim_{x\to a^+}$ 表示 x 从右侧趋近 a,取大于 a 的值; $\lim_{x\to a^-}$ 则从左侧趋近。

1.10 · 有理函数与空洞

一个被约去的因式

若 a 同时是分子和分母的零点,并且它在分子中的重数不小于在分母中的重数,则图像在 x = a 处有一个空洞:缺失了一个点。

\begin{aligned} r(x) &= \frac{x^2 + x - 6}{x^2 - x - 2} \\ &= \frac{(x - 2)(x + 3)}{(x - 2)(x + 1)} \\ &= \frac{x + 3}{x + 1}, \quad x \ne 2 \end{aligned}

因式 x − 2 在分子和分母中各出现一次,被约去,所以 x = 2 是一个空洞。它的高度就是化简后的形式在那里给出的值,也是两侧趋近的极限:

\lim_{x\to 2} r(x) = \frac{2 + 3}{2 + 1} = \frac{5}{3}

因式 x + 1 没有被约去,所以 x = -1 是垂直渐近线;分子留下 x + 3,所以 x = -3 是唯一的零点。注意 2 不是零点,尽管它使分子为 0。

若分母中的重数更高,约分后分母里还留有一个因式,结果就是渐近线而不是空洞: $\dfrac{x - 2}{(x - 2)^2} = \dfrac{1}{x - 2}$ 在 x = 2 处有垂直渐近线。

1.11 · 多项式与有理表达式的等价表示

因式分解形式、标准形式、除法形式、展开形式

同一个函数可以有几种写法。每种形式都显示出其他形式隐藏的信息。

标准形式 $x^3 - 2x^2 - 5x + 6$ 显示首项(端点行为)和 y 截距 6。
因式分解形式 $(x + 2)(x - 1)(x - 3)$ 显示零点,对有理函数还显示渐近线和空洞。

多项式长除法把有理函数改写成多项式加上余式分数。用 $x - 1$ 除 $x^2 + x + 1$ :x(x − 1) 减去 x² − x,剩下 2x + 1;2(x − 1) 减去 2x − 2,剩下 3。

\begin{gathered} x^2 + x + 1 = (x - 1)(x + 2) + 3 \\ \frac{x^2 + x + 1}{x - 1} = x + 2 + \frac{3}{x - 1} \end{gathered}

当 |x| 增大时,余式项(蓝色的间隙)趋于 0,所以商 y = x + 2 就是斜渐近线。一般地,若 p = q·s + t,则 p/q = s + t/q。余式为 0,说明除式是一个因式。

二项式定理用帕斯卡三角形第 n 行的数展开 $(a + b)^n$ ,每个数都是它上方两数之和:

(a + b)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} a^{n-k} b^k

第 3 行是 1, 3, 3, 1,所以 $(x + 2)^3 = x^3 + 3x^2(2) + 3x(2)^2 + 2^3 = x^3 + 6x^2 + 12x + 8$ 。

1.12 · 函数的变换

平移、伸缩与反射

可以从母函数 f 出发,通过平移和伸缩它的图像来构造新函数。红色的图像是 $g(x) = a\,f\big(b(x - h)\big) + k$ ,由 [−2, 2] 上的灰色 $f(x) = x^3 - 3x$ 构造而成;图中依次改变 h、k、a 和 b。

form	f 的图像
f(x) + k	沿竖直方向平移 k(k > 0 时向上)
f(x − h)	沿水平方向平移 h(h > 0 时向右);f(x + h) 则向左移
a·f(x)	沿竖直方向伸缩 \|a\| 倍;a < 0 时关于 x 轴反射
f(bx)	沿水平方向伸缩为原来的 1/\|b\|;b < 0 时关于 y 轴反射

加法类的改变是平移,乘法类的改变是伸缩。在 f 外面的改变作用于输出,效果和字面一致;在里面的改变作用于输入,效果相反:x − 1.5 向右移,而 b = 2 把图像压缩到一半宽。

定义域和值域随图像一起移动。在图中演示结束时,h = 1.5,k = 1,a = 1.5,b = 2:

g(x) = 1.5\,f\big(2(x - 1.5)\big) + 1

定义域 [−2, 2] 被压缩为原来的 1/2,并平移 1.5:[0.5, 2.5]。值域 [−2, 2] 被拉伸为原来的 1.5 倍,并向上平移 1:[−2, 4]。坐标轴上的蓝色条显示了这两者。

1.13 · 函数模型的选择与假设的说明

哪一类函数拟合得好,在什么定义域上

为数据建模时,要选择变化规律与数据相符的那一类函数,然后说明所作的假设,以及模型在什么定义域上有意义。

一个球被向上抛出;每秒测一次它的高度(假设数据):

t (s)	0	1	2	3	4
h (m)	1	16	21	16	1
change	15	5	−5	−15
变化的变化	−10	−10	−10

一阶差分不是常数,所以线性模型是错的:过前两点的虚线在 t = 4 时预测 61 m,而测得的是 1 m。二阶差分是常数 −10,所以二次函数恰好拟合:

h(t) = -5t^2 + 20t + 1

线性:变化率大致恒定;
二次:变化率以大致恒定的速率变化,或数据先升后降,关于某个极值对称;
三次或更高次:转折更多,或变化率自身的变化率也在变化;
分段:输入的不同区段有不同的规律;
有理:成反比的量,或者趋于某个值而趋平的量。

假设。这个模型忽略空气阻力,并且只在球在空中时成立:从抛出到 h(t) = 0,即 0 ≤ t ≤ 4.05。在这个定义域之外,它的输出(负的高度)没有意义。

1.14 · 函数模型的建立与应用

从情境到函数,再回到情境

建立模型,就是为输入命名,根据情境的几何关系或规则把输出用它表示出来,并找出情境所允许的定义域。然后模型就能回答问题。

在一张 12 × 8 英寸的纸片四角各剪去一个 x × x 的正方形,再把四边折起。盒子深 x,长 12 − 2x,宽 8 − 2x:

\begin{gathered} V(x) = x(12 - 2x)(8 - 2x) \\ 0 < x < 4 \end{gathered}

定义域由情境决定:剪下的部分必须有正的大小,而 8 英寸的那条边在 x = 4 时用尽。三次函数的其他表现(之外的负体积)不在模型之内。

最大的盒子:由图像(或计算器)可知,最大值出现在 x ≈ 1.57 in,V ≈ 67.6 in³。
60 in³ 的盒子:解 V(x) = 60。一个解是精确的,x = 1:1 · 10 · 6 = 60。另一个解是 x ≈ 2.21。

其他模型也是这样建立的。n 次多项式可以过 n + 1 个输入互不相同的点来拟合;有理模型适合表示比值,比如平均成本 $C(n) = \dfrac{500 + 3n}{n}$ 美元/件,它的水平渐近线 3 是固定的 $500 被摊薄之后每件的成本。回答问题时,一定要用情境的单位,并对照情境的限制来检验。