第 2 章 · 指数函数与对数函数

靠相乘而增长

有些量每一步都加上同一个数而增长,另一些则每一步都乘以同一个因数而增长。后一类起初很慢,随后会超过任何一条直线。

蓝色曲线是 $y = 2^x$:每向右一步 1,高度就翻一倍,从 x = −2 处的 0.25 到 x = 3 处的 8。红色曲线把它还原回去。$y = \log_2 x$ 问的是 2 的几次方等于 x,所以它把 8 变回 3。

这两条曲线关于虚线 $y = x$ 互为镜像:一条上的点 (x, 2^x) 对应另一条上的点 (2^x, x)。

本章先从数列讲到指数函数及其模型,再经过函数的复合与反函数,讲到对数、对数所解的方程,以及能把指数数据变成直线的半对数图。这是 AP Precalculus 的第 2 单元。

2.1 · 等差数列与等比数列

相加,或相乘

数列是输入为整数 n 的函数。在等差数列中,每一项都加上同一个公差 d;在等比数列中,每一项都乘以同一个公比 r。

蓝点是 $a_n = 2 + 3n$,红点是 $g_n = 2(1.5)^n$。两者都从 2 开始。等差数列每步增加 3;等比数列每次增加得更多,到 n = 6 时就已领先。

任何一个已知项都可以作为起点:$a_n = a_k + d(n - k)$ 和 $g_n = g_k\, r^{\,n-k}$。例。若 $a_2 = 8$ 且 $a_5 = 17$,则公差为 $d = \frac{17 - 8}{5 - 2} = 3$。若 $g_1 = 3$ 且 $g_4 = 10.125$,则 $r^3 = 3.375$,所以 r = 1.5。

同样的两种规律,如果输入由整数步扩展到所有实数,就是线性函数与指数函数。

2.2 · 线性变化与指数变化

输入的步长相等,输出的差相等或比相等

在长度相等的输入区间上,线性函数的变化量有相等的差,指数函数的变化量有相等的比。线性变化是加性的,指数变化是乘性的。

让窗口 [x, x + 1] 沿两条曲线滑动。在 $f(x) = 2 + 3x$ 上,增量始终是 3。在 $g(x) = 2(1.5)^x$ 上,增量越来越大,但两端高度之比始终是 1.5:

这些形式说的是同一件事。$f(x) = b + mx$ 从 b 出发,每单位加 m;$g(x) = a r^x$ 从 a 出发,每单位乘以 r。等差数列是定义在整数上的线性函数,等比数列是定义在整数上的指数函数。

在长为 2 的区间上,线性函数增加 6,即 3 的两倍,而指数函数乘以 $1.5^2 = 2.25$。已知两点,线性模型是 $f(x) = y_i + m(x - x_i)$,指数模型是 $g(x) = y_i\, r^{\,x - x_i}$。

2.3 · 指数函数

a·bˣ,以及 b 决定什么

指数函数的形式是 $f(x) = a b^x$,其中初始值 a ≠ 0,底数 b > 0 且 b ≠ 1。它的图像过点 (0, a)。

红色曲线是 $y = b^x$,其中 b 从 2 减小,经过 1,到 $\tfrac{1}{2}$,再返回。当 a > 0 时:

• b > 1:指数增长,始终递增;当 $x \to \infty$ 时 $f(x) \to \infty$,当 $x \to -\infty$ 时 $f(x) \to 0$。
• 0 < b < 1:指数衰减,始终递减;端点行为相反。
• 定义域:全体实数。值域:y > 0。直线 y = 0 是水平渐近线。
• 始终是凹向上的,没有极值点,也没有拐点。

当 b = 1 时,曲线是水平直线 y = 1,所以 1 不能作为底数。若 a < 0,图像翻到坐标轴下方,凹凸性也随之反转。

例。$f(x) = 3\left(\tfrac{1}{2}\right)^x$ 从 3 出发,每过一个单位就减半:$f(2) = 3 \cdot \tfrac{1}{4} = 0.75$。随着 x 增大,它趋近于 0,但永远达不到。

2.4 · 变形指数函数

平移就是伸缩

指数律可以把指数函数改写成等价的形式,每种形式都显示出图像的不同特点。

由乘积律,$2^{x+k} = 2^k \cdot 2^x$。所以把 $y = 2^x$ 向左平移 k(蓝色),得到的曲线与把它在竖直方向上伸长 $2^k$ 倍(红色)完全相同。图中 k 从 0 变到 2:点 (1, 2) 向左滑到 (1 − k, 2),并升到 (1, $2^{1+k}$),二者都落在红色曲线上。

指数函数的水平平移总等价于竖直伸缩。其他指数律还能给出更多结论:$\left(\tfrac{1}{2}\right)^x = 2^{-x}$ 是 $2^x$ 关于 y 轴的反射,而且 $8^{x/3} = (8^{1/3})^x = 2^x$。每个指数函数都可以改用除 1 以外的任意正数作底,包括自然底数 e ≈ 2.7183。

2.5 · 指数模型

恒定的百分比变化

指数模型适用于在相等时间内按相同比例变化的量:人口、投资、放射性样品。

碳-14 的半衰期是 5,730 年:每过 5,730 年,剩下的一半发生衰变。设 t 以年计,剩余的百分数为

改写成每单位时间的形式,得到每年的因数:$\left(\tfrac{1}{2}\right)^{1/5730} \approx 0.999879$。剩余 30% 的样品约有 9,953 年,介于一个和两个半衰期之间(2.13 讲怎样解出 t)。

根据具体情境,还有其他形式:

• 百分率 r:$f(t) = a(1 + r)^t$(增长)或 $a(1 - r)^t$(衰减)。
• 复利,每年 n 次:$1,000 按月利率 6% 计息 10 年,为 $1000\left(1 + \tfrac{0.06}{12}\right)^{120} \approx 1819.40$;连续复利则为 $1000e^{0.06(10)} \approx 1822.12$。
• 两个点确定模型 $y = y_i\, b^{\,x - x_i}$。假想一个 1,200 人的小镇,在 4 年内增至 1,500 人,则 $b = \left(\tfrac{1500}{1200}\right)^{1/4} \approx 1.0574$:每年增长 5.74%。
• 数据:用计算器做指数回归,可求出最拟合散点图的 a 和 b。

模型的好坏取决于它的假设:在数据范围之外,或者一旦碰到现实的限制(食物、空间),它可能就不再适用。

2.6 · 选择模型:残差

模型漏掉了什么

残差是实际值减去模型的预测值。如果残差图没有规律可循,这个模型就是合适的。

这些计数是假设的:一份细菌培养物,每小时计数一次。用两个模型来拟合,最小二乘直线 $\hat y = -62.18 + 123.11x$(蓝色)和指数函数 $\hat y = 50.39(1.596)^x$(红色)。

直线的残差先为正,再为负,然后又为正:呈 U 形,这是直线跟不上曲率的标志。指数函数的残差在 0 的上下散布,没有规律,所以指数模型是更好的选择。

符号可以直接读出:残差为正,说明模型在那里低估;残差为负,说明模型高估。在第 3 小时,直线预测 307,而实际为 202,高估了 105。

2.7 · 函数的复合

一个函数的输出,是下一个函数的输入

复合 $f(g(x))$,也写作 $(f \circ g)(x)$,先作用 g,再对结果作用 f。

这里 $g(x) = x - 1$,$f(x) = 2^x$。顺着圆点往下看:最上面一行是 x,然后是 g(x),即少 1,再取 2 的这个次幂。

所以 $f(g(x)) = 2^{x-1}$。换一个顺序就是另一个函数:$g(f(x)) = 2^x - 1$,且 $g(f(3)) = 7$,而不是 4。一般地,$f(g(x)) \ne g(f(x))$。

• $f(g(x))$ 的定义域是 g 的那些输入,它们的输出要落在 f 的定义域内。
• 恒等函数 $I(x) = x$ 什么也不改变:$f(I(x)) = I(f(x)) = f(x)$。
• 变换就是复合:$f(x - 1)$ 是把 f 与输入的加性平移复合,$3f(x)$ 是在 f 之后复合一个乘以 3。
• 分解一个函数,就是找出可以复合起来的各部分:$h(x) = (x^2 + 1)^3$ 是 $f(g(x))$ 与 $g(x) = x^2 + 1$、$f(x) = x^3$ 的复合。

复合也可以从表格或图像中读出:先求 g(x),再把这个值当作 f 的输入去查。

2.8 · 反函数

撤销一个函数

函数的反函数 $f^{-1}$ 把函数反过来:若 $f(a) = b$,则 $f^{-1}(b) = a$,且 $f^{-1}(f(x)) = f(f^{-1}(x)) = x$。

交换输入和输出,图像就关于 $y = x$ 反射:f 上的点 (a, b) 变成 $f^{-1}$ 上的点 (b, a)。f 的定义域成为 $f^{-1}$ 的值域,它的值域成为它的定义域。

只有当 f 是一一对应的,即每个输出只来自一个输入时,反函数才存在。蓝色直线 $y = c$ 与整条抛物线 $y = x^2$ 相交两次,交点为 $x = \pm\sqrt{c}$,所以 $x^2$ 在全体实数上没有反函数。把定义域限制在 x ≥ 0,就保留了一一对应的那一半,在这一半上反函数是 $f^{-1}(x) = \sqrt{x}$(红色)。

求反函数。写出 $y = 3x - 4$,交换 x 和 y,再解出 y:

验算:$f(3) = 5$ 且 $f^{-1}(5) = \frac{5 + 4}{3} = 3$。反函数按相反的顺序一步步撤销 f:先加 4,再除以 3。

2.9 · 对数式

所求的那个指数

当 b > 0,b ≠ 1 且 c > 0 时,对数 $\log_b c$ 就是把底数 b 变成 c 的指数 a:

有两个底数各有专名:常用对数 $\log x$ 以 10 为底,自然对数 $\ln x$ 以 e 为底。总有 $\log_b 1 = 0$ 和 $\log_b b = 1$。

图中把数值 $c = 10^u$ 放在对数刻度上(红色),下方是它们的指数 $u = \log_{10} c$(蓝色)。刻度上相等的长度表示相等的比:1 到 10、10 到 100、100 到 1000 的距离相同。这样,大小悬殊的数值就能放在同一条线上。

估计可以借助相邻的幂:50 介于 10 和 100 之间,所以 $\log_{10} 50$ 介于 1 和 2 之间;它等于 1.699。

2.10 · 指数函数的反函数

对数撤销 bˣ

$f(x) = b^x$ 是一一对应的,所以它有反函数,这个反函数就是对数 $f^{-1}(x) = \log_b x$。

把 $y = 2^x$ 的表格每一行交换,就得到 $y = \log_2 x$ 的表格。图中的红点正是这样做的:每个 (x, 2^x) 越过 $y = x$ 飞到 (2^x, x)。

于是这两个函数的特征互换。$b^x$ 的定义域是全体实数,值域是 y > 0,水平渐近线是 y = 0;$\log_b x$ 的定义域是 x > 0,值域是全体实数,垂直渐近线是 x = 0。两者互相撤销:

以 e 为底时,$e^x$ 与 $\ln x$ 互为反函数:$\ln e^{3} = 3$ 且 $e^{\ln 50} = 50$。

2.11 · 对数函数

输入相乘,输出相加

对数函数的形式是 $f(x) = a \log_b x$,其中 a ≠ 0,b > 0 且 b ≠ 1。它把乘性变化变成加性变化。

在 $y = \log_2 x$ 上,输入每翻一倍,输出就加 1:蓝色阶梯从 (1, 0) 到 (2, 1)、(4, 2)、(8, 3)、(16, 4)。在比相同的输入区间上,输出的差相同:恰好与指数函数相反。

当 a > 0 且 b > 1 时:

• 定义域 x > 0,值域为全体实数;x 截距是 (1, 0)。
• y 轴是垂直渐近线:当 $x \to 0^+$ 时 $\log_b x \to -\infty$。
• 始终递增,始终凹向下;当 $x \to \infty$ 时 $\log_b x \to \infty$,但比 x 的任何正次幂都增长得慢。
• 没有极值点,也没有拐点。当 0 < b < 1 时,它始终递减(且凹向上)。

增长缓慢正是它的特点:输入每翻一倍,输出才增加 1,所以 $\log_2 x$ 要到 x = 1024 才达到 10。

2.12 · 变形对数函数

伸缩就是平移

每条指数律都有一条对数律与之成对,因为对数就是指数。

由乘积律,$\log_2(kx) = \log_2 k + \log_2 x$。把 $y = \log_2 x$ 向 y 轴方向压缩为原来的 1/k(蓝色),得到的曲线与把它向上抬高 $\log_2 k$(红色)相同。k 从 1 变到 4 时,点 (2, 1) 向内移到 (2/k, 1),并向上移到 (2, 1 + $\log_2 k$),二者都落在红色曲线上。

所以对数函数的水平伸缩就是竖直平移,与 2.4 中的结论成对。幂律使 $\log_b x^n$ 成为乘以 n 的竖直伸缩,使 $\log_b \tfrac{1}{x} = -\log_b x$ 成为关于 x 轴的反射。

例。$\log_2 40 = \log_2 8 + \log_2 5 \approx 3 + 2.3219 = 5.3219$;$\log_2 24 - \log_2 3 = \log_2 8 = 3$;再由换底公式,$\log_3 20 = \dfrac{\ln 20}{\ln 3} \approx 2.7268$。每个对数函数都是 $\ln x$ 的常数倍。

2.13 · 指数与对数方程和不等式

先撤销,再检验

解指数方程,先把幂孤立出来,再取对数;解对数方程,先把对数孤立出来,再取指数。反函数撤销了原函数。

图中一次解出了所有水平 c 对应的 $3 \cdot 2^x = c$:曲线在 $x = \log_2 \tfrac{c}{3}$ 处与蓝线相交。在 $c = 24$ 处:

不等式 $3 \cdot 2^x > 24$ 只需要看方向:$2^x$ 是递增的,所以当 x > 3 时成立,即坐标轴上的红色一段。递减函数(底数在 0 和 1 之间)会使不等号反向。

以 e 为底。$5e^{0.2t} = 20$ 给出 $e^{0.2t} = 4$,所以 $t = \frac{\ln 4}{0.2} \approx 6.931$。

一个对数方程。$\log_2 x + \log_2(x - 2) = 3$ 合并为 $\log_2\big(x(x - 2)\big) = 3$,所以 $x^2 - 2x = 8$,x = 4 或 x = −2。但 −2 不在 $\log_2 x$ 的定义域内:它是增根。唯一的解是 x = 4。一定要把解代回原方程检验。

同样的步骤也能求反函数:$y = 3 \cdot 2^x$ 的反函数是 $f^{-1}(x) = \log_2 \tfrac{x}{3}$。

2.14 · 对数模型

先快速增长,后来变慢

对数模型 $y = a + b\ln x$ 适用于起初增长很快、随后越来越慢的量,也适用于输入每取相等的比、输出就有相等的差的量。

数据是假设的:一位打字员每练习一周后的速度,单位是字/分钟。对数回归给出

周数每翻一倍,就增加 $14.70 \ln 2 \approx 10.19$ 字/分钟:从第 1 周到第 2 周与从第 4 周到第 8 周增加得一样多。预测第 10 周为 $\hat y \approx 54.4$,这是数据范围之外的外推,可信度较低。

对数刻度能度量许多现实中的量,因为这些量的取值跨越很多个 10 的幂:

• 声级,以分贝计:$L = 10 \log_{10} \tfrac{I}{I_0}$。强度翻一倍,增加 $10\log_{10} 2 \approx 3.01$ dB;强度乘以 10,增加 10 dB。
• 酸度:$\text{pH} = -\log_{10}[\text{H}^+]$。$[\text{H}^+] = 10^{-3}$ 的溶液 pH 为 3;浓度变为十倍,pH 就降低 1。

对数模型与指数模型互为反函数:若 y 随 x 呈指数增长,则 x 随 y 呈对数增长。

2.15 · 半对数图

把指数数据拉直

半对数图的 x 轴保持线性刻度,而 y 轴取对数刻度。在这样的图上,指数数据落在一条直线上。

对指数模型 $y = a b^x$ 取对数:

这是 $\log_{10} y$ 中的一条直线,斜率为 $\log_{10} b$,纵截距为 $\log_{10} a$。任何底数 n > 1 都同样适用。

2.6 中的细菌计数(假设数据)在普通方格纸上向上弯曲,在半对数纸上则排成一条直线。它的最佳拟合直线是 $\log_{10}\hat y = 1.7023 + 0.2030x$,所以

模型是 $\hat y = 50.39(1.596)^x$:每小时细菌数多约 60%。

半对数图既是工具,也是检验:排成直线的数据是指数型的;仍然弯曲的数据不是,需要用别的模型。