探索單變量資料

第 1 章 · 探索單變量資料

形狀、中心與離散程度

統計學是從資料中學習的科學,而資料會變動。

一個班級中有 40 位學生回答了兩個問題:你如何到學校?需要幾分鐘?圖中每顆球代表一位學生,依其通勤時間落在數線上。

沒有兩個早晨是一模一樣的。時間從 8 分鐘到 56 分鐘不等,其中約四分之三的人在 26 分鐘以內。這種模式,也就是哪些值會出現、出現多少次,稱為該變數的分布。

點圖下方的直方圖以 5 分鐘為組距計數同樣的時間,再下方的累積圖則把它們逐步加總。

本章會說明各種變數的類型,用表格與圖形呈現,並以形狀、中心與離散程度描述分布,再用數值加以度量,最後介紹最有用的模型:常態分布。

1.1 · 統計學簡介

我們能從資料中學到什麼?

資料是關於個體的資訊;變數則是會因個體不同而改變的特徵。

這裡的個體是 40 位學生。紅球是第 5 位學生:搭乘bus,29 分鐘。一位學生是資料集的一列;每個變數是一欄。

統計問題預期答案會有變異。「第 5 位學生上學要花多久?」只有一個答案。「這個班級的學生上學要花多久?」則有40,並且問的是它們的分布。

變異無所不在,所以資料中的模式可能是真實的,也可能只是機率造成的。統計學就是要區分兩者。它問的問題始終相同:測量了誰、測量了什麼、如何測量,以及能對誰下什麼結論。

這 40 個答案描述的是這個班級。若要對全校學生下結論,需要從他們當中取得隨機樣本(第 3 章)。

1.2 · 變異的語言

類別變數與數值變數

類別變數會把每個個體分到某一組。量化變數則給每個個體一個可計數或可測量的數值。

學生如何上學(步行、腳踏車、公車、汽車)是類別變數。通勤時間(分鐘)是量化變數:可以對它做算術運算,其值落在數值尺度上。

圖中同樣的 40 顆球會在兩種檢視之間移動。在數線上,每顆球位於各自的時間;依交通方式分類時,則分成四組。個體沒有改變,改變的只是我們所看的變數。

量化變數分為離散(可逐一列出的計數,例如兄弟姊妹人數)與連續(區間上的測量值,例如時間、身高)。

注意。數字不一定是量化的。郵遞區號或球衣號碼只是標示分組,其平均數沒有意義,所以屬於類別變數。量化變數也可以經由分組變成類別變數,例如「超過 20 分鐘,是或否」。

1.3 · 用表格呈現類別變數

次數與相對次數

次數分配表列出每個類別及其次數。相對次數分配表則把每個次數表示為佔總數的比例。

相對次數的總和為 1(或 100%),除非有四捨五入的誤差。它們讓大小不同的群體可以比較:25 人的班級與 2000 人的學校,都可以有 35% 的公車乘客。

放回情境。40 位學生中有 14 位搭公車,比例為 14/40 = 0.350:這是這個班級最常見的上學方式。

類別變數中最常見的類別稱為眾數。同時呈現兩個類別變數的表格,即雙向表,會在第 2 章介紹。

1.4 · 用圖形呈現類別變數

長條圖與圓餅圖

長條圖把每個類別畫成一根長條,高度為其次數或相對次數。圓餅圖則按比例給每個類別圓的一個扇形。

長條圖中的長條彼此分開,因為類別之間沒有尺度,順序也可自行選擇。依高度排序,最大的類別就容易看出來。

圓餅圖扇形的角度為其相對次數 × 360°:公車的扇形是 0.350 × 360° = 126°。圓餅圖只有在各類別構成一個整體,且每個個體恰好屬於一類時才適用。

描述類別分布。指出次數最多與最少的類別,並在情境中用比例比較:「35% 的學生搭公車,比其他任何方式都多;17.5% 步行。」

誤導的圖形。垂直軸不從零開始的長條圖會誇大差異。同時改變面積與深度而不只是高度的圖片與 3D 圓餅圖也是如此。先看尺度,再看形狀。

1.5 · 用圖形呈現量化變數

點圖、莖葉圖、直方圖與累積圖

量化變數的圖形會在數線上呈現其分布:數值在哪裡,以及如何聚集與分散。

點圖在每個個體的數值上方畫一個點。莖葉圖則把每個數值分成莖(這裡是十位數)與葉(個位數):

說明:1 | 4 代表 14 分鐘。兩者都保留每一個數值。

直方圖把數值依相等的區間(即組)計數,這裡每組寬 5 分鐘;長條相連,因為尺度是連續的。剛好 15 的時間歸入 15 到 20 這一組。不同的組距可能改變圖形的樣貌,所以要選擇能顯示形狀又不掩蓋細節的組距。

累積圖在每一組的右端,畫出低於該處的數值所佔的比例。它可以讀出百分位數:班上有 70% 的人花的時間少於 25 分鐘,而圖形在中位數處通過 0.5,約為 17 分鐘。

1.6 · 描述量化變數的分布

形狀、中心、離散程度與特殊特徵

描述一個分布時,要從形狀、中心、離散程度和任何特殊特徵著手,而且一定要結合資料的情境。

形狀。對稱:兩側大致互為鏡像。右偏:向較大的值拖出一條長尾。左偏:向較小的值拖出一條長尾。偏態是依尾巴來命名,而不是依峰值。也要數一數峰的個數:單峰、雙峰(兩個群集,通常是兩組資料混在一起),或均勻(沒有明顯的峰)。

特殊特徵。間隙(沒有任何值的區段)、群集,以及離群值:遠離其餘資料的值。

這個班級的描述。通勤時間的分布為單峰且右偏,峰值落在 10 到 15 分鐘。中位數約為 17 分鐘,時間範圍從 8 到 56 分鐘。38 到 56 分鐘之間有一段間隙,而 56 分鐘可能是離群值。

這裡要用「約」和「大致」這類字眼:形狀是用眼睛判斷的。1.7 和 1.8 會用數字表示中心與離散程度,並給出判定離群值的規則。

1.7 · 摘要統計量:中心

平均數、中位數,以及哪一個不易受影響

平均數是所有值的總和除以個數。中位數是將資料排序後位於正中間的值。

班上九位同學,依序排列:8, 8, 8, 9, 12, 13, 14, 26, 29。平均數為 127/9 = 14.1 分鐘。中位數是 9 個值中的第 5 個,即 12 分鐘。若個數為偶數,中位數是中間兩個值的平均數。

平均數是平衡點。把這些值放在一根橫樑上:它會在 x̄(紅色)處保持平衡,兩側的距離互相抵消。中位數(藍色)只看個數:兩側各有一半的值。

抗拒性。在圖中,29 分鐘的通勤時間被移到 59。平均數隨之移到 17.4 分鐘;中位數仍停在 12。中位數對極端值具有抗拒性;平均數則沒有。

因此在右偏的分布中,平均數被拉向尾端,高於中位數:以全班來看,x̄ = 19.4,中位數為 17。左偏時,平均數低於中位數。對於偏態分布或有離群值的分布,應報告中位數。

1.7 · 摘要統計量:離散程度

全距、IQR 與標準差

標準差衡量各個值與平均數之間的典型距離。

離差(紅色)的總和為零;它們的平方和為 506.89。除以 n − 1 = 8 得到變異數 s² = 63.36,再開平方根:s = 7.96 分鐘。

要在情境中解釋:這九個通勤時間與平均數 14.1 分鐘的典型差距約為 8.0 分鐘。只有當每個值都相同時,s 才會是 0,而且和平均數一樣,它不具抗拒性。

全距是最大值減最小值。四分位數 Q₁ 和 Q₃ 分別是下半部與上半部資料的中位數(當 n 為奇數時,不含中位數本身);四分位距 IQR = Q₃ − Q₁ 是中間一半資料的離散程度,且具抗拒性。第 p 百分位數是有 p% 的資料位於其下方的值。

以全班來看:全距 48,IQR 26 − 11 = 15,s = 10.4 分鐘。

1.7 · 單位轉換

對每個值加上或乘上一個數

對每個值加上一個常數,中心會移動,離散程度不變。把每個值乘以一個常數,則兩者都會乘以該常數。

十天的每日最高溫(單位 °C),依 F = 1.8C + 32 換算成 °F。圖中分兩步進行:每個值 × 1.8(點會彼此拉開),再 + 32(點會一起平移)。

對 y = a + bx(b > 0):中心與位置的量數(平均數、中位數、四分位數、百分位數)會變成 a + b × 原來的值。離散程度的量數(全距、IQR、標準差)會乘以 b,與 a 無關。變異數會乘以 b²。形狀不會改變。

常見的錯誤:把標準差加上 32。對每個值平移,是讓它們一起移動;它們彼此之間以及與平均數之間的距離都維持不變。

1.8 · 摘要統計量的圖形表示

盒狀圖與 1.5 × IQR 法則

A boxplot draws the five-number summary: a box from Q₁ to Q₃, a line at the median, and whiskers out to the smallest and largest values that are not outliers.

The 1.5 × IQR rule. A value is an outlier if it lies more than 1.5 × IQR below Q₁ or above Q₃:

No time is below −11.5; 56 is above 48.5, so it is an outlier, drawn on its own. The right whisker stops at 38, the largest time that is not. Another rule some use: more than 2 standard deviations from the mean, here above 40.2.

A boxplot shows skew: here the right whisker is longer and the median sits nearer Q₁, so the times are skewed right. It hides the rest: the gap, the number of peaks, and n. Each quarter of the data, not each quarter of the length, holds about a quarter of the values.

1.9 · 比較數值變數的分布

並排比較形狀、中心、離散程度與離群值

要比較分布,就把它們畫在同一個尺度上,並在情境中用比較性的詞語,比較形狀、中心、離散程度和特殊特徵。

形狀。搭公車的通勤時間大致對稱。開車的通勤時間為右偏,在 56 分鐘有一個離群值(高於 Q₃ + 1.5 × IQR = 55)。

中心。搭公車通勤時間的中位數 26 分鐘,比開車通勤時間的中位數 12 分鐘多 14 分鐘。

離散程度。開車的通勤時間變動較大:IQR 為 18 分鐘,相對於 8 分鐘;全距為 48,相對於 21。

當分布呈偏態或有離群值時,要比較中位數和 IQR。把數字列出來並不算比較:要說出哪一個比較大。用來比較的圖形有:並排點圖、並列箱形圖、背對背莖葉圖,以及在同一尺度上堆疊的直方圖。

1.10 · 常態分布

經驗法則與 z 分數

常態分布是對稱、單峰且呈鐘形的分布。它由平均數 μ 和標準差 σ 決定,記為 N(μ, σ)。

成年女性的身高(單位 cm)接近 N(163, 7)。這個直方圖是 200 的身高,並畫成面積為 1,上面疊著常態曲線。μ 和 σ 描述的是模型或母體;x̄ 和 s 描述的是資料(此處為 163.7 和 6.9 cm)。

經驗法則。在任何常態分布中,約 68% 的值落在 μ 的 1σ 範圍內,95% 落在 2σ 內,99.7% 落在 3σ 內。

z 分數。標準化分數說明一個值與平均數相差幾個標準差,以及在哪個方向:

身高 175 cm 的女性,比平均身高高出 1.71 個標準差。z 分數可以用來比較不同尺度上的值;標準化後會得到平均數為 0、標準差為 1 的分布,稱為標準常態分布。

1.10 · 常態分布的計算

面積、百分位數,以及某個百分位數對應的值

在常態模型中,某個區間內的值所占的比例,就是該區間上方曲線下的面積。

低於某個值。身高低於 170 cm 的女性占多少比例?

約有 84.1% 的女性身高低於 170 cm:170 cm 約在第 84 百分位數。高於它的比例為 1 − 0.841 = 0.159。

介於兩個值之間。P(155 < X < 170) = P(-1.14 < Z < 1.00) = 0.715。

由百分位數求值。第 90 百分位數的左側面積為 0.90,對應 z = 1.282:

依考試的要求寫出過程:指出分布及其參數,標出邊界與所求的面積(畫草圖),給出 z 分數或計算機指令並標明各項輸入(normalcdf:下界 155,上界 170,μ = 163,σ = 7),最後在情境中回答。

1.10 · 常態模型合理嗎?

檢查資料是否呈常態

在對資料使用常態模型之前,先檢查資料看起來是否呈常態。許多真實的分布並非如此。

畫出資料圖。常態模型需要點圖或直方圖大致對稱、呈單峰,且沒有離群值。

檢查經驗法則。計算落在平均數 1、2、3 個標準差內的資料個數。身高資料給出 73.0%, 94.5%, 99.5%,接近 68、95、99.7。

觀察常態機率圖。每個值都對應繪出:若資料恰好服從常態,它應有的 z 分數。常態資料會落在接近直線的位置,身高資料就是如此。偏斜的資料會彎曲:通勤時間在右端向上彎,也就是右側的長尾。

只看經驗法則可能會誤導。有 72.5% 的通勤時間落在平均數的一個標準差內,接近 68%。但 x̄ − 2s = 19.4 − 2(10.4) = −1.4 分鐘,這是不可能的時間:常態模型會預期約有 2.3% 的通勤時間低於它。當平均數距離下限 0 不到兩個標準差時,就要懷疑資料右偏。