多項式與有理函數 · AP Precalculus

第 1 章 · 多項式函數與有理函數

輸出如何隨輸入變化

函數把每個輸入配成一個輸出。微積分預備要問的是,輸入改變時輸出如何變化:在哪裡上升、下降,變得多快,以及遠處會發生什麼事。

圖形是三次函數 $p(x) = \tfrac{1}{2}(x + 2)(x - 1)(x - 3)$ 。它的因式顯示它的零點 −2, 1, 3,也就是它與 x 軸相交的地方。紅色的割線沿著它滑動;割線的斜率就是它所在區間上的平均變化率。在 [0, 2] 上:

\frac{p(2) - p(0)}{2 - 0} = \frac{-2 - 3}{2} = -2.5

本章是 AP Precalculus 的第 1 單元,也是考試中份量最大的單元(約 30–40%)。它為多項式函數(x 的各次方之和)與有理函數(一個多項式除以另一個)建立工具:變化率、零點、端點行為、漸近線與洞、變換,最後是挑選並建立函數來為真實資料建模。

1.1 · 一起變化

輸入與輸出,一起變動

函數 f 把每個輸入 x 送到一個輸出 f(x)。輸入改變時,輸出也跟著一起變化。圖形同時顯示兩者:輸入沿著 x 軸,輸出則是高度。

隨著 x 移動,跟著 $f(x) = x^3 - 3x$ 上的點看。它的灰色輔助線把輸入向下帶到 x 軸,把輸出向旁邊帶到 y 軸。

x	−2	−1	0	1	2
f(x)	−2	2	0	−2	2

若在某個區間上,輸入增加時輸出總是增加,則 f 在該區間上遞增:對區間內所有 a < b,都有 f(a) < f(b)。若輸出總是減少,則為遞減。這裡 f 在 x < -1 時遞增(紅色),在 -1 與 1 之間遞減(藍色),在 1 之後又遞增。

圖形在 x 軸上方的地方輸出為正,在下方的地方為負。它在零點改變正負號,零點就是使 f(x) = 0 的輸入:這裡是 0 與 ±√3 ≈ ±1.73。

在實際情境中,同樣的詞也適用:以固定速率把水倒進花瓶,水深會增加,在瓶身窄的地方增加得快,在寬的地方增加得慢。水深對體積的圖形,就是這兩個量如何一起變化的圖像。

1.2 · 變化率

割線的斜率,與一點的斜率

f 在 [a, b] 上的平均變化率,是輸出的變化量除以輸入的變化量:也就是從 (a, f(a)) 到 (b, f(b)) 的割線斜率。

\frac{f(b) - f(a)}{b - a}

某一點的變化率,可以用該點附近越來越小的區間上的平均變化率來近似。對 $f(x) = \tfrac{1}{2}x^2$ 在 x = 2 處,取 [2 − h, 2] 上的割線(藍色)與 [2, 2 + h] 上的割線(紅色):

h	1	0.5	0.1	0.01
left	1.5	1.75	1.95	1.995
right	2.5	2.25	2.05	2.005

這兩欄從兩側逼近 2:在 x = 2 處的變化率是 2,也就是虛線切線的斜率。在 x = 1 處做同樣的計算,得到 1。

比較兩者:2 處的變化率比 1 處的大,所以隨著 x 增大,圖形變得更陡。要記住兩個關聯:

變化率為正,表示 f 在那裡遞增;為負,則遞減;
變化率遞增的地方,圖形凹向上(向上彎,像這個圖形一樣);變化率遞減的地方,則凹向下。

1.3 · 線性函數與二次函數的變化率

固定的變化,以及穩定改變的變化

讓輸入每次增加相同的量,觀察輸出。變化量的規律,可以分辨線性函數與二次函數。

x	0	1	2	3	4
2x + 1	1	3	5	7	9
change	+2	+2	+2	+2
x² − 4x + 5	5	2	1	2	5
change	−3	−1	+1	+3
變化的變化	+2	+2	+2

線性:平均變化率在每個區間上都相同,就是斜率 2。相等的輸入步長,產生相等的輸出變化。

二次:在長度相等的連續區間上,平均變化率是 −3, −1, 1, 3。它們不是常數,但它們以固定的速率變化,每步 2。對 $ax^2 + bx + c$ 而言,步長為 1 時,這個常數是 2a。

這些變化率也能找出頂點。到 x = 2 為止它們是負的(函數遞減),之後是正的(遞增),所以最小值在 x = 2。因為變化率遞增,拋物線凹向上;若 a < 0,變化率會遞減,拋物線就凹向下。

1.4 · 多項式函數與變化率

轉折點、反曲點、整體極值

多項式函數是 $p(x) = a_n x^n + a_{n-1}x^{n-1} + \dots + a_1 x + a_0$ ,其中係數為實數且 a_n ≠ 0。它的次數是 n,a_n 是首項係數。非零常數是 0 次多項式。

圖形是 $p(x) = \tfrac{1}{4}x^4 - 2x^2 + 1$ 。紅線隨著曲線的斜率移動,也就是它的變化率:

局部極大值在變化率由正變負的地方:(0, 1);
局部極小值在由負變正的地方:(−2, −3) 與 (2, −3);
反曲點在變化率由遞增變遞減、或反過來的地方,凹向也隨之改變:在 x = ±2/√3 ≈ ±1.15。

函數所能取的最低值 −3,是它的整體極小值。偶次多項式一定有整體極大值或整體極小值(當 a_n > 0 時是極小值,如此處);奇次多項式則兩者都沒有,因為它的輸出會跑向 ∞ 與 −∞ 兩端。

它的零點是 ±(√3 − 1) ≈ ±0.73 與 ±(√3 + 1) ≈ ±2.73。非常數多項式的任兩個相異實零點之間,必有一個局部極大值或極小值:這裡是 −2 處的極小值、0 處的極大值、2 處的極小值。

1.5 · 多項式函數與複數零點

n 次有 n 個零點,重根重複計算

n 次多項式恰有 n 個複數零點,重根重複計算。有些可能是實數,有些則不是。

取 $p(x) = \tfrac{1}{10}(x + 2)^2(x - 1)(x^2 + 1)$ ,其次數為 2 + 1 + 2 = 5。它的零點:

zero	multiplicity	在圖形上
−2	2	碰到 x 軸,但沒有穿過
1	1	穿過 x 軸
i, −i	各 1	沒有 x 截距:不是實數

當且僅當 (x − a) 是 p(x) 的因式時,a 是 p 的零點;當 a 為實數時,(a, 0) 是 x 截距。
若 (x − a) 出現 k 次,則 a 的重數為 k。在重數為偶數的實零點,圖形碰到坐標軸後折返;重數為奇數時,則穿過。
係數為實數時,非實數的零點會成共軛對出現:若 a + bi 是零點,則 a − bi 也是。

圖形把最後一個因式換成 $x^2 + q$ ,並滑動 q。當 q < 0 時,它的零點 ±√(−q) 是實數,即兩個紅色的 x 截距;它們在 q = 0 時相遇,然後一起離開實軸,沿虛軸一上一下,成為 ±i√q。次數與零點的個數始終不變。

偶函數與奇函數。若對每個 x 都有 f(−x) = f(x)(對 y 軸對稱),則 f 為偶函數,像 1.4 的 $\tfrac{1}{4}x^4 - 2x^2 + 1$ ;若 f(−x) = −f(x)(對原點對稱),則為奇函數,像 1.1 的 $x^3 - 3x$ 。只含偶次項的多項式是偶函數;只含奇次項的,是奇函數。

1.6 · 多項式函數與端點行為

遠處,只有首項才重要

函數的端點行為,是當 x → ∞ 與 x → −∞ 時它的輸出如何變化。對多項式而言,只由首項決定。

紅色曲線是 $p(x) = -x^3 + 3x^2 + x - 3 = -(x + 1)(x - 1)(x - 3)$ 。它所在的視窗放大到 12 倍的大小再縮回來:請看坐標軸上的數字。縮小檢視時,零點擠向原點,起伏消失,曲線貼在它的首項 $-x^3$ (藍色)上。在 x = 48 時,p(x) 是 −x³ 的 0.937 倍。

\begin{aligned} \lim_{x\to\infty} p(x) &= -\infty \\ \lim_{x\to -\infty} p(x) &= \infty \end{aligned}

	a_n > 0	a_n < 0
n 為偶數	兩端都向上	兩端都向下
n 為奇數	左端向下,右端向上	左端向上,右端向下

原因是: $p(x) = -x^3\left(1 - \tfrac{3}{x} - \tfrac{1}{x^2} + \tfrac{3}{x^3}\right)$ ,而括號中 1 之後的每一項,都會隨 |x| 變大而縮小到 0。極限記號可以讀成「當 x 無限增大時,p(x) 無限減小」。

1.7 · 有理函數與端點行為

首項之比

有理函數是兩個多項式的比, $r(x) = \dfrac{p(x)}{q(x)}$ ,其中 q 不是零多項式。在遠處,每個多項式的行為都像它的首項,所以 r 的行為像兩個首項之比。

degrees	水平漸近線	遠處
分子 < 分母	y = 0	3x/(x² + 1) ≈ 3/x → 0
分子 = 分母	y = 首項係數之比	(2x² − 1)/(x² + 2) ≈ 2x²/x² = 2
分子 > 分母	沒有;行為像多項式	(x² + x + 1)/(x − 1) ≈ x²/x = x

在每一張圖中,紅點與藍點分別跑向 −∞ 與 ∞,並貼近紅色虛線。次數相等時, $r(100) = 1.9995$ :接近 2,卻從下方永遠到不了。

\lim_{x\to\pm\infty} \frac{2x^2 - 1}{x^2 + 2} = 2

當分子的次數恰好比分母多 1 時,圖形會趨近一條斜漸近線,即一條直線 y = mx + b,可由長除法求得(1.11)。這裡是 y = x + 2。圖形可以穿過水平或斜漸近線;漸近線只描述兩端。

1.8 · 有理函數與零點

分子為零而分母不為零的地方

$r(x) = \dfrac{p(x)}{q(x)}$ 的實零點,是分子 p 的實零點中,落在 r 的定義域內的那些:p 為 0 而 q 不為 0 的輸入。

對 $r(x) = \dfrac{(x + 2)(x - 1)}{(x + 1)(x - 3)}$ ,零點是 −2 and 1。輸入 −1 and 3 不在定義域內:在那裡分母是 0,圖形有鉛直漸近線(1.9)。

輸出只可能在零點或 r 無定義的地方改變正負號。所以這四個輸入把數線切成幾個區間,在每個區間取一個測試輸入,就能得到整個區間的正負號:

interval	x < −2	−2 < x < −1	−1 < x < 1	1 < x < 3	x > 3
測試 x	−3	−1.5	0	2	4
r(x)	0.33	−0.56	0.67	−1.33	3.6
sign	+	−	+	−	+

這樣就能解不等式。 $r(x) \ge 0$ 的地方是圖形在軸上或軸上方(紅色):x ≤ −2,或 −1 < x ≤ 1,或 x > 3。零點包含在內(在那裡 r = 0);漸近線則絕不包含。

分子的零點如果同時也是分母的零點,就不是 r 的零點。那是洞或漸近線(1.10)。

1.9 · 有理函數與鉛直漸近線

分母為零,並且持續為零的地方

若 a 是分母的實零點,但不是分子的零點,或是分母的零點且重數較高,則直線 x = a 是 r 的鉛直漸近線。在它附近,輸出無限增大。

對 $r(x) = \dfrac{4}{(x + 1)(x - 2)^2}$ ,分母在 −1 and 2 為 0,而分子永遠不為 0:

x	−1.01	−0.99	1.99	2.01
r(x)	−44	45	13378	13289

\begin{aligned} \lim_{x\to -1^-} r(x) &= -\infty \\ \lim_{x\to -1^+} r(x) &= \infty \\ \lim_{x\to 2^\pm} r(x) &= \infty \end{aligned}

每一側的正負號由各因式決定。在 x = −1 附近,因式 x + 1 改變正負號,所以兩側的方向相反。在 x = 2 附近,因式是平方,兩側都是正,所以兩側都向上。重數為奇數:方向相反;為偶數:方向相同。

$\lim_{x\to a^+}$ 表示 x 從右側趨近 a,經過大於 a 的值; $\lim_{x\to a^-}$ 則是從左側趨近。

1.10 · 有理函數與洞

約掉的因式

若 a 同時是分子與分母的零點,且分子中的重數不小於分母中的重數,則圖形在 x = a 處有一個洞:缺少一個點。

\begin{aligned} r(x) &= \frac{x^2 + x - 6}{x^2 - x - 2} \\ &= \frac{(x - 2)(x + 3)}{(x - 2)(x + 1)} \\ &= \frac{x + 3}{x + 1}, \quad x \ne 2 \end{aligned}

因式 x − 2 在上、下各約掉一次,所以 x = 2 是洞。它的高度是化簡後的式子在該處給出的值,這也是兩側都趨近的極限:

\lim_{x\to 2} r(x) = \frac{2 + 3}{2 + 1} = \frac{5}{3}

因式 x + 1 沒有被約掉,所以 x = -1 是鉛直漸近線;分子剩下 x + 3,所以 x = -3 是唯一的零點。注意 2 不是零點,雖然它使分子為 0。

若分母中的重數較高,約分之後分母仍留下一個因式,結果是漸近線而不是洞: $\dfrac{x - 2}{(x - 2)^2} = \dfrac{1}{x - 2}$ 在 x = 2 有鉛直漸近線。

1.11 · 多項式與有理式的等價表示

因式分解、標準式、長除法、展開

同一個函數可以用好幾種方式來寫。每一種形式都顯示出其他形式藏起來的東西。

標準式 $x^3 - 2x^2 - 5x + 6$ 顯示首項(端點行為)與 y 截距 6。
因式分解式 $(x + 2)(x - 1)(x - 3)$ 顯示零點,在有理函數中還顯示漸近線與洞。

多項式長除法把有理函數改寫成一個多項式加上一個餘式分數。用 $x - 1$ 除 $x^2 + x + 1$ :x(x − 1) 減去 x² − x,剩下 2x + 1;2(x − 1) 減去 2x − 2,剩下 3。

\begin{gathered} x^2 + x + 1 = (x - 1)(x + 2) + 3 \\ \frac{x^2 + x + 1}{x - 1} = x + 2 + \frac{3}{x - 1} \end{gathered}

隨著 |x| 變大,餘式項(藍色間隙)縮小到 0,所以商 y = x + 2 就是斜漸近線。一般而言,若 p = q·s + t,則 p/q = s + t/q。餘式為 0,表示除式是因式。

二項式定理用巴斯卡三角形第 n 列的數來展開 $(a + b)^n$ ,每個數都是它上方兩數之和:

(a + b)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} a^{n-k} b^k

第 3 列是 1, 3, 3, 1,所以 $(x + 2)^3 = x^3 + 3x^2(2) + 3x(2)^2 + 2^3 = x^3 + 6x^2 + 12x + 8$ 。

1.12 · 函數的變換

平移、伸縮與反射

可以從母函數 f 出發,透過平移與伸縮它的圖形來建立新函數。紅色圖形是 $g(x) = a\,f\big(b(x - h)\big) + k$ ,由 [−2, 2] 上灰色的 $f(x) = x^3 - 3x$ 建立;圖形一次只改變 h、k、a 與 b 其中之一。

form	f 的圖形
f(x) + k	鉛直平移 k(k > 0 時向上)
f(x − h)	水平平移 h(h > 0 時向右);f(x + h) 則向左移
a·f(x)	鉛直伸縮 \|a\| 倍;若 a < 0,則對 x 軸反射
f(bx)	水平伸縮 1/\|b\| 倍;若 b < 0,則對 y 軸反射

加法的改變是平移;乘法的改變是伸縮。f 外面的改變作用在輸出上,做的就是字面上的事;裡面的改變作用在輸入上,做的剛好相反:x − 1.5 向右移,而 b = 2 把圖形壓縮到一半寬。

定義域與值域隨圖形移動。在圖形演示結束時,h = 1.5、k = 1、a = 1.5、b = 2:

g(x) = 1.5\,f\big(2(x - 1.5)\big) + 1

定義域 [−2, 2] 被壓縮為 1/2 並平移 1.5:[0.5, 2.5]。值域 [−2, 2] 被伸長 1.5 倍並向上平移 1:[−2, 4]。坐標軸上的藍色長條顯示這兩者。

1.13 · 函數模型的選擇與假設的說明

哪一種函數適用,以及在什麼定義域上

要為資料建模,先選出變化規律與資料相符的函數類型,再說明假設,以及模型有意義的定義域。

一顆球被向上拋出;每秒量一次它的高度(假設的資料):

t (s)	0	1	2	3	4
h (m)	1	16	21	16	1
change	15	5	−5	−15
變化的變化	−10	−10	−10

一階差分不是常數,所以線性模型是錯的:通過前兩個點的虛線在 t = 4 預測 61 m,而實測是 1 m。二階差分是常數 −10,所以二次函數剛好適用:

h(t) = -5t^2 + 20t + 1

線性:變化率大致固定;
二次:變化率以大致固定的速率改變,或資料先升後降,對稱於某個極值;
三次或更高次:轉折更多,或變化率本身的變化率也在改變;
分段:輸入的不同範圍有不同的規律;
有理:成反比的量,或趨近某個值而趨於平穩的量。

假設。這個模型忽略空氣阻力,並且只在球還在空中時成立:從拋出到 h(t) = 0 為止,即 0 ≤ t ≤ 4.05。在這個定義域之外,它的輸出(負的高度)沒有意義。

1.14 · 函數模型的建立與應用

從情境到函數,再回到情境

建立模型,就是先為輸入命名,再根據情境的幾何形狀或規則,把輸出寫成輸入的式子,並找出情境所允許的定義域。然後模型就能回答問題。

從 12 × 8 英寸紙板的每個角剪掉一個 x × x 的正方形,再把四邊折起。盒子深 x、長 12 − 2x、寬 8 − 2x:

\begin{gathered} V(x) = x(12 - 2x)(8 - 2x) \\ 0 < x < 4 \end{gathered}

定義域來自情境:剪下的部分必須有正的大小,而 8 英寸的邊會在 x = 4 時用完。三次函數的其他行為(之後的負體積)不在模型之內。

最大的盒子:從圖形(或計算機)可知,最大值在 x ≈ 1.57 in,V ≈ 67.6 in³。
60 in³ 的盒子:解 V(x) = 60。有一個解是精確的,x = 1:1 · 10 · 6 = 60。另一個是 x ≈ 2.21。

其他模型也用同樣的方法建立。n 次多項式可以通過 n + 1 個輸入互異的點;有理模型則適合比值,例如每件的平均成本 $C(n) = \dfrac{500 + 3n}{n}$ 元,它的水平漸近線 3 是固定的 $500 被攤薄之後每件的成本。回答時一定要用情境的單位,並對照情境的限制檢查。