第2章 · 指數函數與對數函數

靠相乘而成長

有些量每一步都加上同樣的數量。另一些則每一步都乘以同樣的倍數。第二種一開始很慢,然後會超越任何一條直線。

藍色曲線是 $y = 2^x$:每向右 1 步,高度就加倍,從 x = −2 處的 0.25 到 x = 3 處的 8。紅色曲線把它還原。$y = \log_2 x$ 問的是 2 的幾次方會得到 x,所以它把 8 變回 3。

兩條曲線關於虛線 $y = x$ 互為鏡像:一條上的點 (x, 2^x) 對應到另一條上的 (2^x, x)。

本章從數列談到指數函數及其模型,接著經過函數合成與反函數,進入對數、對數所解的方程式,以及把指數資料變成直線的半對數圖。這是 AP Precalculus 的第 2 單元。

2.1 · 等差數列與等比數列

相加,或相乘

數列是輸入為整數 n 的函數。在等差數列中,每一項都加上同樣的公差 d;在等比數列中,每一項都乘以同樣的公比 r。

藍點是 $a_n = 2 + 3n$,紅點是 $g_n = 2(1.5)^n$。兩者都從 2 出發。等差數列每一步上升 3;等比數列每次上升得更多,到 n = 6 時就超前了。

任何已知的一項都可以當起點:$a_n = a_k + d(n - k)$ 與 $g_n = g_k\, r^{\,n-k}$。例題。若 $a_2 = 8$ 且 $a_5 = 17$,則公差為 $d = \frac{17 - 8}{5 - 2} = 3$。若 $g_1 = 3$ 且 $g_4 = 10.125$,則 $r^3 = 3.375$,所以 r = 1.5。

同樣的兩種規律,輸入改為每個實數而不只是整數步,就是線性函數與指數函數。

2.2 · 線性變化與指數變化

輸入等量增加,輸出得到等差或等比

在長度相等的輸入區間上,線性函數的變化量有相等的差;指數函數的變化量有相等的比。線性變化是加法的,指數變化是乘法的。

讓區間 [x, x + 1] 沿兩條曲線滑動。在 $f(x) = 2 + 3x$ 上,增加量永遠是 3。在 $g(x) = 2(1.5)^x$ 上,增加量越來越大,但兩個高度的比永遠是 1.5:

這幾種形式說的是同一件事。$f(x) = b + mx$ 從 b 出發,每單位加 m;$g(x) = a r^x$ 從 a 出發,每單位乘以 r。等差數列就是定義在整數上的線性函數,等比數列則是定義在整數上的指數函數。

在長度為 2 的區間上,線性函數增加 6,是 3 的兩倍,而指數函數則乘以 $1.5^2 = 2.25$。給定兩點,線性模型是 $f(x) = y_i + m(x - x_i)$,指數模型是 $g(x) = y_i\, r^{\,x - x_i}$。

2.3 · 指數函數

a·bˣ,以及 b 決定了什麼

指數函數的形式為 $f(x) = a b^x$,其中初始值 a ≠ 0,底數 b > 0 且 b ≠ 1。它的圖形通過 (0, a)。

紅色曲線是 $y = b^x$,其中 b 從 2 掃過 1 降到 $\tfrac{1}{2}$,再回來。當 a > 0 時:

• b > 1:指數成長,恆為遞增;當 $x \to \infty$ 時 $f(x) \to \infty$,當 $x \to -\infty$ 時 $f(x) \to 0$。
• 0 < b < 1:指數衰減,恆為遞減;端點行為相反。
• 定義域:所有實數。值域:y > 0。直線 y = 0 是水平漸近線。
• 恆為凹向上,沒有極值,也沒有反曲點。

當 b = 1 時,曲線是水平直線 y = 1,這就是為什麼 1 不能當底數。若 a < 0,圖形會翻到坐標軸下方,凹向也隨之相反。

例題。$f(x) = 3\left(\tfrac{1}{2}\right)^x$ 從 3 出發,每增加一單位就減半:$f(2) = 3 \cdot \tfrac{1}{4} = 0.75$。隨著 x 增大,它趨近 0,卻永遠到不了 0。

2.4 · 指數的運算

平移就是伸縮

指數律可以把指數函數改寫成等價的形式,而每一種形式都顯示圖形的不同特徵。

由乘積律得 $2^{x+k} = 2^k \cdot 2^x$。所以把 $y = 2^x$ 向左移 k(藍色),得到的曲線與把它鉛直伸縮 $2^k$ 倍(紅色)完全相同。圖形讓 k 從 0 掃到 2:點 (1, 2) 向左滑到 (1 − k, 2),並升到 (1, $2^{1+k}$),兩者都落在紅色曲線上。

指數函數的水平平移永遠等於鉛直伸縮。其他指數律還能告訴我們更多:$\left(\tfrac{1}{2}\right)^x = 2^{-x}$ 是 $2^x$ 對 y 軸的反射,而 $8^{x/3} = (8^{1/3})^x = 2^x$。每個指數函數都可以改用 1 以外的任何正數當底數來寫,包括自然底數 e ≈ 2.7183。

2.5 · 指數模型

固定的百分比變化

指數模型適用於在相同時間內變化比例相同的量:人口、投資、放射性樣本。

碳-14 的半衰期是 5,730 年:每過 5,730 年,剩下的就有一半衰變。以 t 為年數,剩餘的百分比為

改寫成每單位形式,可得年因子:$\left(\tfrac{1}{2}\right)^{1/5730} \approx 0.999879$。剩下 30% 的樣本大約有 9,953 年,介於一個與兩個半衰期之間(2.13 說明如何解出 t)。

其他形式則由情境而來:

• 百分率 r:$f(t) = a(1 + r)^t$(成長)或 $a(1 - r)^t$(衰減)。
• 複利,一年 n 次:$1,000 以 6% 月利率存 10 年,結果是 $1000\left(1 + \tfrac{0.06}{12}\right)^{120} \approx 1819.40$;連續複利則是 $1000e^{0.06(10)} \approx 1822.12$。
• 兩個點決定模型 $y = y_i\, b^{\,x - x_i}$。一個假設的小鎮有 1,200 人,在 4 年內達到 1,500 人,則 $b = \left(\tfrac{1500}{1200}\right)^{1/4} \approx 1.0574$:每年成長 5.74%。
• 資料:在計算機上做指數迴歸,可求出最能配適散布圖的 a 與 b。

模型的好壞取決於它的假設:超出資料範圍,或碰到真實的限制(食物、空間)時,它可能就不再適用。

2.6 · 選擇模型:殘差

模型漏掉了什麼

殘差是實際值減去模型預測值。若殘差圖沒有任何規律,這個模型就是適當的。

這些數量是假設的:每小時計數一次的細菌培養。我們用兩個模型去配適,即最小平方直線 $\hat y = -62.18 + 123.11x$(藍色)與指數函數 $\hat y = 50.39(1.596)^x$(紅色)。

直線的殘差先正、再負、又回到正:呈 U 形,這是直線追不上的彎曲的徵兆。指數函數的殘差則在 0 的上下散開,沒有規律,所以指數模型是比較好的選擇。

正負號可以直接解讀:殘差為正表示模型在那裡低估,為負則表示高估。在第 3 小時,直線預測 307,而實際是 202,高估了 105。

2.7 · 函數的合成

一個函數的輸出,是下一個函數的輸入

合成函數 $f(g(x))$,也寫作 $(f \circ g)(x)$,是先套用 g,再把結果套用 f。

這裡 $g(x) = x - 1$ 且 $f(x) = 2^x$。順著圓點往下看:最上面一條線是 x,接著是 g(x),即少 1,然後是 2 的那個次方。

所以 $f(g(x)) = 2^{x-1}$。換個順序就是不同的函數:$g(f(x)) = 2^x - 1$,而 $g(f(3)) = 7$,不是 4。一般來說 $f(g(x)) \ne g(f(x))$。

• $f(g(x))$ 的定義域,是 g 的輸入中,輸出落在 f 的定義域內的那些。
• 恆等函數 $I(x) = x$ 什麼都不改變:$f(I(x)) = I(f(x)) = f(x)$。
• 變換就是合成:$f(x - 1)$ 是 f 與輸入的加法平移的合成,$3f(x)$ 是在 f 之後再乘以 3 的合成。
• 分解函數,就是找出可以合成它的各個部分:$h(x) = (x^2 + 1)^3$ 是 $f(g(x))$,其中 $g(x) = x^2 + 1$ 且 $f(x) = x^3$。

合成也可以從表格或圖形讀出:先求 g(x),再把這個值當成 f 的輸入去查。

2.8 · 反函數

把函數還原

函數的反函數 $f^{-1}$ 把它反過來:若 $f(a) = b$ 則 $f^{-1}(b) = a$,而且 $f^{-1}(f(x)) = f(f^{-1}(x)) = x$。

把輸入和輸出對調,圖形會關於 $y = x$ 反射:f 上的點 (a, b) 變成 $f^{-1}$ 上的 (b, a)。f 的定義域變成 $f^{-1}$ 的值域,值域則變成它的定義域。

只有當 f 是一對一,也就是每個輸出只來自一個輸入時,才有反函數。藍色直線 $y = c$ 與整條拋物線 $y = x^2$ 相交兩次,在 $x = \pm\sqrt{c}$,所以 $x^2$ 在全體實數上沒有反函數。把定義域限制在 x ≥ 0,就保留了一對一的那一半,在那裡反函數是 $f^{-1}(x) = \sqrt{x}$(紅色)。

求反函數。寫下 $y = 3x - 4$,對調 x 與 y,再解出 y:

驗算:$f(3) = 5$ 且 $f^{-1}(5) = \frac{5 + 4}{3} = 3$。反函數按相反的順序一步一步還原 f:先加 4,再除以 3。

2.9 · 對數式

所求的就是那個指數

對數 $\log_b c$ 是把底數 b 變成 c 的指數 a,其中 b > 0、b ≠ 1 且 c > 0:

有兩個底數有專屬的名稱:常用對數 $\log x$ 以 10 為底,自然對數 $\ln x$ 以 e 為底。永遠有 $\log_b 1 = 0$ 與 $\log_b b = 1$。

圖形把數值 $c = 10^u$ 放在對數刻度上(紅色),下方是它們的指數 $u = \log_{10} c$(藍色)。刻度上相等的長度代表相等的比:1 到 10、10 到 100、100 到 1000 的距離都一樣。這就是對數刻度能把大小懸殊的數值放在同一條線上的原因。

估計值來自相鄰的冪:50 介於 10 與 100 之間,所以 $\log_{10} 50$ 介於 1 與 2 之間;它是 1.699。

2.10 · 指數函數的反函數

對數把 bˣ 還原

$f(x) = b^x$ 是一對一函數,所以有反函數,而這個反函數就是對數 $f^{-1}(x) = \log_b x$。

把 $y = 2^x$ 的表格每一列都對調,就得到 $y = \log_2 x$ 的表格。圖中的紅點正是這樣做的:每個 (x, 2^x) 越過 $y = x$ 飛到 (2^x, x)。

於是這兩個函數的特徵互相對調。$b^x$ 的定義域是所有實數,值域是 y > 0,水平漸近線是 y = 0;$\log_b x$ 的定義域是 x > 0,值域是所有實數,鉛直漸近線是 x = 0。兩者互相還原:

以 e 為底時,$e^x$ 與 $\ln x$ 互為反函數:$\ln e^{3} = 3$ 與 $e^{\ln 50} = 50$。

2.11 · 對數函數

輸入相乘,輸出相加

對數函數的形式為 $f(x) = a \log_b x$,其中 a ≠ 0、b > 0 且 b ≠ 1。它把乘法的變化變成加法的變化。

在 $y = \log_2 x$ 上,輸入每加倍一次,輸出就加 1:藍色階梯從 (1, 0) 走到 (2, 1)、(4, 2)、(8, 3)、(16, 4)。在比值相同的輸入區間上,輸出的差也相同:恰好與指數函數相反。

當 a > 0 且 b > 1 時:

• 定義域 x > 0,值域為所有實數;x 截距是 (1, 0)。
• y 軸是鉛直漸近線:當 $x \to 0^+$ 時 $\log_b x \to -\infty$。
• 恆為遞增,且恆為凹向下;當 $x \to \infty$ 時 $\log_b x \to \infty$,但比 x 的任何正次方都慢。
• 沒有極值,也沒有反曲點。當 0 < b < 1 時,它恆為遞減(且凹向上)。

它的緩慢正是特色:輸入每加倍一次,輸出只增加 1,所以 $\log_2 x$ 要到 x = 1024 才會達到 10。

2.12 · 對數的運算

伸縮就是平移

每一條指數律都有一條對數律與之對應,因為對數就是指數。

由乘積律得 $\log_2(kx) = \log_2 k + \log_2 x$。把 $y = \log_2 x$ 朝 y 軸壓縮為 1/k 倍(藍色),得到的曲線與把它向上提升 $\log_2 k$(紅色)相同。當 k 從 1 掃到 4 時,點 (2, 1) 向內移到 (2/k, 1),並向上移到 (2, 1 + $\log_2 k$),兩者都落在紅色曲線上。

所以對數的水平伸縮就是鉛直平移,這是 2.4 的對應版本。冪次律使 $\log_b x^n$ 成為鉛直方向 n 倍的伸縮,$\log_b \tfrac{1}{x} = -\log_b x$ 則是對 x 軸的反射。

例題。$\log_2 40 = \log_2 8 + \log_2 5 \approx 3 + 2.3219 = 5.3219$;$\log_2 24 - \log_2 3 = \log_2 8 = 3$;再由換底公式,$\log_3 20 = \dfrac{\ln 20}{\ln 3} \approx 2.7268$。每個對數函數都是 $\ln x$ 的常數倍。

2.13 · 指數與對數方程式及不等式

先還原,再驗算

解指數方程式,要先把冪孤立出來,再取對數;解對數方程式,要先把對數孤立出來,再取指數。反函數會把函數還原。

圖形同時對每個水平位置 c 解 $3 \cdot 2^x = c$:曲線與藍線相交於 $x = \log_2 \tfrac{c}{3}$。在 $c = 24$ 時:

不等式 $3 \cdot 2^x > 24$ 只需要看方向:$2^x$ 是遞增的,所以當 x > 3 時成立,也就是坐標軸上紅色的那一段。遞減函數(底數介於 0 與 1 之間)會使不等號反向。

以 e 為底。$5e^{0.2t} = 20$ 得 $e^{0.2t} = 4$,所以 $t = \frac{\ln 4}{0.2} \approx 6.931$。

一個對數方程式。$\log_2 x + \log_2(x - 2) = 3$ 合併為 $\log_2\big(x(x - 2)\big) = 3$,所以 $x^2 - 2x = 8$,而 x = 4 或 x = −2。但 −2 不在 $\log_2 x$ 的定義域內:它是增根。唯一的解是 x = 4。一定要把解代回原方程式驗算。

同樣的步驟也能求反函數:$y = 3 \cdot 2^x$ 的反函數是 $f^{-1}(x) = \log_2 \tfrac{x}{3}$。

2.14 · 對數模型

一開始進步快,之後變慢

對數模型 $y = a + b\ln x$ 適用於一開始成長很快、之後越來越慢的量,或是輸入的相等比值會使輸出產生相等差的量。

資料是假設的:某位打字員練習每週後的速度,單位為每分鐘字數。對數迴歸得到

週數每加倍一次,速度就增加每分鐘 $14.70 \ln 2 \approx 10.19$ 字:從第 1 週到第 2 週,和從第 4 週到第 8 週增加得一樣多。第 10 週的預測值為 $\hat y \approx 54.4$,這是超出資料範圍的外插,可信度較低。

對數刻度可以衡量許多真實的量,因為這些量的值橫跨許多個 10 的次方:

• 以分貝表示的音量:$L = 10 \log_{10} \tfrac{I}{I_0}$。強度加倍會增加 $10\log_{10} 2 \approx 3.01$ dB;乘以 10 則增加 10 dB。
• 酸度:$\text{pH} = -\log_{10}[\text{H}^+]$。$[\text{H}^+] = 10^{-3}$ 的溶液 pH 為 3;濃度變成十倍,pH 就降低 1。

對數模型與指數模型互為反函數:若 y 隨 x 呈指數成長,則 x 隨 y 呈對數成長。

2.15 · 半對數圖

把指數資料拉成直線

半對數圖的 x 軸保持線性,而把 y 放在對數刻度上。在這種圖上,指數資料會落在一條直線上。

對指數模型 $y = a b^x$ 取對數:

這是 $\log_{10} y$ 中的一條直線,斜率為 $\log_{10} b$,鉛直截距為 $\log_{10} a$。任何底數 n > 1 的作法都相同。

2.6 的細菌數量(假設的)在一般方格紙上向上彎曲,在半對數紙上卻排成一直線。它們的最佳配適直線是 $\log_{10}\hat y = 1.7023 + 0.2030x$,所以

模型為 $\hat y = 50.39(1.596)^x$:每小時細菌約增加 60%。

半對數圖既是工具,也是檢驗:排成直線的資料是指數型的;仍然彎曲的資料則不是,需要另一種模型。