Hàm đa thức và hàm hữu tỉ · AP Precalculus

Chương 1 · Hàm đa thức và hàm hữu tỉ

đầu ra thay đổi thế nào theo đầu vào

Một hàm số ghép mỗi đầu vào với một đầu ra. Precalculus hỏi các đầu ra thay đổi thế nào khi đầu vào thay đổi: chúng tăng giảm ở đâu, nhanh đến mức nào, và điều gì xảy ra ở rất xa.

Đồ thị là hàm bậc ba $p(x) = \tfrac{1}{2}(x + 2)(x - 1)(x - 3)$ . Các nhân tử của nó cho thấy các không điểm −2, 1, 3, nơi nó cắt trục x. Cát tuyến màu đỏ trượt dọc theo nó; hệ số góc của cát tuyến là tốc độ thay đổi trung bình trên khoảng của nó. Trên [0, 2]:

\frac{p(2) - p(0)}{2 - 0} = \frac{-2 - 3}{2} = -2.5

Chương này là Unit 1 của AP Precalculus, unit lớn nhất của kì thi (khoảng 30–40%). Nó xây dựng các công cụ cho hàm đa thức (tổng các lũy thừa của x) và hàm hữu tỉ (một đa thức chia cho một đa thức khác): tốc độ thay đổi, không điểm, hành vi ở hai đầu, tiệm cận và lỗ thủng, các phép biến đổi, và cuối cùng là chọn và xây dựng một hàm số để mô hình hóa dữ liệu thực.

1.1 · Thay đổi song hành

đầu vào và đầu ra, biến thiên cùng nhau

Một hàm số f đưa mỗi đầu vào x đến một đầu ra f(x). Khi đầu vào thay đổi, đầu ra thay đổi theo, song hành với nó. Đồ thị cho thấy cả hai cùng lúc: đầu vào dọc theo trục x, đầu ra là độ cao.

Hãy theo dõi điểm trên $f(x) = x^3 - 3x$ khi x di chuyển. Các đường dẫn màu xám đưa đầu vào xuống trục x và đầu ra sang trục y.

x	−2	−1	0	1	2
f(x)	−2	2	0	−2	2

f đồng biến trên một khoảng nếu khi đầu vào tăng, đầu ra luôn tăng: với mọi a < b trong khoảng đó, f(a) < f(b). Nó nghịch biến nếu đầu ra luôn giảm. Ở đây f đồng biến với x < -1 (đỏ), nghịch biến giữa -1 và 1 (xanh lam), và lại đồng biến sau 1.

Đầu ra dương ở nơi đồ thị nằm trên trục x và âm ở nơi nó nằm dưới. Nó đổi dấu tại các không điểm, những đầu vào có f(x) = 0: ở đây là 0 và ±√3 ≈ ±1.73.

Trong bối cảnh thực tế, các từ này cũng dùng như vậy: khi rót nước vào một chiếc bình hoa với tốc độ đều, độ sâu tăng lên, nhanh ở chỗ bình hẹp và chậm ở chỗ bình rộng. Đồ thị của độ sâu theo thể tích là bức tranh cho thấy hai đại lượng thay đổi cùng nhau như thế nào.

1.2 · Tốc độ thay đổi

hệ số góc của cát tuyến, và hệ số góc tại một điểm

Tốc độ thay đổi trung bình của f trên [a, b] là độ thay đổi của đầu ra chia cho độ thay đổi của đầu vào: hệ số góc của cát tuyến từ (a, f(a)) đến (b, f(b)).

\frac{f(b) - f(a)}{b - a}

Tốc độ thay đổi tại một điểm được xấp xỉ bằng các tốc độ thay đổi trung bình trên những khoảng ngày càng nhỏ quanh nó. Với $f(x) = \tfrac{1}{2}x^2$ tại x = 2, lấy các cát tuyến trên [2 − h, 2] (xanh lam) và [2, 2 + h] (đỏ):

h	1	0.5	0.1	0.01
left	1.5	1.75	1.95	1.995
right	2.5	2.25	2.05	2.005

Hai cột tiến sát vào 2 từ hai phía: tốc độ thay đổi tại x = 2 là 2, hệ số góc của tiếp tuyến nét đứt. Cũng làm như vậy tại x = 1 cho 1.

So sánh hai kết quả: tốc độ tại 2 lớn hơn tốc độ tại 1, nên đồ thị dốc dần lên khi x tăng. Hai mối liên hệ cần nhớ:

tốc độ thay đổi dương nghĩa là f đồng biến ở đó; tốc độ thay đổi âm nghĩa là nghịch biến;
nơi tốc độ thay đổi tăng, đồ thị lõm lên (nó uốn lên trên, như đồ thị này); nơi nó giảm, đồ thị lõm xuống.

1.3 · Tốc độ thay đổi của hàm tuyến tính và hàm bậc hai

thay đổi không đổi, và thay đổi đang thay đổi đều đặn

Cho đầu vào tăng từng bước bằng nhau và quan sát đầu ra. Quy luật của các thay đổi phân biệt hàm tuyến tính với hàm bậc hai.

x	0	1	2	3	4
2x + 1	1	3	5	7	9
change	+2	+2	+2	+2
x² − 4x + 5	5	2	1	2	5
change	−3	−1	+1	+3
thay đổi của thay đổi	+2	+2	+2

Tuyến tính: tốc độ thay đổi trung bình bằng nhau trên mọi khoảng, đó là hệ số góc, 2. Các bước đầu vào bằng nhau cho các thay đổi đầu ra bằng nhau.

Bậc hai: trên các khoảng liên tiếp có cùng độ dài, các tốc độ thay đổi trung bình là −3, −1, 1, 3. Chúng không phải là hằng số, nhưng chúng thay đổi với tốc độ không đổi, 2 mỗi bước. Với $ax^2 + bx + c$ và bước bằng 1, hằng số đó là 2a.

Các tốc độ cũng xác định vị trí đỉnh. Chúng âm cho đến x = 2 (hàm nghịch biến) và dương sau đó (đồng biến), nên giá trị nhỏ nhất ở x = 2. Vì các tốc độ tăng, parabol lõm lên; với a < 0 chúng sẽ giảm, và parabol sẽ lõm xuống.

1.4 · Hàm đa thức và tốc độ thay đổi

điểm đổi chiều, điểm uốn, cực trị toàn cục

Một hàm đa thức là $p(x) = a_n x^n + a_{n-1}x^{n-1} + \dots + a_1 x + a_0$ , với các hệ số thực và a_n ≠ 0. Bậc của nó là n, và a_n là hệ số cao nhất. Một hằng số khác không là đa thức bậc 0.

Đồ thị là $p(x) = \tfrac{1}{4}x^4 - 2x^2 + 1$ . Đường thẳng đỏ đi cùng với hệ số góc của đường cong, tức tốc độ thay đổi của nó:

một cực đại địa phương là nơi tốc độ thay đổi chuyển từ dương sang âm: (0, 1);
một cực tiểu địa phương, từ âm sang dương: (−2, −3) và (2, −3);
một điểm uốn là nơi tốc độ thay đổi chuyển từ tăng sang giảm hoặc ngược lại, nên độ lõm đổi chiều: tại x = ±2/√3 ≈ ±1.15.

Giá trị thấp nhất mà hàm số từng nhận, −3, là giá trị nhỏ nhất toàn cục của nó. Đa thức bậc chẵn luôn có giá trị lớn nhất toàn cục hoặc giá trị nhỏ nhất toàn cục (giá trị nhỏ nhất khi a_n > 0, như ở đây); đa thức bậc lẻ không có cái nào, vì đầu ra của nó chạy ra cả ∞ lẫn −∞.

Các không điểm của nó là ±(√3 − 1) ≈ ±0.73 và ±(√3 + 1) ≈ ±2.73. Giữa hai không điểm thực phân biệt bất kì của một đa thức khác hằng đều có một cực đại hoặc cực tiểu địa phương: ở đây là cực tiểu tại −2, cực đại tại 0, cực tiểu tại 2.

1.5 · Hàm đa thức và các không điểm phức

n không điểm cho bậc n, tính cả bội

Một đa thức bậc n có đúng n không điểm phức, tính cả bội. Một số có thể là thực, một số thì không.

Lấy $p(x) = \tfrac{1}{10}(x + 2)^2(x - 1)(x^2 + 1)$ , bậc 2 + 1 + 2 = 5. Các không điểm của nó:

zero	multiplicity	trên đồ thị
−2	2	chạm trục x, không cắt
1	1	cắt trục x
i, −i	mỗi loại 1	không có giao điểm với trục x: không phải số thực

a là không điểm của p đúng khi (x − a) là một nhân tử của p(x); khi a là số thực, (a, 0) là một giao điểm với trục x.
Nếu (x − a) xuất hiện k lần, a có bội k. Tại một không điểm thực có bội chẵn, đồ thị chạm trục rồi quay lại; với bội lẻ thì nó cắt trục.
Với hệ số thực, các không điểm không thực đi thành cặp liên hợp: nếu a + bi là một không điểm thì a − bi cũng vậy.

Hình thay nhân tử cuối bằng $x^2 + q$ và trượt q. Với q < 0, các không điểm ±√(−q) của nó là thực, hai giao điểm đỏ với trục x; chúng gặp nhau tại q = 0 rồi cùng rời khỏi trục thực, lên và xuống dọc trục ảo thành ±i√q. Bậc, và số lượng không điểm, không bao giờ thay đổi.

Hàm chẵn và hàm lẻ. f là hàm chẵn nếu f(−x) = f(x) với mọi x (đối xứng qua trục y), như $\tfrac{1}{4}x^4 - 2x^2 + 1$ của 1.4; là hàm lẻ nếu f(−x) = −f(x) (đối xứng qua gốc tọa độ), như $x^3 - 3x$ của 1.1. Một đa thức chỉ có lũy thừa chẵn là hàm chẵn; chỉ có lũy thừa lẻ là hàm lẻ.

1.6 · Hàm đa thức và hành vi ở hai đầu

ở rất xa, chỉ có số hạng cao nhất là quan trọng

Hành vi ở hai đầu của một hàm số là điều mà đầu ra của nó làm khi x → ∞ và x → −∞. Với đa thức, nó chỉ do số hạng cao nhất quyết định.

Đường cong đỏ là $p(x) = -x^3 + 3x^2 + x - 3 = -(x + 1)(x - 1)(x - 3)$ . Cửa sổ chứa nó phóng to gấp 12 lần kích thước rồi thu lại: hãy nhìn các con số trên các trục. Khi thu nhỏ, các không điểm dồn vào gốc tọa độ, các nhấp nhô biến mất, và đường cong nằm sát số hạng cao nhất $-x^3$ (xanh lam). Tại x = 48, p(x) bằng 0.937 lần −x³.

\begin{aligned} \lim_{x\to\infty} p(x) &= -\infty \\ \lim_{x\to -\infty} p(x) &= \infty \end{aligned}

	a_n > 0	a_n < 0
n chẵn	lên ở cả hai đầu	xuống ở cả hai đầu
n lẻ	xuống ở bên trái, lên ở bên phải	lên ở bên trái, xuống ở bên phải

Lí do: $p(x) = -x^3\left(1 - \tfrac{3}{x} - \tfrac{1}{x^2} + \tfrac{3}{x^3}\right)$ , và mọi số hạng trong ngoặc sau số 1 đều co về 0 khi |x| lớn dần. Đọc kí hiệu giới hạn là “khi x tăng không giới hạn thì p(x) giảm không giới hạn”.

1.7 · Hàm hữu tỉ và hành vi ở hai đầu

tỉ số của các số hạng cao nhất

Một hàm hữu tỉ là thương của hai đa thức, $r(x) = \dfrac{p(x)}{q(x)}$ với q không phải đa thức không. Ở rất xa, mỗi đa thức hành xử như số hạng cao nhất của nó, nên r hành xử như thương của hai số hạng ấy.

degrees	tiệm cận ngang	ở rất xa
tử < mẫu	y = 0	3x/(x² + 1) ≈ 3/x → 0
tử = mẫu	y = tỉ số các hệ số cao nhất	(2x² − 1)/(x² + 2) ≈ 2x²/x² = 2
tử > mẫu	không có; hành xử như một đa thức	(x² + x + 1)/(x − 1) ≈ x²/x = x

Trong mỗi tờ, các điểm đỏ và xanh lam chạy ra phía −∞ và ∞, rồi ổn định dọc theo đường nét đứt màu đỏ. Khi hai bậc bằng nhau, $r(100) = 1.9995$ : gần 2, nhưng từ phía dưới không bao giờ chạm tới.

\lim_{x\to\pm\infty} \frac{2x^2 - 1}{x^2 + 2} = 2

Khi bậc của tử đúng bằng bậc của mẫu cộng một, đồ thị tiến tới một tiệm cận xiên, một đường thẳng y = mx + b tìm được bằng phép chia (1.11). Ở đây nó là y = x + 2. Đồ thị có thể cắt một tiệm cận ngang hoặc tiệm cận xiên; tiệm cận chỉ mô tả hai đầu.

1.8 · Hàm hữu tỉ và các không điểm

nơi tử bằng không còn mẫu thì không

Các không điểm thực của $r(x) = \dfrac{p(x)}{q(x)}$ là các không điểm thực của tử số p nằm trong tập xác định của r: những đầu vào mà p bằng 0 còn q thì không.

Với $r(x) = \dfrac{(x + 2)(x - 1)}{(x + 1)(x - 3)}$ , các không điểm là −2 and 1. Các đầu vào −1 and 3 không thuộc tập xác định: ở đó mẫu bằng 0, và đồ thị có các tiệm cận đứng (1.9).

Đầu ra chỉ có thể đổi dấu tại một không điểm hoặc nơi r không xác định. Vì vậy bốn đầu vào đó cắt trục số thành các khoảng, và một đầu vào thử trong mỗi khoảng cho dấu trên cả khoảng:

interval	x < −2	−2 < x < −1	−1 < x < 1	1 < x < 3	x > 3
x thử	−3	−1.5	0	2	4
r(x)	0.33	−0.56	0.67	−1.33	3.6
sign	+	−	+	−	+

Điều đó giải được các bất phương trình. $r(x) \ge 0$ ở nơi đồ thị nằm trên hoặc chạm trục, màu đỏ: x ≤ −2, hoặc −1 < x ≤ 1, hoặc x > 3. Các không điểm được tính (ở đó r = 0); các tiệm cận thì không bao giờ.

Một không điểm của tử cũng là không điểm của mẫu thì không phải là không điểm của r. Đó là một lỗ thủng hoặc một tiệm cận (1.10).

1.9 · Hàm hữu tỉ và tiệm cận đứng

nơi mẫu bằng không, và vẫn bằng không

Nếu a là không điểm thực của mẫu mà không phải của tử, hoặc là không điểm của mẫu với bội lớn hơn, thì đường thẳng x = a là một tiệm cận đứng của r. Gần đó, các đầu ra tăng không giới hạn.

Với $r(x) = \dfrac{4}{(x + 1)(x - 2)^2}$ , mẫu bằng 0 tại −1 and 2, còn tử thì không bao giờ:

x	−1.01	−0.99	1.99	2.01
r(x)	−44	45	13378	13289

\begin{aligned} \lim_{x\to -1^-} r(x) &= -\infty \\ \lim_{x\to -1^+} r(x) &= \infty \\ \lim_{x\to 2^\pm} r(x) &= \infty \end{aligned}

Dấu ở mỗi phía đến từ các nhân tử. Gần x = −1, nhân tử x + 1 đổi dấu, nên hai phía đi theo hai hướng ngược nhau. Gần x = 2, nhân tử bị bình phương, dương ở cả hai phía, nên cả hai phía đều đi lên. Bội lẻ: hai hướng ngược nhau; bội chẵn: cùng một hướng.

$\lim_{x\to a^+}$ nghĩa là x tiến tới a từ bên phải, qua các giá trị lớn hơn a; $\lim_{x\to a^-}$ , từ bên trái.

1.10 · Hàm hữu tỉ và lỗ thủng

một nhân tử bị triệt tiêu

Nếu a là không điểm của cả tử và mẫu, với bội trong tử ít nhất bằng bội trong mẫu, thì đồ thị có một lỗ thủng tại x = a: một điểm duy nhất bị thiếu.

\begin{aligned} r(x) &= \frac{x^2 + x - 6}{x^2 - x - 2} \\ &= \frac{(x - 2)(x + 3)}{(x - 2)(x + 1)} \\ &= \frac{x + 3}{x + 1}, \quad x \ne 2 \end{aligned}

Nhân tử x − 2 triệt tiêu, một lần ở tử và một lần ở mẫu, nên x = 2 là một lỗ thủng. Độ cao của nó là giá trị mà dạng rút gọn cho tại đó, cũng là giới hạn mà hai phía tiến tới:

\lim_{x\to 2} r(x) = \frac{2 + 3}{2 + 1} = \frac{5}{3}

Nhân tử x + 1 không triệt tiêu, nên x = -1 là tiệm cận đứng; x + 3 còn lại ở tử, nên x = -3 là không điểm duy nhất. Lưu ý rằng 2 không phải là không điểm, dù nó làm tử bằng 0.

Nếu bội ở mẫu cao hơn, sau khi triệt tiêu vẫn còn một nhân tử ở mẫu, và kết quả là một tiệm cận chứ không phải lỗ thủng: $\dfrac{x - 2}{(x - 2)^2} = \dfrac{1}{x - 2}$ có tiệm cận đứng tại x = 2.

1.11 · Các cách biểu diễn tương đương của biểu thức đa thức và biểu thức hữu tỉ

dạng nhân tử, dạng chuẩn, dạng chia, dạng khai triển

Cùng một hàm số có thể viết theo nhiều cách. Mỗi dạng cho thấy điều mà các dạng khác che giấu.

Dạng chuẩn $x^3 - 2x^2 - 5x + 6$ cho thấy số hạng cao nhất (hành vi ở hai đầu) và giao điểm với trục y, 6.
Dạng nhân tử $(x + 2)(x - 1)(x - 3)$ cho thấy các không điểm, và trong hàm hữu tỉ còn cho thấy các tiệm cận và lỗ thủng.

Phép chia đa thức viết lại một hàm hữu tỉ thành một đa thức cộng một phân thức phần dư. Chia $x^2 + x + 1$ cho $x - 1$ : x(x − 1) lấy đi x² − x, còn lại 2x + 1; 2(x − 1) lấy đi 2x − 2, còn lại 3.

\begin{gathered} x^2 + x + 1 = (x - 1)(x + 2) + 3 \\ \frac{x^2 + x + 1}{x - 1} = x + 2 + \frac{3}{x - 1} \end{gathered}

Khi |x| lớn dần, số hạng phần dư (khoảng hở xanh lam) co về 0, nên thương y = x + 2 là tiệm cận xiên. Tổng quát, nếu p = q·s + t, thì p/q = s + t/q. Phần dư bằng 0 nghĩa là số chia là một nhân tử.

Định lí nhị thức khai triển $(a + b)^n$ với các số ở hàng n của tam giác Pascal, mỗi số là tổng của hai số ngay trên nó:

(a + b)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} a^{n-k} b^k

Hàng 3 là 1, 3, 3, 1, nên $(x + 2)^3 = x^3 + 3x^2(2) + 3x(2)^2 + 2^3 = x^3 + 6x^2 + 12x + 8$ .

1.12 · Các phép biến đổi của hàm số

tịnh tiến, giãn và đối xứng

Có thể xây dựng một hàm mới từ hàm gốc f bằng cách tịnh tiến và giãn đồ thị của nó. Đồ thị đỏ là $g(x) = a\,f\big(b(x - h)\big) + k$ , xây từ $f(x) = x^3 - 3x$ màu xám trên [−2, 2]; hình thay đổi h, k, a và b lần lượt từng cái một.

form	đồ thị của f là
f(x) + k	tịnh tiến theo phương thẳng đứng k đơn vị (lên nếu k > 0)
f(x − h)	tịnh tiến theo phương ngang h đơn vị (sang phải nếu h > 0); f(x + h) dịch nó sang trái
a·f(x)	giãn theo phương thẳng đứng với hệ số \|a\|; đối xứng qua trục x nếu a < 0
f(bx)	giãn theo phương ngang với hệ số 1/\|b\|; đối xứng qua trục y nếu b < 0

Thay đổi cộng thì tịnh tiến; thay đổi nhân thì giãn. Thay đổi bên ngoài f tác động lên đầu ra và làm đúng như nó nói; thay đổi bên trong tác động lên đầu vào và làm ngược lại: x − 1.5 dịch sang phải, và b = 2 ép đồ thị còn một nửa chiều rộng.

Tập xác định và tập giá trị di chuyển cùng đồ thị. Ở cuối phần chạy của hình, h = 1.5, k = 1, a = 1.5, b = 2:

g(x) = 1.5\,f\big(2(x - 1.5)\big) + 1

Tập xác định [−2, 2] bị ép theo 1/2 và dịch 1.5: [0.5, 2.5]. Tập giá trị [−2, 2] bị giãn theo 1.5 và dịch lên 1: [−2, 4]. Các thanh xanh lam trên các trục cho thấy cả hai.

1.13 · Chọn mô hình hàm số và nêu rõ các giả định

loại hàm nào phù hợp, và trên tập xác định nào

Để mô hình hóa dữ liệu, hãy chọn loại hàm số có quy luật thay đổi khớp với dữ liệu, rồi nêu các giả định và tập xác định mà mô hình có ý nghĩa.

Một quả bóng được ném lên; độ cao của nó được đo mỗi giây (dữ liệu giả định):

t (s)	0	1	2	3	4
h (m)	1	16	21	16	1
change	15	5	−5	−15
thay đổi của thay đổi	−10	−10	−10

Các hiệu bậc nhất không phải hằng số, nên mô hình tuyến tính là sai: đường nét đứt qua hai điểm đầu dự đoán 61 m tại t = 4 trong khi giá trị đo được là 1 m. Các hiệu bậc hai là hằng số, −10, nên một hàm bậc hai khớp chính xác:

h(t) = -5t^2 + 20t + 1

tuyến tính: tốc độ thay đổi gần như không đổi;
bậc hai: các tốc độ thay đổi với tốc độ gần như không đổi, hoặc dữ liệu tăng rồi giảm đối xứng quanh một giá trị cực trị;
bậc ba hoặc cao hơn: nhiều chỗ đổi chiều hơn, hoặc các tốc độ mà chính tốc độ của chúng cũng thay đổi;
hàm từng khúc: các quy luật khác nhau trên các đoạn đầu vào khác nhau;
hữu tỉ: các đại lượng tỉ lệ nghịch, hoặc tiến dần về một giá trị.

Các giả định. Mô hình này bỏ qua lực cản không khí và chỉ đúng khi quả bóng còn ở trên không: từ lúc ném đến khi h(t) = 0, 0 ≤ t ≤ 4.05. Ngoài tập xác định đó, các đầu ra của nó (độ cao âm) không có ý nghĩa gì.

1.14 · Xây dựng và áp dụng mô hình hàm số

từ một tình huống đến một hàm số, và ngược lại

Xây dựng một mô hình nghĩa là gọi tên đầu vào, viết đầu ra theo nó từ hình học hoặc các quy tắc của tình huống, và tìm tập xác định mà tình huống cho phép. Sau đó mô hình trả lời được các câu hỏi.

Cắt một hình vuông x × x ở mỗi góc của tấm bìa 12 × 8 inch rồi gấp các cạnh lên. Chiếc hộp cao x, dài 12 − 2x và rộng 8 − 2x:

\begin{gathered} V(x) = x(12 - 2x)(8 - 2x) \\ 0 < x < 4 \end{gathered}

Tập xác định đến từ tình huống: một nhát cắt phải có kích thước dương, và cạnh 8 inch hết tại x = 4. Hành vi còn lại của hàm bậc ba (thể tích âm ở bên ngoài) nằm ngoài mô hình.

Hộp lớn nhất: từ đồ thị (hoặc máy tính), giá trị lớn nhất đạt tại x ≈ 1.57 in, V ≈ 67.6 in³.
Một chiếc hộp 60 in³: giải V(x) = 60. Một nghiệm chính xác, x = 1: 1 · 10 · 6 = 60. Nghiệm còn lại là x ≈ 2.21.

Các mô hình khác được xây dựng theo cách tương tự. Một đa thức bậc n có thể khớp qua n + 1 điểm có đầu vào phân biệt; một mô hình hữu tỉ phù hợp với một tỉ số, như chi phí trung bình $C(n) = \dfrac{500 + 3n}{n}$ đô la mỗi sản phẩm, có tiệm cận ngang là 3, chính là chi phí mỗi sản phẩm khi khoản cố định $500 được chia mỏng ra. Luôn ghi đáp án theo đơn vị của tình huống, và kiểm tra chúng với các giới hạn của nó.