Hàm mũ và hàm logarit · AP Precalculus

Chương 2 · Hàm mũ và hàm lôgarit

tăng trưởng bằng phép nhân

Có những đại lượng tăng bằng cách cộng thêm cùng một lượng sau mỗi bước. Những đại lượng khác tăng bằng cách nhân với cùng một thừa số. Loại thứ hai bắt đầu chậm rồi vượt xa mọi đường thẳng.

Đường cong xanh lam là $y = 2^x$ : mỗi bước 1 đơn vị sang phải làm chiều cao tăng gấp đôi, từ 0.25 tại x = −2 lên 8 tại x = 3. Đường cong đỏ làm điều ngược lại. $y = \log_2 x$ hỏi lũy thừa nào của 2 cho ra x, nên nó biến 8 trở lại thành 3.

2^3 = 8 \iff \log_2 8 = 3

Hai đường cong là ảnh đối xứng của nhau qua đường nét đứt $y = x$ : điểm (x, 2^x) trên đường này tương ứng với (2^x, x) trên đường kia.

Chương này đi từ các dãy số đến hàm mũ và các mô hình của chúng, rồi qua phép hợp hàm và hàm ngược để đến logarit, các phương trình mà logarit giải được, và đồ thị bán logarit biến dữ liệu mũ thành một đường thẳng. Đây là Unit 2 của AP Precalculus.

2.1 · Dãy số cộng và dãy số nhân

cộng, hoặc nhân

Một dãy số là hàm số có đầu vào là các số nguyên n. Trong dãy cấp số cộng, mỗi số hạng cộng thêm cùng một công sai d; trong dãy cấp số nhân, mỗi số hạng nhân với cùng một công bội r.

a_n = a_0 + dn \qquad\qquad g_n = g_0\, r^n

Các chấm xanh lam là $a_n = 2 + 3n$ và các chấm đỏ là $g_n = 2(1.5)^n$ . Cả hai bắt đầu từ 2. Dãy cộng tăng 3 sau mỗi bước; dãy nhân mỗi lần tăng nhiều hơn, và đến n = 6 thì nó đã dẫn trước.

n	0	1	2	3	4	5	6
a_n	2	5	8	11	14	17	20
g_n	2	3	4.5	6.75	10.13	15.19	22.78

Bất kì số hạng đã biết nào cũng có thể làm điểm xuất phát: $a_n = a_k + d(n - k)$ và $g_n = g_k\, r^{\,n-k}$ . Ví dụ. Nếu $a_2 = 8$ và $a_5 = 17$ , công sai là $d = \frac{17 - 8}{5 - 2} = 3$ . Nếu $g_1 = 3$ và $g_4 = 10.125$ , thì $r^3 = 3.375$ , nên r = 1.5.

Hai quy luật này, với mọi đầu vào thực thay vì chỉ các bước nguyên, chính là hàm tuyến tính và hàm mũ.

2.2 · Thay đổi tuyến tính và thay đổi mũ

bước đầu vào bằng nhau, cho hiệu bằng nhau hoặc tỉ số bằng nhau ở đầu ra

Trên các khoảng đầu vào có độ dài bằng nhau, hàm tuyến tính thay đổi một hiệu bằng nhau; hàm mũ thay đổi một tỉ số bằng nhau. Thay đổi tuyến tính mang tính cộng, thay đổi mũ mang tính nhân.

Trượt cửa sổ [x, x + 1] dọc theo cả hai đường cong. Trên $f(x) = 2 + 3x$ , độ tăng luôn là 3. Trên $g(x) = 2(1.5)^x$ , độ tăng ngày càng lớn, nhưng tỉ số giữa hai độ cao luôn là 1.5:

\begin{gathered} f(x + 1) - f(x) = 3 \\ \frac{g(x + 1)}{g(x)} = 1.5 \end{gathered}

Các dạng này nói cùng một điều. $f(x) = b + mx$ bắt đầu từ b và cộng m cho mỗi đơn vị; $g(x) = a r^x$ bắt đầu từ a và nhân với r cho mỗi đơn vị. Cấp số cộng là các hàm tuyến tính trên tập số nguyên, còn cấp số nhân là các hàm mũ trên tập số nguyên.

Trên một khoảng có độ dài 2, hàm tuyến tính cộng thêm 6, gấp đôi 3, còn hàm mũ nhân với $1.5^2 = 2.25$ . Cho hai điểm, một mô hình tuyến tính là $f(x) = y_i + m(x - x_i)$ và một mô hình mũ là $g(x) = y_i\, r^{\,x - x_i}$ .

2.3 · Hàm mũ

a·bˣ, và b quyết định điều gì

Một hàm mũ có dạng $f(x) = a b^x$ với giá trị ban đầu a ≠ 0 và cơ số b > 0, b ≠ 1. Đồ thị của nó đi qua (0, a).

Đường cong đỏ là $y = b^x$ khi b quét từ 2 xuống qua 1 đến $\tfrac{1}{2}$ rồi quay lại. Với a > 0:

b > 1: tăng trưởng mũ, luôn đồng biến; $f(x) \to \infty$ khi $x \to \infty$ và $f(x) \to 0$ khi $x \to -\infty$ .
0 < b < 1: suy giảm mũ, luôn nghịch biến; hành vi ở hai đầu đảo ngược.
Tập xác định: mọi số thực. Tập giá trị: y > 0. Đường thẳng y = 0 là tiệm cận ngang.
Luôn lõm lên, không có cực trị và không có điểm uốn.

Tại b = 1, đường cong là đường thẳng nằm ngang y = 1, đó là lí do 1 bị loại khỏi các cơ số. Nếu a < 0 thì đồ thị lật xuống dưới trục hoành và độ lõm của nó đảo chiều.

Ví dụ. $f(x) = 3\left(\tfrac{1}{2}\right)^x$ bắt đầu từ 3 và giảm một nửa sau mỗi đơn vị: $f(2) = 3 \cdot \tfrac{1}{4} = 0.75$ . Khi x tăng, nó tiến gần 0 nhưng không bao giờ chạm tới.

2.4 · Biến đổi hàm mũ

một phép tịnh tiến cũng là một phép co giãn

Các quy tắc về lũy thừa viết lại một hàm mũ thành các dạng tương đương, và mỗi dạng cho thấy một điều khác nhau về đồ thị.

tích	$b^m b^n = b^{m+n}$
lũy thừa của lũy thừa	$(b^m)^n = b^{mn}$
số mũ âm	$b^{-n} = \dfrac{1}{b^n}$
số mũ hữu tỉ	$b^{1/k} = \sqrt[k]{b}$

Theo quy tắc nhân, $2^{x+k} = 2^k \cdot 2^x$ . Vì vậy tịnh tiến $y = 2^x$ sang trái k đơn vị (xanh lam) cho đúng cùng một đường cong với việc giãn nó theo chiều dọc với hệ số $2^k$ (đỏ). Hình cho k chạy từ 0 đến 2: điểm (1, 2) trượt sang trái đến (1 − k, 2) và đi lên đến (1, $2^{1+k}$ ), và cả hai rơi vào đường cong đỏ.

2^{x+3} = 2^3 \cdot 2^x = 8 \cdot 2^x

Một phép tịnh tiến ngang của hàm mũ luôn là một phép giãn dọc. Các quy tắc khác còn cho nhiều hơn: $\left(\tfrac{1}{2}\right)^x = 2^{-x}$ là ảnh đối xứng của $2^x$ qua trục y, và $8^{x/3} = (8^{1/3})^x = 2^x$ . Mọi hàm mũ đều có thể viết với bất kì cơ số dương nào khác 1, kể cả cơ số tự nhiên e ≈ 2.7183.

2.5 · Mô hình mũ

phần trăm thay đổi không đổi

Một mô hình mũ phù hợp với một đại lượng thay đổi theo cùng một tỉ lệ trong những khoảng thời gian bằng nhau: một quần thể, một khoản đầu tư, một mẫu phóng xạ.

Carbon-14 có chu kì bán rã 5,730 năm: cứ sau 5,730 năm, một nửa lượng còn lại bị phân rã. Với t tính bằng năm, phần trăm còn lại là

C(t) = 100\left(\tfrac{1}{2}\right)^{t/5730}

Viết lại theo từng đơn vị cho thừa số mỗi năm: $\left(\tfrac{1}{2}\right)^{1/5730} \approx 0.999879$ . Một mẫu còn 30% có tuổi khoảng 9,953 năm, nằm giữa một và hai chu kì bán rã (2.13 chỉ cách giải tìm t).

Các dạng khác đến từ ngữ cảnh:

Tỉ lệ phần trăm r: $f(t) = a(1 + r)^t$ (tăng trưởng) hoặc $a(1 - r)^t$ (suy giảm).
Lãi kép n lần một năm: $1,000 với lãi 6% mỗi tháng trong 10 năm là $1000\left(1 + \tfrac{0.06}{12}\right)^{120} \approx 1819.40$ ; nếu ghép lãi liên tục thì $1000e^{0.06(10)} \approx 1822.12$ .
Hai điểm xác định một mô hình $y = y_i\, b^{\,x - x_i}$ . Một thị trấn giả định có 1,200 người đạt 1,500 sau 4 năm thì có $b = \left(\tfrac{1500}{1200}\right)^{1/4} \approx 1.0574$ : tăng 5.74% mỗi năm.
Dữ liệu: hồi quy mũ trên máy tính tìm các giá trị a và b khớp nhất với biểu đồ phân tán.

Một mô hình chỉ tốt bằng các giả định của nó: nó có thể không còn khớp ngoài vùng dữ liệu, hoặc khi chạm tới một giới hạn thực (thức ăn, không gian).

2.6 · Chọn mô hình: phần dư

điều mô hình bỏ sót

Một phần dư là giá trị thực trừ đi giá trị mà mô hình dự đoán. Một mô hình là phù hợp khi biểu đồ phần dư của nó không có quy luật.

\text{residual} = y - \hat y

Các số liệu là giả định: một mẻ nuôi cấy vi khuẩn được đếm mỗi giờ. Hai mô hình được khớp với chúng, đường thẳng bình phương nhỏ nhất $\hat y = -62.18 + 123.11x$ (xanh lam) và hàm mũ $\hat y = 50.39(1.596)^x$ (đỏ).

hour	0	1	2	3	4	5	6
count	52	77	131	202	322	532	834
phần dư tuyến tính	114	16	−53	−105	−108	−21	158
phần dư hàm mũ	2	−3	3	−3	−5	10	1

Phần dư của đường thẳng dương, rồi âm, rồi lại dương: hình chữ U, dấu hiệu của độ cong mà đường thẳng không theo được. Phần dư của hàm mũ phân tán trên và dưới 0 mà không có quy luật, nên mô hình mũ là lựa chọn tốt hơn.

Dấu đọc được ngay: phần dư dương nghĩa là mô hình dự đoán thấp hơn thực tế ở đó, phần dư âm nghĩa là nó dự đoán cao hơn. Tại giờ 3, đường thẳng dự đoán 307 trong khi giá trị thực là 202, dự đoán cao hơn 105.

2.7 · Hợp của các hàm số

đầu ra của hàm này là đầu vào của hàm kia

Hàm hợp $f(g(x))$ , còn viết là $(f \circ g)(x)$ , áp dụng g trước rồi áp dụng f cho kết quả.

Ở đây $g(x) = x - 1$ và $f(x) = 2^x$ . Hãy theo các chấm đi xuống: x trên đường trên cùng, rồi g(x), bớt đi một, rồi 2 mũ lên số đó.

x = 3 \;\xrightarrow{\;g\;}\; 2 \;\xrightarrow{\;f\;}\; 2^{2} = 4

Vậy $f(g(x)) = 2^{x-1}$ . Thứ tự ngược lại là một hàm khác: $g(f(x)) = 2^x - 1$ , và $g(f(3)) = 7$ , không phải 4. Nói chung $f(g(x)) \ne g(f(x))$ .

Tập xác định của $f(g(x))$ gồm các đầu vào của g mà đầu ra nằm trong tập xác định của f.
Hàm đồng nhất $I(x) = x$ không thay đổi gì: $f(I(x)) = I(f(x)) = f(x)$ .
Các phép biến đổi là hàm hợp: $f(x - 1)$ hợp f với một phép tịnh tiến cộng vào đầu vào, $3f(x)$ hợp phép nhân với 3 sau f.
Phân tích một hàm là tìm các thành phần để hợp lại: $h(x) = (x^2 + 1)^3$ là $f(g(x))$ với $g(x) = x^2 + 1$ và $f(x) = x^3$ .

Hàm hợp cũng có thể đọc từ bảng hoặc đồ thị: tìm g(x), rồi tra giá trị đó như một đầu vào của f.

2.8 · Hàm ngược

hoàn tác một hàm số

Hàm ngược $f^{-1}$ của một hàm số đảo ngược nó: nếu $f(a) = b$ thì $f^{-1}(b) = a$ , và $f^{-1}(f(x)) = f(f^{-1}(x)) = x$ .

Đổi chỗ đầu vào và đầu ra làm đồ thị đối xứng qua $y = x$ : điểm (a, b) trên f trở thành (b, a) trên $f^{-1}$ . Tập xác định của f trở thành tập giá trị của $f^{-1}$ , và tập giá trị của nó thành tập xác định.

Hàm ngược chỉ tồn tại nếu f là đơn ánh: mỗi đầu ra chỉ đến từ một đầu vào. Đường thẳng xanh lam $y = c$ cắt toàn bộ parabol $y = x^2$ tại hai điểm, $x = \pm\sqrt{c}$ , nên $x^2$ không có hàm ngược trên toàn bộ tập số thực. Thu hẹp tập xác định về x ≥ 0 giữ lại nửa mà ở đó nó là đơn ánh, và ở đó hàm ngược là $f^{-1}(x) = \sqrt{x}$ (đỏ).

Tìm hàm ngược. Viết $y = 3x - 4$ , đổi chỗ x và y, rồi giải tìm y:

x = 3y - 4 \implies f^{-1}(x) = \frac{x + 4}{3}

Kiểm tra: $f(3) = 5$ và $f^{-1}(5) = \frac{5 + 4}{3} = 3$ . Hàm ngược hoàn tác f từng bước theo thứ tự ngược lại: cộng 4, rồi chia cho 3.

2.9 · Biểu thức logarit

số mũ, được hỏi ngược lại

Logarit $\log_b c$ là số mũ a biến cơ số b thành c, với b > 0, b ≠ 1 và c > 0:

\log_b c = a \iff b^a = c

biểu thức	$\log_{5} 125$	$\log_{2} \tfrac{1}{16}$	$\log_{10} 1000$	$\log_{3} 1$
vì	$5^{3} = 125$	$2^{-4} = \tfrac{1}{16}$	$10^{3} = 1000$	$3^{0} = 1$
giá trị	3	−4	3	0

Hai cơ số có tên riêng: logarit thập phân $\log x$ có cơ số 10, và logarit tự nhiên $\ln x$ có cơ số e. Luôn có $\log_b 1 = 0$ và $\log_b b = 1$ .

Hình đặt các giá trị $c = 10^u$ trên một thang logarit (đỏ), bên dưới các số mũ $u = \log_{10} c$ của chúng (xanh lam). Những độ dài bằng nhau trên thang là những tỉ số bằng nhau: từ 1 đến 10, từ 10 đến 100 và từ 100 đến 1000 có cùng khoảng cách. Đó là cách thang logarit đặt được các giá trị có độ lớn rất khác nhau lên cùng một đường.

Ước lượng đến từ các lũy thừa lân cận: 50 nằm giữa 10 và 100, nên $\log_{10} 50$ nằm giữa 1 và 2; nó bằng 1.699.

2.10 · Hàm ngược của hàm mũ

logarit hoàn tác bˣ

$f(x) = b^x$ là đơn ánh, nên nó có hàm ngược, và hàm ngược đó là logarit $f^{-1}(x) = \log_b x$ .

Đổi chỗ mọi hàng của bảng giá trị $y = 2^x$ thì được bảng giá trị $y = \log_2 x$ . Các chấm đỏ trong hình làm đúng việc đó: mỗi (x, 2^x) bay qua $y = x$ đến (2^x, x).

x	−2	−1	0	1	2	3
2^x	0.25	0.5	1	2	4	8

x	0.25	0.5	1	2	4	8
log₂ x	−2	−1	0	1	2	3

Vậy hai hàm đổi chỗ các đặc điểm của nhau. $b^x$ có tập xác định là mọi số thực, tập giá trị y > 0 và tiệm cận ngang y = 0; $\log_b x$ có tập xác định x > 0, tập giá trị là mọi số thực và tiệm cận đứng x = 0. Mỗi hàm hoàn tác hàm kia:

\log_b\left(b^x\right) = x \quad\text{for all } x, \qquad b^{\log_b x} = x \quad\text{for } x > 0

Với cơ số e, $e^x$ và $\ln x$ là hai hàm ngược của nhau: $\ln e^{3} = 3$ và $e^{\ln 50} = 50$ .

2.11 · Hàm logarit

nhân đầu vào, cộng vào đầu ra

Một hàm logarit có dạng $f(x) = a \log_b x$ với a ≠ 0, b > 0 và b ≠ 1. Nó biến thay đổi theo phép nhân thành thay đổi theo phép cộng.

Trên $y = \log_2 x$ , mỗi lần đầu vào tăng gấp đôi thì đầu ra tăng thêm 1: bậc thang xanh lam đi từ (1, 0) đến (2, 1), (4, 2), (8, 3), (16, 4). Trên các khoảng đầu vào có cùng tỉ số, đầu ra thay đổi cùng một hiệu: đúng ngược lại với hàm mũ.

x	1	2	4	8	16
log₂ x	0	1	2	3	4

Với a > 0 và b > 1:

Tập xác định x > 0, tập giá trị là mọi số thực; giao điểm với trục x là (1, 0).
Trục y là tiệm cận đứng: $\log_b x \to -\infty$ khi $x \to 0^+$ .
Luôn đồng biến và luôn lõm xuống; $\log_b x \to \infty$ khi $x \to \infty$ , nhưng chậm hơn bất kì lũy thừa dương nào của x.
Không có cực trị và không có điểm uốn. Với 0 < b < 1 nó luôn nghịch biến (và lõm lên).

Sự chậm chạp của nó là một đặc điểm: đầu ra tăng 1 mỗi khi đầu vào tăng gấp đôi, nên $\log_2 x$ chỉ đạt 10 tại x = 1024.

2.12 · Biến đổi logarit

một phép giãn là một phép tịnh tiến

Mỗi quy tắc về lũy thừa đều có một quy tắc logarit song sinh, vì logarit là một số mũ.

tích	$\log_b(xy) = \log_b x + \log_b y$
thương	$\log_b \dfrac{x}{y} = \log_b x - \log_b y$
lũy thừa	$\log_b x^n = n \log_b x$
đổi cơ số	$\log_b x = \dfrac{\log_a x}{\log_a b}$

Theo quy tắc về tích, $\log_2(kx) = \log_2 k + \log_2 x$ . Ép $y = \log_2 x$ về phía trục y với hệ số 1/k (xanh lam) cho cùng một đường cong với việc nâng nó lên $\log_2 k$ (đỏ). Khi k chạy từ 1 đến 4, điểm (2, 1) di chuyển vào đến (2/k, 1) và lên đến (2, 1 + $\log_2 k$ ), cả hai nằm trên đường cong đỏ.

Vậy một phép giãn ngang của logarit là một phép tịnh tiến dọc, song sinh với 2.4. Quy tắc lũy thừa làm cho $\log_b x^n$ là một phép giãn dọc với hệ số n, và $\log_b \tfrac{1}{x} = -\log_b x$ là phép đối xứng qua trục x.

Ví dụ. $\log_2 40 = \log_2 8 + \log_2 5 \approx 3 + 2.3219 = 5.3219$ ; $\log_2 24 - \log_2 3 = \log_2 8 = 3$ ; và theo đổi cơ số, $\log_3 20 = \dfrac{\ln 20}{\ln 3} \approx 2.7268$ . Mọi hàm logarit đều là một bội số không đổi của $\ln x$ .

2.13 · Phương trình và bất phương trình mũ và logarit

hoàn tác, rồi kiểm tra

Để giải một phương trình mũ, hãy tách riêng lũy thừa rồi lấy logarit; để giải một phương trình logarit, hãy tách riêng logarit rồi lấy lũy thừa. Hàm ngược hoàn tác hàm số.

Hình giải $3 \cdot 2^x = c$ cho mọi mức c cùng lúc: đường cong cắt đường thẳng xanh lam tại $x = \log_2 \tfrac{c}{3}$ . Tại $c = 24$ :

\begin{aligned} 3 \cdot 2^x &= 24 \\ 2^x &= 8 \\ x &= \log_2 8 = 3 \end{aligned}

Bất phương trình $3 \cdot 2^x > 24$ chỉ cần chiều: $2^x$ đồng biến, nên nó đúng với x > 3, đoạn đỏ của trục. Một hàm nghịch biến (cơ số giữa 0 và 1) làm đổi chiều bất phương trình.

Với cơ số e. $5e^{0.2t} = 20$ cho $e^{0.2t} = 4$ , nên $t = \frac{\ln 4}{0.2} \approx 6.931$ .

Một phương trình logarit. $\log_2 x + \log_2(x - 2) = 3$ gộp thành $\log_2\big(x(x - 2)\big) = 3$ , nên $x^2 - 2x = 8$ và x = 4 hoặc x = −2. Nhưng −2 nằm ngoài tập xác định của $\log_2 x$ : nó là nghiệm ngoại lai. Nghiệm duy nhất là x = 4. Luôn kiểm tra nghiệm trong phương trình ban đầu.

Cùng các bước đó tìm hàm ngược: $y = 3 \cdot 2^x$ có $f^{-1}(x) = \log_2 \tfrac{x}{3}$ .

2.14 · Mô hình logarit

tăng nhanh lúc đầu, rồi chậm dần

Một mô hình logarit $y = a + b\ln x$ phù hợp với một đại lượng lúc đầu tăng nhanh rồi ngày càng chậm, hoặc một đại lượng mà những tỉ số bằng nhau của đầu vào cho những hiệu bằng nhau của đầu ra.

Dữ liệu là giả định: tốc độ gõ phím của một người, tính bằng từ mỗi phút, sau mỗi tuần luyện tập. Hồi quy logarit cho

\hat y = 20.52 + 14.70\ln x

Mỗi lần số tuần tăng gấp đôi thì cộng thêm $14.70 \ln 2 \approx 10.19$ từ mỗi phút: từ tuần 1 đến tuần 2 cũng nhiều như từ tuần 4 đến tuần 8. Dự đoán ở tuần 10 là $\hat y \approx 54.4$ , một phép ngoại suy vượt ra ngoài dữ liệu, nên đáng tin hơn là kém.

Thang logarit đo nhiều đại lượng thực tế, vì các giá trị trải qua nhiều lũy thừa của 10:

Mức âm thanh tính bằng đêxiben: $L = 10 \log_{10} \tfrac{I}{I_0}$ . Cường độ tăng gấp đôi thì tăng $10\log_{10} 2 \approx 3.01$ dB; nhân cường độ với 10 thì tăng 10 dB.
Độ axit: $\text{pH} = -\log_{10}[\text{H}^+]$ . Một dung dịch có $[\text{H}^+] = 10^{-3}$ thì pH bằng 3; nồng độ tăng gấp mười lần làm pH giảm 1.

Mô hình logarit và mô hình mũ là ngược nhau: nếu y tăng theo hàm mũ của x, thì x tăng theo hàm logarit của y.

2.15 · Đồ thị bán logarit

dữ liệu mũ, được làm thẳng

Một đồ thị bán logarit giữ trục x tuyến tính và đặt y trên thang logarit. Trên đó, dữ liệu mũ nằm trên một đường thẳng.

Lấy logarit của mô hình mũ $y = a b^x$ :

\log_{10} y = \log_{10} a + x \log_{10} b

Đó là một đường thẳng trong $\log_{10} y$ , với hệ số góc $\log_{10} b$ và tung độ gốc $\log_{10} a$ . Bất kì cơ số n > 1 nào cũng cho kết quả tương tự.

Số lượng vi khuẩn ở 2.6 (giả định) cong lên trên giấy thường và thẳng hàng trên giấy bán logarit. Đường thẳng khớp nhất của chúng là $\log_{10}\hat y = 1.7023 + 0.2030x$ , nên

\begin{aligned} a &= 10^{1.7023} \approx 50.39 \\ b &= 10^{0.2030} \approx 1.596 \end{aligned}

Mô hình là $\hat y = 50.39(1.596)^x$ : mỗi giờ có thêm khoảng 60% vi khuẩn.

Đồ thị bán logarit vừa là phép kiểm tra vừa là công cụ: dữ liệu thẳng hàng là dữ liệu mũ; dữ liệu vẫn cong thì không phải, và cần một mô hình khác.