Funções polinomiais e racionais · AP Precalculus

Capítulo 1 · Funções polinomiais e racionais

como as saídas mudam com as entradas

Uma função associa cada entrada a uma saída. O pré-cálculo pergunta como as saídas mudam quando as entradas mudam: onde sobem e descem, com que rapidez e o que acontece bem longe.

O gráfico é a cúbica $p(x) = \tfrac{1}{2}(x + 2)(x - 1)(x - 3)$ . Seus fatores mostram seus zeros, −2, 1, 3, onde ela encontra o eixo x. A secante vermelha desliza sobre ela; sua inclinação é a taxa de variação média no intervalo. Em [0, 2]:

\frac{p(2) - p(0)}{2 - 0} = \frac{-2 - 3}{2} = -2.5

Este capítulo é a Unidade 1 do AP Precalculus, a maior da prova (cerca de 30–40%). Ele constrói as ferramentas para as funções polinomiais (somas de potências de x) e racionais (um polinômio sobre outro): taxas de variação, zeros, comportamento nos extremos, assíntotas e buracos, transformações e, por fim, a escolha e a construção de uma função para modelar dados reais.

1.1 · Variação em conjunto

entradas e saídas, variando juntas

Uma função f leva cada entrada x a uma saída f(x). Quando a entrada muda, a saída muda junto, em conjunto. Um gráfico mostra as duas ao mesmo tempo: a entrada ao longo do eixo x, a saída como a altura.

Acompanhe o ponto em $f(x) = x^3 - 3x$ enquanto x se move. Suas guias cinzas levam a entrada até o eixo x e a saída até o eixo y.

x	−2	−1	0	1	2
f(x)	−2	2	0	−2	2

f é crescente em um intervalo se, quando as entradas aumentam, as saídas sempre aumentam: para todos a < b nele, f(a) < f(b). Ela é decrescente se as saídas sempre diminuem. Aqui f cresce para x < -1 (vermelho), decresce entre -1 e 1 (azul) e cresce de novo depois de 1.

A saída é positiva onde o gráfico está acima do eixo x e negativa onde está abaixo. Ela muda de sinal nos zeros, as entradas com f(x) = 0: aqui 0 e ±√3 ≈ ±1.73.

Em um contexto, as mesmas palavras valem: quando se despeja água em um vaso a uma vazão constante, a profundidade aumenta, depressa onde o vaso é estreito e devagar onde é largo. Um gráfico da profundidade em função do volume é um retrato de como as duas grandezas variam juntas.

1.2 · Taxas de variação

a inclinação de uma secante e a inclinação em um ponto

A taxa de variação média de f em [a, b] é a variação da saída dividida pela variação da entrada: a inclinação da reta secante de (a, f(a)) a (b, f(b)).

\frac{f(b) - f(a)}{b - a}

A taxa de variação em um ponto é aproximada por taxas de variação média em intervalos cada vez menores ao redor dele. Para $f(x) = \tfrac{1}{2}x^2$ em x = 2, tome secantes em [2 − h, 2] (azul) e [2, 2 + h] (vermelho):

h	1	0.5	0.1	0.01
left	1.5	1.75	1.95	1.995
right	2.5	2.25	2.05	2.005

As duas colunas se aproximam, de cada lado, de 2: a taxa de variação em x = 2 é 2, a inclinação da reta tangente tracejada. O mesmo trabalho em x = 1 dá 1.

Comparando as duas: a taxa em 2 é maior que a taxa em 1, então o gráfico fica mais íngreme conforme x cresce. Duas ligações para lembrar:

uma taxa de variação positiva significa que f é crescente ali; uma negativa, decrescente;
onde a taxa de variação é crescente, o gráfico é côncavo para cima (curva-se para cima, como este); onde é decrescente, côncavo para baixo.

1.3 · Taxas de variação em funções afins e quadráticas

variação constante e variação que muda de forma constante

Avance a entrada em passos iguais e observe a saída. O padrão das variações distingue uma função afim de uma quadrática.

x	0	1	2	3	4
2x + 1	1	3	5	7	9
change	+2	+2	+2	+2
x² − 4x + 5	5	2	1	2	5
change	−3	−1	+1	+3
variação da variação	+2	+2	+2

Afim: a taxa de variação média é a mesma em todos os intervalos, a inclinação, 2. Passos iguais na entrada dão variações iguais na saída.

Quadrática: em intervalos consecutivos de mesmo comprimento, as taxas de variação média são −3, −1, 1, 3. Elas não são constantes, mas mudam a uma taxa constante, 2 por passo. Para $ax^2 + bx + c$ com passos de 1, essa constante é 2a.

As taxas também localizam o vértice. Elas são negativas até x = 2 (a função é decrescente) e positivas depois (crescente), então o mínimo está em x = 2. Como as taxas aumentam, a parábola é côncava para cima; com a < 0 elas diminuiriam, e ela seria côncava para baixo.

1.4 · Funções polinomiais e taxas de variação

pontos de mudança de sentido, pontos de inflexão, extremos absolutos

Uma função polinomial é $p(x) = a_n x^n + a_{n-1}x^{n-1} + \dots + a_1 x + a_0$ , com coeficientes reais e a_n ≠ 0. Seu grau é n, e a_n é o coeficiente dominante. Uma constante não nula é um polinômio de grau 0.

O gráfico é $p(x) = \tfrac{1}{4}x^4 - 2x^2 + 1$ . A reta vermelha acompanha a inclinação da curva, sua taxa de variação:

um máximo local é onde a taxa de variação passa de positiva para negativa: (0, 1);
um mínimo local, de negativa para positiva: (−2, −3) e (2, −3);
um ponto de inflexão é onde a taxa de variação passa de crescente para decrescente, ou o contrário, de modo que a concavidade muda: em x = ±2/√3 ≈ ±1.15.

O menor valor que a função assume, −3, é seu mínimo absoluto. Um polinômio de grau par sempre tem um máximo absoluto ou um mínimo absoluto (um mínimo quando a_n > 0, como aqui); um de grau ímpar não tem nenhum dos dois, pois suas saídas vão tanto a ∞ quanto a −∞.

Seus zeros são ±(√3 − 1) ≈ ±0.73 e ±(√3 + 1) ≈ ±2.73. Entre dois zeros reais distintos quaisquer de um polinômio não constante há um máximo ou um mínimo local: aqui o mínimo em −2, o máximo em 0, o mínimo em 2.

1.5 · Funções polinomiais e zeros complexos

n zeros para o grau n, contados com multiplicidade

Um polinômio de grau n tem exatamente n zeros complexos, contados com multiplicidade. Alguns podem ser reais, outros não.

Tome $p(x) = \tfrac{1}{10}(x + 2)^2(x - 1)(x^2 + 1)$ , de grau 2 + 1 + 2 = 5. Seus zeros:

zero	multiplicity	no gráfico
−2	2	toca o eixo x, não o atravessa
1	1	atravessa o eixo x
i, −i	1 cada	sem intercepto com o eixo x: não é real

a é um zero de p exatamente quando (x − a) é um fator de p(x); quando a é real, (a, 0) é um intercepto com o eixo x.
Se (x − a) aparece k vezes, a tem multiplicidade k. Em um zero real de multiplicidade par, o gráfico toca o eixo e volta; em multiplicidade ímpar, ele o atravessa.
Com coeficientes reais, os zeros não reais vêm em pares conjugados: se a + bi é um zero, a − bi também é.

A figura troca o último fator por $x^2 + q$ e desliza q. Para q < 0, seus zeros ±√(−q) são reais, dois interceptos vermelhos com o eixo x; eles se encontram em q = 0 e depois saem juntos do eixo real, subindo e descendo pelo eixo imaginário como ±i√q. O grau, e a contagem de zeros, nunca muda.

Funções pares e ímpares. f é par se f(−x) = f(x) para todo x (simétrica em relação ao eixo y), como o $\tfrac{1}{4}x^4 - 2x^2 + 1$ da seção 1.4; ímpar se f(−x) = −f(x) (simétrica em relação à origem), como o $x^3 - 3x$ da seção 1.1. Um polinômio só com potências pares é par; só com potências ímpares, ímpar.

1.6 · Funções polinomiais e comportamento nos extremos

bem longe, só o termo dominante importa

O comportamento nos extremos de uma função é o que suas saídas fazem quando x → ∞ e x → −∞. Em um polinômio, ele é decidido apenas pelo termo dominante.

A curva vermelha é $p(x) = -x^3 + 3x^2 + x - 3 = -(x + 1)(x - 1)(x - 3)$ . A janela em que ela está cresce até 12 vezes o seu tamanho e volta: observe os números nos eixos. Afastando a vista, os zeros se aglomeram na origem, as ondulações somem e a curva se apoia sobre seu termo dominante $-x^3$ (azul). Em x = 48, p(x) é 0.937 vezes −x³.

\begin{aligned} \lim_{x\to\infty} p(x) &= -\infty \\ \lim_{x\to -\infty} p(x) &= \infty \end{aligned}

	a_n > 0	a_n < 0
n par	para cima nas duas pontas	para baixo nas duas pontas
n ímpar	para baixo à esquerda, para cima à direita	para cima à esquerda, para baixo à direita

A razão: $p(x) = -x^3\left(1 - \tfrac{3}{x} - \tfrac{1}{x^2} + \tfrac{3}{x^3}\right)$ , e todo termo no colchete depois do 1 encolhe até 0 conforme |x| cresce. Leia a notação de limite como “quando x cresce sem limite, p(x) decresce sem limite”.

1.7 · Funções racionais e comportamento nos extremos

a razão dos termos dominantes

Uma função racional é uma razão de polinômios, $r(x) = \dfrac{p(x)}{q(x)}$ , com q não sendo o polinômio nulo. Bem longe, cada polinômio se comporta como seu termo dominante, então r se comporta como a razão entre os dois.

degrees	assíntota horizontal	bem longe
numerador < denominador (graus)	y = 0	3x/(x² + 1) ≈ 3/x → 0
numerador = denominador (graus)	y = razão dos coeficientes dominantes	(2x² − 1)/(x² + 2) ≈ 2x²/x² = 2
numerador > denominador (graus)	nenhuma; comporta-se como um polinômio	(x² + x + 1)/(x − 1) ≈ x²/x = x

Em cada folha, pontos vermelhos e azuis correm em direção a −∞ e ∞ e se acomodam ao longo da reta tracejada vermelha. Com graus iguais, $r(100) = 1.9995$ : perto de 2, sem nunca chegar lá por baixo.

\lim_{x\to\pm\infty} \frac{2x^2 - 1}{x^2 + 2} = 2

Quando o grau do numerador é exatamente uma unidade maior que o do denominador, o gráfico se aproxima de uma assíntota oblíqua, uma reta y = mx + b encontrada por divisão (seção 1.11). Aqui ela é y = x + 2. Um gráfico pode cruzar uma assíntota horizontal ou oblíqua; a assíntota só descreve as pontas.

1.8 · Funções racionais e zeros

onde o numerador é zero e o denominador não

Os zeros reais de $r(x) = \dfrac{p(x)}{q(x)}$ são os zeros reais do numerador p que estão no domínio de r: entradas em que p é 0 e q não é.

Para $r(x) = \dfrac{(x + 2)(x - 1)}{(x + 1)(x - 3)}$ , os zeros são −2 and 1. As entradas −1 and 3 não estão no domínio: nelas o denominador é 0, e o gráfico tem assíntotas verticais (seção 1.9).

A saída só pode mudar de sinal em um zero ou onde r não está definida. Assim, essas quatro entradas cortam a reta numérica em intervalos, e uma entrada de teste em cada um dá o sinal no intervalo inteiro:

interval	x < −2	−2 < x < −1	−1 < x < 1	1 < x < 3	x > 3
x de teste	−3	−1.5	0	2	4
r(x)	0.33	−0.56	0.67	−1.33	3.6
sign	+	−	+	−	+

Isso resolve inequações. $r(x) \ge 0$ onde o gráfico está sobre o eixo ou acima dele, em vermelho: x ≤ −2, ou −1 < x ≤ 1, ou x > 3. Os zeros estão incluídos (neles r = 0); as assíntotas nunca estão.

Um zero do numerador que também é zero do denominador não é um zero de r. Ali há um buraco ou uma assíntota (seção 1.10).

1.9 · Funções racionais e assíntotas verticais

onde o denominador é zero e continua zero

Se a é um zero real do denominador e não do numerador, ou é um zero do denominador com multiplicidade maior, então a reta x = a é uma assíntota vertical de r. Perto dela, as saídas crescem sem limite.

Para $r(x) = \dfrac{4}{(x + 1)(x - 2)^2}$ , o denominador é 0 em −1 and 2, e o numerador nunca é:

x	−1.01	−0.99	1.99	2.01
r(x)	−44	45	13378	13289

\begin{aligned} \lim_{x\to -1^-} r(x) &= -\infty \\ \lim_{x\to -1^+} r(x) &= \infty \\ \lim_{x\to 2^\pm} r(x) &= \infty \end{aligned}

O sinal de cada lado vem dos fatores. Perto de x = −1, o fator x + 1 muda de sinal, então os dois lados vão em sentidos opostos. Perto de x = 2, o fator está ao quadrado, positivo dos dois lados, então os dois lados sobem. Multiplicidade ímpar: sentidos opostos; par: o mesmo sentido.

$\lim_{x\to a^+}$ significa que x se aproxima de a pela direita, por valores maiores que a; $\lim_{x\to a^-}$ , pela esquerda.

1.10 · Funções racionais e buracos

um fator que se cancela

Se a é um zero do numerador e do denominador, com multiplicidade no numerador pelo menos tão grande quanto no denominador, o gráfico tem um buraco em x = a: um único ponto faltando.

\begin{aligned} r(x) &= \frac{x^2 + x - 6}{x^2 - x - 2} \\ &= \frac{(x - 2)(x + 3)}{(x - 2)(x + 1)} \\ &= \frac{x + 3}{x + 1}, \quad x \ne 2 \end{aligned}

O fator x − 2 se cancela, uma vez em cima e uma vez embaixo, então x = 2 é um buraco. Sua altura é o valor que a forma simplificada dá ali, que também é o limite do qual os dois lados se aproximam:

\lim_{x\to 2} r(x) = \frac{2 + 3}{2 + 1} = \frac{5}{3}

O fator x + 1 não se cancela, então x = -1 é uma assíntota vertical; sobra x + 3 em cima, então x = -3 é o único zero. Note que 2 não é um zero, embora torne o numerador igual a 0.

Se a multiplicidade é maior no denominador, o cancelamento deixa um fator embaixo, e o resultado é uma assíntota, não um buraco: $\dfrac{x - 2}{(x - 2)^2} = \dfrac{1}{x - 2}$ tem uma assíntota vertical em x = 2.

1.11 · Representações equivalentes de expressões polinomiais e racionais

fatorada, padrão, dividida, expandida

A mesma função pode ser escrita de várias maneiras. Cada forma mostra algo que as outras escondem.

A forma padrão $x^3 - 2x^2 - 5x + 6$ mostra o termo dominante (comportamento nos extremos) e o intercepto com o eixo y, 6.
A forma fatorada $(x + 2)(x - 1)(x - 3)$ mostra os zeros e, em uma função racional, as assíntotas e os buracos.

A divisão longa de polinômios reescreve uma função racional como um polinômio mais uma fração de resto. Divida $x^2 + x + 1$ por $x - 1$ : x(x − 1) retira x² − x, deixando 2x + 1; 2(x − 1) retira 2x − 2, deixando 3.

\begin{gathered} x^2 + x + 1 = (x - 1)(x + 2) + 3 \\ \frac{x^2 + x + 1}{x - 1} = x + 2 + \frac{3}{x - 1} \end{gathered}

Conforme |x| cresce, o termo do resto (a diferença azul) encolhe até 0, então o quociente y = x + 2 é a assíntota oblíqua. Em geral, se p = q·s + t, então p/q = s + t/q. Um resto 0 significa que o divisor é um fator.

O teorema binomial expande $(a + b)^n$ com os números da linha n do triângulo de Pascal, cada um a soma dos dois acima dele:

(a + b)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} a^{n-k} b^k

A linha 3 é 1, 3, 3, 1, então $(x + 2)^3 = x^3 + 3x^2(2) + 3x(2)^2 + 2^3 = x^3 + 6x^2 + 12x + 8$ .

1.12 · Transformações de funções

deslocamentos, alongamentos e reflexões

Uma nova função pode ser construída a partir de uma função-mãe f deslocando e alongando seu gráfico. O gráfico vermelho é $g(x) = a\,f\big(b(x - h)\big) + k$ , construído a partir do cinza $f(x) = x^3 - 3x$ em [−2, 2]; a figura muda h, k, a e b um de cada vez.

form	o gráfico de f é
f(x) + k	transladado verticalmente por k (para cima se k > 0)
f(x − h)	transladado horizontalmente por h (para a direita se h > 0); f(x + h) o move para a esquerda
a·f(x)	dilatado verticalmente por \|a\|; refletido em relação ao eixo x se a < 0
f(bx)	dilatado horizontalmente por 1/\|b\|; refletido em relação ao eixo y se b < 0

Mudanças aditivas transladam; as multiplicativas dilatam. Mudanças fora de f agem nas saídas e fazem o que dizem; mudanças dentro agem nas entradas e fazem o oposto: x − 1.5 move para a direita, e b = 2 comprime o gráfico à metade da largura.

O domínio e a imagem se movem com o gráfico. No fim da animação da figura, h = 1.5, k = 1, a = 1.5, b = 2:

g(x) = 1.5\,f\big(2(x - 1.5)\big) + 1

O domínio [−2, 2] é comprimido por 1/2 e deslocado 1.5: [0.5, 2.5]. A imagem [−2, 2] é alongada por 1.5 e deslocada para cima 1: [−2, 4]. As barras azuis nos eixos mostram ambos.

1.13 · Escolha do modelo de função e explicitação das hipóteses

que tipo de função se ajusta, e em que domínio

Para modelar dados, escolha o tipo de função cujo padrão de variação corresponde ao dos dados e depois indique as hipóteses e o domínio em que o modelo faz sentido.

Uma bola é lançada para cima; sua altura é medida a cada segundo (dados hipotéticos):

t (s)	0	1	2	3	4
h (m)	1	16	21	16	1
change	15	5	−5	−15
variação da variação	−10	−10	−10

As primeiras diferenças não são constantes, então um modelo linear está errado: a reta tracejada pelos dois primeiros pontos prevê 61 m em t = 4, contra os 1 m medidos. As segundas diferenças são constantes, −10, então uma quadrática se ajusta exatamente:

h(t) = -5t^2 + 20t + 1

linear: taxa de variação aproximadamente constante;
quadrática: taxas que mudam a uma taxa aproximadamente constante, ou dados que sobem e depois descem de forma simétrica em torno de um valor extremo;
cúbica ou de grau maior: mais viradas, ou taxas cuja própria taxa muda;
definida por partes: padrões diferentes em trechos diferentes da entrada;
racional: grandezas inversamente proporcionais, ou que se estabilizam em torno de um valor.

Hipóteses. Este modelo ignora a resistência do ar e vale apenas enquanto a bola está no ar: do lançamento até h(t) = 0, 0 ≤ t ≤ 4.05. Fora desse domínio, suas saídas (alturas negativas) não significam nada.

1.14 · Construção e aplicação de modelos de função

de uma situação a uma função, e de volta

Construir um modelo é nomear a entrada, escrever a saída em função dela a partir da geometria ou das regras da situação e encontrar o domínio que a situação permite. Depois, o modelo responde a perguntas.

Corte um quadrado x × x de cada canto de uma folha de 12 × 8 polegadas e dobre os lados para cima. A caixa tem x de profundidade, 12 − 2x de comprimento e 8 − 2x de largura:

\begin{gathered} V(x) = x(12 - 2x)(8 - 2x) \\ 0 < x < 4 \end{gathered}

O domínio vem da situação: um corte precisa ter tamanho positivo, e o lado de 8 polegadas se esgota em x = 4. O outro comportamento da cúbica (volumes negativos além disso) está fora do modelo.

Maior caixa: pelo gráfico (ou com uma calculadora), o máximo ocorre em x ≈ 1.57 pol, V ≈ 67.6 pol³.
Uma caixa de 60 pol³: resolva V(x) = 60. Uma solução é exata, x = 1: 1 · 10 · 6 = 60. A outra é x ≈ 2.21.

Outros modelos são construídos do mesmo modo. Um polinômio de grau n pode ser ajustado a n + 1 pontos com entradas distintas; um modelo racional serve para uma razão, como um custo médio $C(n) = \dfrac{500 + 3n}{n}$ dólares por item, cuja assíntota horizontal, 3, é o custo por item quando os $500 fixos são diluídos. Sempre dê as respostas nas unidades da situação e confira-as com os limites dela.