Funções exponenciais e logarítmicas · AP Precalculus

Capítulo 2 · Funções exponenciais e logarítmicas

crescer multiplicando

Algumas grandezas crescem somando a mesma quantidade a cada passo. Outras crescem multiplicando pelo mesmo fator. O segundo tipo começa devagar e depois ultrapassa qualquer reta.

A curva azul é $y = 2^x$ : cada passo de 1 para a direita dobra a altura, de 0.25 em x = −2 até 8 em x = 3. A curva vermelha a desfaz. $y = \log_2 x$ pergunta qual potência de 2 resulta em x, então transforma 8 de volta em 3.

2^3 = 8 \iff \log_2 8 = 3

As duas curvas são imagens espelhadas em relação à reta tracejada $y = x$ : o ponto (x, 2^x) de uma é (2^x, x) na outra.

Este capítulo vai das sequências às funções exponenciais e seus modelos, depois passa por composição e inversas até os logaritmos, as equações que eles resolvem e os gráficos semilogarítmicos que transformam dados exponenciais em uma reta. É a Unidade 2 do AP Precalculus.

2.1 · Sequências aritméticas e geométricas

somar ou multiplicar

Uma sequência é uma função cujas entradas são números inteiros n. Em uma sequência aritmética, cada termo soma a mesma razão d; em uma sequência geométrica, cada termo multiplica pela mesma razão r.

a_n = a_0 + dn \qquad\qquad g_n = g_0\, r^n

Os pontos azuis são $a_n = 2 + 3n$ e os vermelhos $g_n = 2(1.5)^n$ . Ambas começam em 2. A aritmética sobe 3 a cada passo; a geométrica sobe mais a cada vez e, em n = 6, já está à frente.

n	0	1	2	3	4	5	6
a_n	2	5	8	11	14	17	20
g_n	2	3	4.5	6.75	10.13	15.19	22.78

Qualquer termo conhecido pode servir de ponto de partida: $a_n = a_k + d(n - k)$ e $g_n = g_k\, r^{\,n-k}$ . Exemplo. Se $a_2 = 8$ e $a_5 = 17$ , a diferença é $d = \frac{17 - 8}{5 - 2} = 3$ . Se $g_1 = 3$ e $g_4 = 10.125$ , então $r^3 = 3.375$ , logo r = 1.5.

Os mesmos dois padrões, para todo número real como entrada em vez de passos inteiros, são as funções afim e exponencial.

2.2 · Variação linear e exponencial

passos iguais na entrada, diferenças iguais ou razões iguais na saída

Em intervalos de entrada de mesmo comprimento, uma função linear varia por diferenças iguais; uma função exponencial varia por razões iguais. A variação linear é aditiva, a exponencial é multiplicativa.

Deslize a janela [x, x + 1] ao longo das duas curvas. Em $f(x) = 2 + 3x$ , o acréscimo é sempre 3. Em $g(x) = 2(1.5)^x$ , o acréscimo cresce, mas a razão entre as duas alturas é sempre 1.5:

\begin{gathered} f(x + 1) - f(x) = 3 \\ \frac{g(x + 1)}{g(x)} = 1.5 \end{gathered}

As formas dizem a mesma coisa. $f(x) = b + mx$ começa em b e soma m por unidade; $g(x) = a r^x$ começa em a e multiplica por r por unidade. As sequências aritméticas são funções afins sobre os números inteiros, e as sequências geométricas são exponenciais.

Em um intervalo de comprimento 2, a função afim soma 6, o dobro de 3, enquanto a exponencial multiplica por $1.5^2 = 2.25$ . Dados dois pontos, um modelo linear é $f(x) = y_i + m(x - x_i)$ e um exponencial é $g(x) = y_i\, r^{\,x - x_i}$ .

2.3 · Funções exponenciais

a·bˣ e o que b decide

Uma função exponencial tem a forma $f(x) = a b^x$ , com valor inicial a ≠ 0 e base b > 0, b ≠ 1. Seu gráfico passa por (0, a).

A curva vermelha é $y = b^x$ enquanto b varia de 2, passa por 1 até $\tfrac{1}{2}$ e volta. Para a > 0:

b > 1: crescimento exponencial, sempre crescente; $f(x) \to \infty$ quando $x \to \infty$ e $f(x) \to 0$ quando $x \to -\infty$ .
0 < b < 1: decaimento exponencial, sempre decrescente; o comportamento nos extremos se inverte.
Domínio: todos os números reais. Imagem: y > 0. A reta y = 0 é uma assíntota horizontal.
Sempre côncava para cima, sem extremos e sem pontos de inflexão.

Em b = 1 a curva é a reta constante y = 1, e é por isso que 1 não pode ser base. Se a < 0, o gráfico se inverte para baixo do eixo e sua concavidade se inverte.

Exemplo. $f(x) = 3\left(\tfrac{1}{2}\right)^x$ começa em 3 e cai pela metade a cada unidade: $f(2) = 3 \cdot \tfrac{1}{4} = 0.75$ . Conforme x cresce, ela se aproxima de 0, mas nunca o alcança.

2.4 · Manipulando exponenciais

um deslocamento é um alongamento

As propriedades das potências reescrevem uma função exponencial em formas equivalentes, e cada forma mostra algo diferente sobre o gráfico.

produto	$b^m b^n = b^{m+n}$
potência	$(b^m)^n = b^{mn}$
expoente negativo	$b^{-n} = \dfrac{1}{b^n}$
expoente racional	$b^{1/k} = \sqrt[k]{b}$

Pela propriedade do produto, $2^{x+k} = 2^k \cdot 2^x$ . Assim, deslocar $y = 2^x$ para a esquerda em k (azul) dá exatamente a mesma curva que alongá-la verticalmente por $2^k$ (vermelho). A figura varia k de 0 a 2: o ponto (1, 2) desliza para a esquerda até (1 − k, 2) e sobe até (1, $2^{1+k}$ ), e ambos caem sobre a curva vermelha.

2^{x+3} = 2^3 \cdot 2^x = 8 \cdot 2^x

Uma translação horizontal de uma exponencial é sempre uma dilatação vertical. As outras propriedades dão mais: $\left(\tfrac{1}{2}\right)^x = 2^{-x}$ é uma reflexão de $2^x$ no eixo y, e $8^{x/3} = (8^{1/3})^x = 2^x$ . Toda exponencial pode ser escrita com qualquer base positiva diferente de 1, inclusive a base natural e ≈ 2.7183.

2.5 · Modelos exponenciais

uma variação percentual constante

Um modelo exponencial se ajusta a uma grandeza que varia pela mesma proporção em tempos iguais: uma população, um investimento, uma amostra radioativa.

O carbono-14 tem meia-vida de 5,730 anos: a cada 5,730 anos, metade do que resta decai. Com t em anos, a porcentagem restante é

C(t) = 100\left(\tfrac{1}{2}\right)^{t/5730}

Reescrever por unidade dá o fator anual: $\left(\tfrac{1}{2}\right)^{1/5730} \approx 0.999879$ . Uma amostra com 30% restante tem cerca de 9,953 anos, entre uma e duas meias-vidas (a seção 2.13 mostra como resolver para t).

Outras formas vêm do contexto:

Taxa percentual r: $f(t) = a(1 + r)^t$ (crescimento) ou $a(1 - r)^t$ (decaimento).
Capitalização n vezes por ano: $1,000 a 6% ao mês por 10 anos dá $1000\left(1 + \tfrac{0.06}{12}\right)^{120} \approx 1819.40$ ; com capitalização contínua, $1000e^{0.06(10)} \approx 1822.12$ .
Dois pontos determinam um modelo $y = y_i\, b^{\,x - x_i}$ . Uma cidade hipotética de 1,200 habitantes que chega a 1,500 em 4 anos tem $b = \left(\tfrac{1500}{1200}\right)^{1/4} \approx 1.0574$ : um crescimento de 5.74% ao ano.
Dados: a regressão exponencial na calculadora encontra os valores de a e b que melhor se ajustam a um diagrama de dispersão.

Um modelo é tão bom quanto suas hipóteses: ele pode deixar de se ajustar fora dos dados ou quando se atinge um limite real (alimento, espaço).

2.6 · Escolhendo um modelo: resíduos

o que o modelo não captou

Um resíduo é o valor real menos o valor que o modelo prevê. Um modelo é adequado quando seu gráfico de resíduos não mostra nenhum padrão.

\text{residual} = y - \hat y

As contagens são hipotéticas: uma cultura de bactérias contada a cada hora. Dois modelos são ajustados a elas, a reta de mínimos quadrados $\hat y = -62.18 + 123.11x$ (azul) e a exponencial $\hat y = 50.39(1.596)^x$ (vermelho).

hour	0	1	2	3	4	5	6
count	52	77	131	202	322	532	834
resíduo linear	114	16	−53	−105	−108	−21	158
resíduo exponencial	2	−3	3	−3	−5	10	1

Os resíduos da reta são positivos, negativos e depois positivos de novo: um formato de U, sinal de uma curvatura que a reta não consegue seguir. Os resíduos da exponencial se espalham acima e abaixo de 0 sem padrão, então o modelo exponencial é a melhor escolha.

O sinal se lê diretamente: um resíduo positivo significa que o modelo subestima naquele ponto, e um negativo que ele superestima. Na hora 3, a reta prevê 307 contra um valor real de 202, uma superestimativa de 105.

2.7 · Composição de funções

a saída de uma função, a entrada da próxima

A composição $f(g(x))$ , também escrita $(f \circ g)(x)$ , aplica primeiro g e depois f ao resultado.

Aqui $g(x) = x - 1$ e $f(x) = 2^x$ . Siga os pontos para baixo: x na reta de cima, depois g(x), uma unidade a menos, e então 2 elevado a essa potência.

x = 3 \;\xrightarrow{\;g\;}\; 2 \;\xrightarrow{\;f\;}\; 2^{2} = 4

Logo $f(g(x)) = 2^{x-1}$ . A outra ordem é uma função diferente: $g(f(x)) = 2^x - 1$ , e $g(f(3)) = 7$ , não 4. Em geral, $f(g(x)) \ne g(f(x))$ .

O domínio de $f(g(x))$ é o conjunto das entradas de g cujas saídas estão no domínio de f.
A função identidade $I(x) = x$ não muda nada: $f(I(x)) = I(f(x)) = f(x)$ .
Transformações são composições: $f(x - 1)$ compõe f com um deslocamento aditivo da entrada, $3f(x)$ compõe uma multiplicação por 3 depois de f.
Decompor uma função é encontrar partes para compor: $h(x) = (x^2 + 1)^3$ é $f(g(x))$ com $g(x) = x^2 + 1$ e $f(x) = x^3$ .

As composições também podem ser lidas em tabelas ou gráficos: encontre g(x) e depois procure esse valor como entrada de f.

2.8 · Funções inversas

desfazendo uma função

A inversa $f^{-1}$ de uma função a desfaz: se $f(a) = b$ , então $f^{-1}(b) = a$ , e $f^{-1}(f(x)) = f(f^{-1}(x)) = x$ .

Trocar entrada e saída reflete o gráfico em relação a $y = x$ : o ponto (a, b) de f vira (b, a) em $f^{-1}$ . O domínio de f vira a imagem de $f^{-1}$ , e a imagem vira seu domínio.

Uma função inversa só existe se f for injetora: cada saída vem de uma única entrada. A reta azul $y = c$ corta a parábola inteira $y = x^2$ duas vezes, em $x = \pm\sqrt{c}$ , então $x^2$ não tem inversa em todos os reais. Restringir o domínio a x ≥ 0 mantém a metade em que ela é injetora, e ali a inversa é $f^{-1}(x) = \sqrt{x}$ (vermelho).

Encontrando uma inversa. Escreva $y = 3x - 4$ , troque x e y e resolva para y:

x = 3y - 4 \implies f^{-1}(x) = \frac{x + 4}{3}

Verifique: $f(3) = 5$ e $f^{-1}(5) = \frac{5 + 4}{3} = 3$ . A inversa desfaz f passo a passo, na ordem inversa: some 4 e depois divida por 3.

2.9 · Expressões logarítmicas

o expoente, procurado

O logaritmo $\log_b c$ é o expoente a que transforma a base b em c, para b > 0, b ≠ 1 e c > 0:

\log_b c = a \iff b^a = c

expressão	$\log_{5} 125$	$\log_{2} \tfrac{1}{16}$	$\log_{10} 1000$	$\log_{3} 1$
porque	$5^{3} = 125$	$2^{-4} = \tfrac{1}{16}$	$10^{3} = 1000$	$3^{0} = 1$
valor	3	−4	3	0

Duas bases têm nomes próprios: o logaritmo decimal $\log x$ tem base 10, e o logaritmo natural $\ln x$ tem base e. Sempre $\log_b 1 = 0$ e $\log_b b = 1$ .

A figura coloca os valores $c = 10^u$ em uma escala logarítmica (vermelho), sob seus expoentes $u = \log_{10} c$ (azul). Comprimentos iguais na escala são razões iguais: de 1 a 10, de 10 a 100 e de 100 a 1000 há a mesma distância. É assim que uma escala logarítmica encaixa valores de tamanhos muito diferentes em uma única reta.

As estimativas vêm das potências vizinhas: 50 está entre 10 e 100, então $\log_{10} 50$ está entre 1 e 2; é 1.699.

2.10 · Inversas das funções exponenciais

o logaritmo desfaz bˣ

$f(x) = b^x$ é injetora, então tem inversa, e essa inversa é o logaritmo $f^{-1}(x) = \log_b x$ .

Troque todas as linhas de uma tabela de $y = 2^x$ e você obtém uma tabela de $y = \log_2 x$ . Os pontos vermelhos da figura fazem exatamente isso: cada (x, 2^x) voa através de $y = x$ até (2^x, x).

x	−2	−1	0	1	2	3
2^x	0.25	0.5	1	2	4	8

x	0.25	0.5	1	2	4	8
log₂ x	−2	−1	0	1	2	3

Assim, as duas funções trocam suas características. $b^x$ tem domínio igual a todos os reais, imagem y > 0 e assíntota horizontal y = 0; $\log_b x$ tem domínio x > 0, imagem igual a todos os reais e assíntota vertical x = 0. Cada uma desfaz a outra:

\log_b\left(b^x\right) = x \quad\text{for all } x, \qquad b^{\log_b x} = x \quad\text{for } x > 0

Para a base e, $e^x$ e $\ln x$ são inversas: $\ln e^{3} = 3$ e $e^{\ln 50} = 50$ .

2.11 · Funções logarítmicas

multiplicar a entrada, somar à saída

Uma função logarítmica tem a forma $f(x) = a \log_b x$ , com a ≠ 0, b > 0 e b ≠ 1. Ela transforma variação multiplicativa em variação aditiva.

Em $y = \log_2 x$ , cada duplicação da entrada soma 1 à saída: a escada azul vai de (1, 0) a (2, 1), (4, 2), (8, 3), (16, 4). Em intervalos de entrada com a mesma razão, as saídas variam pela mesma diferença: exatamente o contrário de uma exponencial.

x	1	2	4	8	16
log₂ x	0	1	2	3	4

Para a > 0 e b > 1:

Domínio x > 0, imagem igual a todos os números reais; o intercepto com o eixo x é (1, 0).
O eixo y é uma assíntota vertical: $\log_b x \to -\infty$ quando $x \to 0^+$ .
Sempre crescente e sempre côncava para baixo; $\log_b x \to \infty$ quando $x \to \infty$ , mas mais devagar que qualquer potência positiva de x.
Sem extremos e sem pontos de inflexão. Para 0 < b < 1, é sempre decrescente (e côncava para cima).

A lentidão é uma característica: a saída sobe 1 toda vez que a entrada dobra, então $\log_2 x$ só chega a 10 em x = 1024.

2.12 · Manipulando logaritmos

um alongamento é um deslocamento

Cada propriedade das potências tem uma gêmea logarítmica, porque um logaritmo é um expoente.

produto	$\log_b(xy) = \log_b x + \log_b y$
quociente	$\log_b \dfrac{x}{y} = \log_b x - \log_b y$
potência	$\log_b x^n = n \log_b x$
mudança de base	$\log_b x = \dfrac{\log_a x}{\log_a b}$

Pela propriedade do produto, $\log_2(kx) = \log_2 k + \log_2 x$ . Comprimir $y = \log_2 x$ em direção ao eixo y por um fator 1/k (azul) dá a mesma curva que levantá-la por $\log_2 k$ (vermelho). Conforme k varia de 1 a 4, o ponto (2, 1) se move para dentro até (2/k, 1) e para cima até (2, 1 + $\log_2 k$ ), ambos sobre a curva vermelha.

Logo, uma dilatação horizontal de um logaritmo é uma translação vertical, a gêmea da seção 2.4. A propriedade da potência faz de $\log_b x^n$ uma dilatação vertical por n, e de $\log_b \tfrac{1}{x} = -\log_b x$ uma reflexão no eixo x.

Exemplos. $\log_2 40 = \log_2 8 + \log_2 5 \approx 3 + 2.3219 = 5.3219$ ; $\log_2 24 - \log_2 3 = \log_2 8 = 3$ ; e, pela mudança de base, $\log_3 20 = \dfrac{\ln 20}{\ln 3} \approx 2.7268$ . Toda função logarítmica é um múltiplo constante de $\ln x$ .

2.13 · Equações e inequações exponenciais e logarítmicas

desfazer e depois verificar

Para resolver uma equação exponencial, isole a potência e aplique um logaritmo; para resolver uma logarítmica, isole o log e exponencie. A inversa desfaz a função.

A figura resolve $3 \cdot 2^x = c$ para todos os níveis c de uma vez: a curva cruza a reta azul em $x = \log_2 \tfrac{c}{3}$ . Em $c = 24$ :

\begin{aligned} 3 \cdot 2^x &= 24 \\ 2^x &= 8 \\ x &= \log_2 8 = 3 \end{aligned}

A inequação $3 \cdot 2^x > 24$ só precisa do sentido: $2^x$ é crescente, então vale para x > 3, o trecho vermelho do eixo. Uma função decrescente (base entre 0 e 1) inverte a desigualdade.

Com base e. $5e^{0.2t} = 20$ dá $e^{0.2t} = 4$ , logo $t = \frac{\ln 4}{0.2} \approx 6.931$ .

Uma equação logarítmica. $\log_2 x + \log_2(x - 2) = 3$ se combina em $\log_2\big(x(x - 2)\big) = 3$ , então $x^2 - 2x = 8$ e x = 4 ou x = −2. Mas −2 está fora do domínio de $\log_2 x$ : é uma solução estranha. A única solução é x = 4. Verifique sempre as soluções na equação original.

Os mesmos passos encontram inversas: $y = 3 \cdot 2^x$ tem $f^{-1}(x) = \log_2 \tfrac{x}{3}$ .

2.14 · Modelos logarítmicos

ganhos rápidos, depois mais lentos

Um modelo logarítmico $y = a + b\ln x$ se ajusta a uma grandeza que cresce rápido no início e depois cada vez mais devagar, ou a uma em que razões iguais da entrada dão diferenças iguais na saída.

Os dados são hipotéticos: a velocidade de digitação de uma pessoa, em palavras por minuto, após cada semana de prática. A regressão logarítmica dá

\hat y = 20.52 + 14.70\ln x

Cada duplicação do número de semanas soma $14.70 \ln 2 \approx 10.19$ palavras por minuto: da semana 1 para a 2, tanto quanto da semana 4 para a 8. Previsto na semana 10, $\hat y \approx 54.4$ , uma extrapolação além dos dados, em que se deve confiar menos.

As escalas logarítmicas medem muitas grandezas reais, porque os valores variam por muitas potências de 10:

Nível sonoro em decibéis: $L = 10 \log_{10} \tfrac{I}{I_0}$ . Dobrar a intensidade soma $10\log_{10} 2 \approx 3.01$ dB; multiplicá-la por 10 soma 10 dB.
Acidez: $\text{pH} = -\log_{10}[\text{H}^+]$ . Uma solução com $[\text{H}^+] = 10^{-3}$ tem pH 3; dez vezes a concentração diminui o pH em 1.

Os modelos logarítmico e exponencial são inversos: se y cresce exponencialmente com x, então x cresce logaritmicamente com y.

2.15 · Gráficos semilogarítmicos

dados exponenciais, endireitados

Um gráfico semilogarítmico mantém o eixo x linear e coloca y em escala logarítmica. Nele, dados exponenciais ficam sobre uma reta.

Aplique o logaritmo a um modelo exponencial $y = a b^x$ :

\log_{10} y = \log_{10} a + x \log_{10} b

Isso é uma reta em $\log_{10} y$ , com inclinação $\log_{10} b$ e intercepto vertical $\log_{10} a$ . Qualquer base n > 1 funciona do mesmo modo.

As contagens de bactérias da seção 2.6 (hipotéticas) se curvam para cima em papel comum e se alinham em papel semilogarítmico. A reta de melhor ajuste é $\log_{10}\hat y = 1.7023 + 0.2030x$ , então

\begin{aligned} a &= 10^{1.7023} \approx 50.39 \\ b &= 10^{0.2030} \approx 1.596 \end{aligned}

O modelo é $\hat y = 50.39(1.596)^x$ : cerca de 60% mais bactérias a cada hora.

Um gráfico semilogarítmico é tanto um teste quanto uma ferramenta: dados que se alinham são exponenciais; dados que continuam curvos não são, e precisam de outro modelo.