Fungsi polinomial dan nisbah · AP Precalculus

Bab 1 · Fungsi polinomial dan nisbah

bagaimana output berubah mengikut input

Satu fungsi memasangkan setiap input dengan satu output. Prakalkulus bertanya bagaimana output berubah apabila input berubah: di mana ia menaik dan menurun, sepantas mana, dan apa yang berlaku jauh di sana.

Grafnya ialah kubik $p(x) = \tfrac{1}{2}(x + 2)(x - 1)(x - 3)$ . Faktornya menunjukkan sifarnya, −2, 1, 3, iaitu tempat ia bertemu paksi-x. Sekan merah menggelongsor di sepanjangnya; kecerunannya ialah kadar perubahan purata pada selangnya. Pada [0, 2]:

\frac{p(2) - p(0)}{2 - 0} = \frac{-2 - 3}{2} = -2.5

Bab ini ialah Unit 1 AP Precalculus, unit terbesar dalam peperiksaan (kira-kira 30–40%). Ia membina alat untuk fungsi polinomial (hasil tambah kuasa x) dan fungsi nisbah (satu polinomial dibahagi polinomial lain): kadar perubahan, sifar, kelakuan hujung, asimptot dan lubang, penjelmaan, dan akhirnya memilih serta membina fungsi untuk memodelkan data sebenar.

1.1 · Berubah serentak

input dan output, berubah bersama

Fungsi f menghantar setiap input x kepada satu output f(x). Apabila input berubah, output turut berubah, serentak. Graf menunjukkan kedua-duanya sekali gus: input di sepanjang paksi-x, output sebagai ketinggian.

Ikuti titik pada $f(x) = x^3 - 3x$ semasa x bergerak. Panduan kelabunya membawa input ke bawah ke paksi-x dan output merentas ke paksi-y.

x	−2	−1	0	1	2
f(x)	−2	2	0	−2	2

f menokok pada suatu selang jika, apabila input bertambah, output sentiasa bertambah: untuk semua a < b di dalamnya, f(a) < f(b). Ia menyusut jika output sentiasa berkurang. Di sini f menokok untuk x < -1 (merah), menyusut antara -1 dan 1 (biru), dan menokok semula selepas 1.

Output positif di mana graf berada di atas paksi-x dan negatif di mana ia berada di bawahnya. Ia bertukar tanda pada sifar, iaitu input dengan f(x) = 0: di sini 0 dan ±√3 ≈ ±1.73.

Dalam konteks, perkataan yang sama terpakai: apabila air dituang ke dalam pasu pada kadar yang tetap, kedalamannya bertambah, cepat di tempat pasu itu sempit dan perlahan di tempat ia lebar. Graf kedalaman melawan isi padu ialah gambaran bagaimana kedua-dua kuantiti berubah bersama.

1.2 · Kadar perubahan

kecerunan sekan, dan kecerunan pada satu titik

Kadar perubahan purata bagi f pada [a, b] ialah perubahan output dibahagi perubahan input: kecerunan garis sekan dari (a, f(a)) ke (b, f(b)).

\frac{f(b) - f(a)}{b - a}

Kadar perubahan pada satu titik dianggarkan oleh kadar perubahan purata pada selang yang semakin kecil di sekelilingnya. Untuk $f(x) = \tfrac{1}{2}x^2$ pada x = 2, ambil sekan pada [2 − h, 2] (biru) dan [2, 2 + h] (merah):

h	1	0.5	0.1	0.01
left	1.5	1.75	1.95	1.995
right	2.5	2.25	2.05	2.005

Kedua-dua lajur menghampiri 2 dari kedua-dua sisi: kadar perubahan pada x = 2 ialah 2, kecerunan tangen putus-putus. Kerja yang sama pada x = 1 memberi 1.

Membandingkan keduanya: kadar pada 2 lebih besar daripada kadar pada 1, jadi graf menjadi semakin curam apabila x bertambah. Dua kaitan untuk diingat:

kadar perubahan positif bermakna f menokok di situ; yang negatif, menyusut;
di mana kadar perubahan menokok, graf cekung ke atas (melengkung ke atas, seperti yang ini); di mana ia menyusut, cekung ke bawah.

1.3 · Kadar perubahan dalam fungsi linear dan kuadratik

perubahan malar, dan perubahan yang berubah secara tetap

Langkahkan input dengan jumlah yang sama dan perhatikan output. Corak perubahan itu membezakan fungsi linear daripada fungsi kuadratik.

x	0	1	2	3	4
2x + 1	1	3	5	7	9
change	+2	+2	+2	+2
x² − 4x + 5	5	2	1	2	5
change	−3	−1	+1	+3
perubahan bagi perubahan	+2	+2	+2

Linear: kadar perubahan purata sama pada setiap selang, iaitu kecerunan, 2. Langkah input yang sama memberi perubahan output yang sama.

Kuadratik: pada selang berturutan yang sama panjang, kadar perubahan purata ialah −3, −1, 1, 3. Ia tidak malar, tetapi ia berubah pada kadar yang malar, 2 bagi setiap langkah. Untuk $ax^2 + bx + c$ dengan langkah 1, nilai malar itu ialah 2a.

Kadar itu juga menentukan bucu. Ia negatif sehingga x = 2 (fungsi menyusut) dan positif selepasnya (menokok), jadi minimum berada pada x = 2. Oleh sebab kadar itu bertambah, parabola cekung ke atas; dengan a < 0 ia akan berkurang, dan parabola cekung ke bawah.

1.4 · Fungsi polinomial dan kadar perubahan

titik pusingan, titik lengkok balas, ekstrem mutlak

Satu fungsi polinomial ialah $p(x) = a_n x^n + a_{n-1}x^{n-1} + \dots + a_1 x + a_0$ , dengan pekali nyata dan a_n ≠ 0. Darjahnya ialah n, dan a_n ialah pekali pendahulu. Pemalar bukan sifar ialah polinomial berdarjah 0.

Grafnya ialah $p(x) = \tfrac{1}{4}x^4 - 2x^2 + 1$ . Garis merah bergerak bersama dengan kecerunan lengkung itu, kadar perubahannya:

maksimum setempat ialah tempat kadar perubahan berubah daripada positif kepada negatif: (0, 1);
minimum setempat, daripada negatif kepada positif: (−2, −3) dan (2, −3);
titik lengkok balas ialah tempat kadar perubahan berubah daripada menokok kepada menyusut atau sebaliknya, jadi kecekungan berubah: pada x = ±2/√3 ≈ ±1.15.

Nilai terendah yang pernah diambil oleh fungsi itu, −3, ialah minimum mutlaknya. Polinomial berdarjah genap sentiasa mempunyai maksimum mutlak atau minimum mutlak (minimum apabila a_n > 0, seperti di sini); polinomial berdarjah ganjil tidak mempunyai kedua-duanya, kerana outputnya menuju ke ∞ dan −∞.

Sifarnya ialah ±(√3 − 1) ≈ ±0.73 dan ±(√3 + 1) ≈ ±2.73. Antara setiap dua sifar nyata yang berbeza bagi polinomial bukan malar, terdapat maksimum atau minimum setempat: di sini minimum pada −2, maksimum pada 0, minimum pada 2.

1.5 · Fungsi polinomial dan sifar kompleks

n sifar bagi darjah n, dikira dengan kepelbagaian

Polinomial berdarjah n mempunyai tepat n sifar kompleks, dikira dengan kepelbagaian. Sebahagiannya mungkin nyata, sebahagian lagi tidak.

Ambil $p(x) = \tfrac{1}{10}(x + 2)^2(x - 1)(x^2 + 1)$ , berdarjah 2 + 1 + 2 = 5. Sifarnya:

zero	multiplicity	pada graf
−2	2	menyentuh paksi-x, tidak menyilang
1	1	menyilang paksi-x
i, −i	1 setiap satu	tiada pintasan-x: bukan nyata

a ialah sifar bagi p tepat apabila (x − a) ialah faktor bagi p(x); apabila a nyata, (a, 0) ialah pintasan-x.
Jika (x − a) muncul k kali, a mempunyai kepelbagaian k. Pada sifar nyata berkepelbagaian genap, graf menyentuh paksi dan berpatah balik; pada kepelbagaian ganjil, ia menyilang.
Dengan pekali nyata, sifar bukan nyata hadir dalam pasangan konjugat: jika a + bi ialah sifar, maka a − bi juga.

Rajah menukar faktor terakhir dengan $x^2 + q$ dan menggelongsorkan q. Untuk q < 0, sifarnya ±√(−q) nyata, dua pintasan-x merah; ia bertemu pada q = 0 kemudian meninggalkan paksi nyata bersama-sama, ke atas dan ke bawah paksi khayal sebagai ±i√q. Darjah, dan bilangan sifar, tidak pernah berubah.

Fungsi genap dan ganjil. f ialah genap jika f(−x) = f(x) untuk setiap x (simetri pada paksi-y), seperti $\tfrac{1}{4}x^4 - 2x^2 + 1$ dalam 1.4; ganjil jika f(−x) = −f(x) (simetri melalui asalan), seperti $x^3 - 3x$ dalam 1.1. Polinomial yang hanya mempunyai kuasa genap ialah genap; hanya kuasa ganjil, ganjil.

1.6 · Fungsi polinomial dan kelakuan hujung

jauh di sana, hanya sebutan pendahulu yang penting

Kelakuan hujung suatu fungsi ialah apa yang output lakukan apabila x → ∞ dan x → −∞. Bagi polinomial, ia ditentukan oleh sebutan pendahulu sahaja.

Lengkung merah ialah $p(x) = -x^3 + 3x^2 + x - 3 = -(x + 1)(x - 1)(x - 3)$ . Tetingkap tempat ia berada membesar kepada 12 kali ganda saiznya dan kembali: perhatikan nombor pada paksi. Apabila dizum keluar, sifar berkumpul ke asalan, liukan hilang, dan lengkung itu terletak pada sebutan pendahulunya $-x^3$ (biru). Pada x = 48, p(x) ialah 0.937 kali −x³.

\begin{aligned} \lim_{x\to\infty} p(x) &= -\infty \\ \lim_{x\to -\infty} p(x) &= \infty \end{aligned}

	a_n > 0	a_n < 0
n genap	ke atas pada kedua-dua hujung	ke bawah pada kedua-dua hujung
n ganjil	ke bawah di kiri, ke atas di kanan	ke atas di kiri, ke bawah di kanan

Sebabnya: $p(x) = -x^3\left(1 - \tfrac{3}{x} - \tfrac{1}{x^2} + \tfrac{3}{x^3}\right)$ , dan setiap sebutan dalam kurungan selepas 1 mengecil kepada 0 apabila |x| bertambah. Bacalah tatatanda had sebagai “apabila x bertambah tanpa batas, p(x) berkurang tanpa batas.”

1.7 · Fungsi nisbah dan kelakuan hujung

nisbah sebutan pendahulu

Fungsi nisbah ialah nisbah polinomial, $r(x) = \dfrac{p(x)}{q(x)}$ dengan q bukan polinomial sifar. Jauh di sana, setiap polinomial berkelakuan seperti sebutan pendahulunya, jadi r berkelakuan seperti nisbah kedua-duanya.

degrees	asimptot mengufuk	jauh di sana
atas < bawah	y = 0	3x/(x² + 1) ≈ 3/x → 0
atas = bawah	y = nisbah pekali pendahulu	(2x² − 1)/(x² + 2) ≈ 2x²/x² = 2
atas > bawah	tiada; berkelakuan seperti polinomial	(x² + x + 1)/(x − 1) ≈ x²/x = x

Dalam setiap helaian, titik merah dan biru bergerak ke arah −∞ dan ∞, dan menetap di sepanjang garis putus-putus merah. Dengan darjah yang sama, $r(100) = 1.9995$ : dekat dengan 2, tidak pernah betul-betul sampai dari bawah.

\lim_{x\to\pm\infty} \frac{2x^2 - 1}{x^2 + 2} = 2

Apabila darjah pengangka tepat satu lebih daripada darjah penyebut, graf menghampiri asimptot serong, garis y = mx + b yang ditemui dengan pembahagian (1.11). Di sini ia ialah y = x + 2. Graf boleh menyilang asimptot mengufuk atau serong; asimptot hanya menerangkan hujungnya.

1.8 · Fungsi nisbah dan sifar

tempat pengangka sifar dan penyebut bukan

Sifar nyata bagi $r(x) = \dfrac{p(x)}{q(x)}$ ialah sifar nyata pengangka p yang berada dalam domain r: input yang p bernilai 0 dan q bukan.

Untuk $r(x) = \dfrac{(x + 2)(x - 1)}{(x + 1)(x - 3)}$ , sifarnya ialah −2 and 1. Input −1 and 3 tidak berada dalam domain: di situ penyebut ialah 0, dan graf mempunyai asimptot mencancang (1.9).

Output boleh bertukar tanda hanya pada sifar atau tempat r tidak tertakrif. Jadi keempat-empat input itu memotong garis nombor kepada beberapa selang, dan satu input ujian dalam setiap selang memberi tanda bagi seluruh selang itu:

interval	x < −2	−2 < x < −1	−1 < x < 1	1 < x < 3	x > 3
x ujian	−3	−1.5	0	2	4
r(x)	0.33	−0.56	0.67	−1.33	3.6
sign	+	−	+	−	+

Itu menyelesaikan ketaksamaan. $r(x) \ge 0$ di mana graf berada pada atau di atas paksi, merah: x ≤ −2, atau −1 < x ≤ 1, atau x > 3. Sifar disertakan (di situ r = 0); asimptot tidak pernah disertakan.

Sifar pengangka yang juga sifar penyebut bukan sifar bagi r. Itu ialah lubang atau asimptot (1.10).

1.9 · Fungsi nisbah dan asimptot mencancang

tempat penyebut ialah sifar, dan kekal sifar

Jika a ialah sifar nyata penyebut dan bukan sifar pengangka, atau sifar penyebut dengan kepelbagaian lebih tinggi, maka garis x = a ialah asimptot mencancang bagi r. Berhampirannya, output bertambah tanpa batas.

Untuk $r(x) = \dfrac{4}{(x + 1)(x - 2)^2}$ penyebut ialah 0 pada −1 and 2, dan pengangka tidak pernah 0:

x	−1.01	−0.99	1.99	2.01
r(x)	−44	45	13378	13289

\begin{aligned} \lim_{x\to -1^-} r(x) &= -\infty \\ \lim_{x\to -1^+} r(x) &= \infty \\ \lim_{x\to 2^\pm} r(x) &= \infty \end{aligned}

Tanda pada setiap sisi datang daripada faktornya. Berhampiran x = −1, faktor x + 1 bertukar tanda, jadi kedua-dua sisi menuju arah bertentangan. Berhampiran x = 2, faktornya dikuasaduakan, positif pada kedua-dua sisi, jadi kedua-dua sisi naik. Kepelbagaian ganjil: arah bertentangan; genap: arah yang sama.

$\lim_{x\to a^+}$ bermakna x menghampiri a dari kanan, melalui nilai yang lebih besar daripada a; $\lim_{x\to a^-}$ , dari kiri.

1.10 · Fungsi nisbah dan lubang

faktor yang saling batal

Jika a ialah sifar pengangka dan penyebut, dengan kepelbagaian dalam pengangka sekurang-kurangnya sebesar dalam penyebut, graf mempunyai lubang pada x = a: satu titik yang hilang.

\begin{aligned} r(x) &= \frac{x^2 + x - 6}{x^2 - x - 2} \\ &= \frac{(x - 2)(x + 3)}{(x - 2)(x + 1)} \\ &= \frac{x + 3}{x + 1}, \quad x \ne 2 \end{aligned}

Faktor x − 2 saling batal, sekali di atas dan sekali di bawah, jadi x = 2 ialah lubang. Ketinggiannya ialah nilai yang diberikan oleh bentuk teringkas di situ, yang juga had yang dihampiri oleh kedua-dua sisi:

\lim_{x\to 2} r(x) = \frac{2 + 3}{2 + 1} = \frac{5}{3}

Faktor x + 1 tidak saling batal, jadi x = -1 ialah asimptot mencancang; x + 3 tertinggal di atas, jadi x = -3 ialah satu-satunya sifar. Perhatikan bahawa 2 bukan sifar, walaupun ia menjadikan pengangka 0.

Jika kepelbagaian lebih tinggi dalam penyebut, pembatalan meninggalkan faktor di bawah, dan hasilnya ialah asimptot, bukan lubang: $\dfrac{x - 2}{(x - 2)^2} = \dfrac{1}{x - 2}$ mempunyai asimptot mencancang pada x = 2.

1.11 · Perwakilan setara bagi ungkapan polinomial dan nisbah

difaktorkan, piawai, dibahagi, dikembangkan

Fungsi yang sama boleh ditulis dalam beberapa cara. Setiap bentuk menunjukkan sesuatu yang disembunyikan oleh yang lain.

Bentuk piawai $x^3 - 2x^2 - 5x + 6$ menunjukkan sebutan pendahulu (kelakuan hujung) dan pintasan-y, 6.
Bentuk terfaktor $(x + 2)(x - 1)(x - 3)$ menunjukkan sifar, dan dalam fungsi nisbah, asimptot dan lubang.

Pembahagian panjang polinomial menulis semula fungsi nisbah sebagai polinomial tambah pecahan baki. Bahagikan $x^2 + x + 1$ dengan $x - 1$ : x(x − 1) menolak x² − x, meninggalkan 2x + 1; 2(x − 1) menolak 2x − 2, meninggalkan 3.

\begin{gathered} x^2 + x + 1 = (x - 1)(x + 2) + 3 \\ \frac{x^2 + x + 1}{x - 1} = x + 2 + \frac{3}{x - 1} \end{gathered}

Apabila |x| bertambah, sebutan baki (sela biru) mengecil kepada 0, jadi hasil bahagi y = x + 2 ialah asimptot serong. Secara amnya, jika p = q·s + t, maka p/q = s + t/q. Baki 0 bermakna pembahagi ialah faktor.

Teorem binomial mengembangkan $(a + b)^n$ dengan nombor dalam baris n segi tiga Pascal, setiap satunya hasil tambah dua nombor di atasnya:

(a + b)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} a^{n-k} b^k

Baris 3 ialah 1, 3, 3, 1, jadi $(x + 2)^3 = x^3 + 3x^2(2) + 3x(2)^2 + 2^3 = x^3 + 6x^2 + 12x + 8$ .

1.12 · Penjelmaan fungsi

anjakan, regangan dan pantulan

Fungsi baharu boleh dibina daripada fungsi induk f dengan menganjak dan meregangkan grafnya. Graf merah ialah $g(x) = a\,f\big(b(x - h)\big) + k$ , dibina daripada $f(x) = x^3 - 3x$ kelabu pada [−2, 2]; rajah mengubah h, k, a dan b satu demi satu.

form	graf bagi f ialah
f(x) + k	ditranslasi secara mencancang sebanyak k (ke atas jika k > 0)
f(x − h)	ditranslasi secara mengufuk sebanyak h (ke kanan jika h > 0); f(x + h) menggerakkannya ke kiri
a·f(x)	dibesarkan secara mencancang sebanyak \|a\|; dipantulkan pada paksi-x jika a < 0
f(bx)	dibesarkan secara mengufuk sebanyak 1/\|b\|; dipantulkan pada paksi-y jika b < 0

Perubahan penambahan mentranslasikan; perubahan pendaraban membesarkan. Perubahan di luar f bertindak pada output dan melakukan apa yang dikatakan; perubahan di dalam bertindak pada input dan melakukan sebaliknya: x − 1.5 bergerak ke kanan, dan b = 2 memampatkan graf kepada separuh lebarnya.

Domain dan julat bergerak bersama graf. Pada akhir larian rajah, h = 1.5, k = 1, a = 1.5, b = 2:

g(x) = 1.5\,f\big(2(x - 1.5)\big) + 1

Domain [−2, 2] dimampatkan sebanyak 1/2 dan dianjak 1.5: [0.5, 2.5]. Julat [−2, 2] diregangkan sebanyak 1.5 dan dianjak ke atas 1: [−2, 4]. Palang biru pada paksi menunjukkan kedua-duanya.

1.13 · Pemilihan model fungsi dan penyataan andaian

jenis fungsi yang sesuai, dan pada domain yang mana

Untuk memodelkan data, pilih jenis fungsi yang corak perubahannya sepadan dengan data, kemudian nyatakan andaian dan domain yang menjadikan model itu bermakna.

Sebiji bola dilontar ke atas; ketinggiannya diukur setiap saat (data hipotesis):

t (s)	0	1	2	3	4
h (m)	1	16	21	16	1
change	15	5	−5	−15
perubahan bagi perubahan	−10	−10	−10

Beza pertama tidak malar, jadi model linear salah: garis putus-putus melalui dua titik pertama meramalkan 61 m pada t = 4 berbanding 1 m yang diukur. Beza kedua malar, −10, jadi kuadratik sesuai dengan tepat:

h(t) = -5t^2 + 20t + 1

linear: kadar perubahan yang lebih kurang malar;
kuadratik: kadar yang berubah pada kadar yang lebih kurang malar, atau data yang menaik kemudian menurun secara simetri pada satu nilai ekstrem;
kubik atau lebih tinggi: lebih banyak pusingan, atau kadar yang kadarnya sendiri berubah;
cebis demi cebis: corak berbeza pada bahagian input yang berbeza;
nisbah: kuantiti yang berkadar songsang, atau mendatar menuju suatu nilai.

Andaian. Model ini mengabaikan rintangan udara dan hanya sah semasa bola berada di udara: dari lontaran hingga h(t) = 0, 0 ≤ t ≤ 4.05. Di luar domain itu, outputnya (ketinggian negatif) tidak bermakna.

1.14 · Pembinaan dan penggunaan model fungsi

daripada satu situasi kepada fungsi, dan kembali

Membina model bermaksud menamakan input, menulis output dalam sebutan input itu daripada geometri atau peraturan situasi, dan mencari domain yang dibenarkan oleh situasi. Kemudian model menjawab soalan.

Potong segi empat sama x × x daripada setiap bucu kepingan 12 × 8 inci dan lipat sisinya ke atas. Kotak itu sedalam x, 12 − 2x panjang dan 8 − 2x lebar:

\begin{gathered} V(x) = x(12 - 2x)(8 - 2x) \\ 0 < x < 4 \end{gathered}

Domain datang daripada situasi: potongan mesti bersaiz positif, dan sisi 8 inci habis pada x = 4. Kelakuan lain kubik itu (isi padu negatif selepas itu) berada di luar model.

Kotak terbesar: daripada graf (atau kalkulator), maksimum ialah pada x ≈ 1.57 in, V ≈ 67.6 in³.
Kotak 60 in³: selesaikan V(x) = 60. Satu penyelesaian tepat, x = 1: 1 · 10 · 6 = 60. Yang lain ialah x ≈ 2.21.

Model lain dibina dengan cara yang sama. Polinomial berdarjah n boleh dipadankan melalui n + 1 titik dengan input berbeza; model nisbah sesuai untuk satu nisbah, seperti kos purata $C(n) = \dfrac{500 + 3n}{n}$ dolar bagi setiap item, yang asimptot mengufuknya, 3, ialah kos setiap item apabila $500 tetap itu diagihkan secara nipis. Sentiasa laporkan jawapan dalam unit situasi itu, dan semaknya dengan had situasi itu.