Fungsi eksponen dan logaritma · AP Precalculus

Bab 2 · Fungsi eksponen dan logaritma

pertumbuhan secara pendaraban

Sesetengah kuantiti bertambah dengan menambah jumlah yang sama pada setiap langkah. Yang lain bertambah dengan mendarab dengan faktor yang sama. Jenis kedua bermula perlahan, kemudian memintas setiap garis lurus.

Lengkung biru ialah $y = 2^x$ : setiap langkah 1 ke kanan menggandakan ketinggian, daripada 0.25 pada x = −2 kepada 8 pada x = 3. Lengkung merah membuat asalnya. $y = \log_2 x$ bertanya kuasa 2 yang manakah memberi x, jadi ia menukarkan 8 kembali kepada 3.

2^3 = 8 \iff \log_2 8 = 3

Kedua-dua lengkung ialah imej cermin merentasi garis sengkang $y = x$ : titik (x, 2^x) pada satu lengkung ialah (2^x, x) pada lengkung yang satu lagi.

Bab ini bermula daripada jujukan kepada fungsi eksponen dan modelnya, kemudian melalui gubahan dan fungsi songsang kepada logaritma, persamaan yang diselesaikannya, dan plot separa log yang menukarkan data eksponen kepada garis lurus. Ini ialah Unit 2 AP Precalculus.

2.1 · Jujukan aritmetik dan geometri

menambah, atau mendarab

Satu jujukan ialah fungsi yang inputnya nombor bulat n. Dalam jujukan aritmetik, setiap sebutan menambah beza sepunya d yang sama; dalam jujukan geometri, setiap sebutan didarab dengan nisbah sepunya r yang sama.

a_n = a_0 + dn \qquad\qquad g_n = g_0\, r^n

Titik biru ialah $a_n = 2 + 3n$ dan titik merah $g_n = 2(1.5)^n$ . Kedua-duanya bermula pada 2. Jujukan aritmetik naik sebanyak 3 setiap langkah; jujukan geometri naik lebih banyak setiap kali, dan pada n = 6 ia sudah mendahului.

n	0	1	2	3	4	5	6
a_n	2	5	8	11	14	17	20
g_n	2	3	4.5	6.75	10.13	15.19	22.78

Mana-mana sebutan yang diketahui boleh menjadi titik permulaan: $a_n = a_k + d(n - k)$ dan $g_n = g_k\, r^{\,n-k}$ . Contoh. Jika $a_2 = 8$ dan $a_5 = 17$ , bezanya ialah $d = \frac{17 - 8}{5 - 2} = 3$ . Jika $g_1 = 3$ dan $g_4 = 10.125$ , maka $r^3 = 3.375$ , jadi r = 1.5.

Dua corak yang sama, untuk setiap input nyata dan bukan langkah bulat sahaja, ialah fungsi linear dan fungsi eksponen.

2.2 · Perubahan linear dan eksponen

langkah input yang sama, beza atau nisbah output yang sama

Pada selang input yang sama panjang, fungsi linear berubah mengikut beza yang sama; fungsi eksponen berubah mengikut nisbah yang sama. Perubahan linear bersifat penambahan, perubahan eksponen bersifat pendaraban.

Gelongsorkan tetingkap [x, x + 1] di sepanjang kedua-dua lengkung. Pada $f(x) = 2 + 3x$ kenaikannya sentiasa 3. Pada $g(x) = 2(1.5)^x$ kenaikannya bertambah, tetapi nisbah kedua-dua ketinggian sentiasa 1.5:

\begin{gathered} f(x + 1) - f(x) = 3 \\ \frac{g(x + 1)}{g(x)} = 1.5 \end{gathered}

Bentuk-bentuk ini menyatakan perkara yang sama. $f(x) = b + mx$ bermula pada b dan menambah m bagi setiap unit; $g(x) = a r^x$ bermula pada a dan mendarab dengan r bagi setiap unit. Jujukan aritmetik ialah fungsi linear pada nombor bulat, dan jujukan geometri ialah fungsi eksponen.

Pada selang sepanjang 2, fungsi linear menambah 6, dua kali 3, manakala fungsi eksponen mendarab dengan $1.5^2 = 2.25$ . Diberi dua titik, model linear ialah $f(x) = y_i + m(x - x_i)$ dan model eksponen ialah $g(x) = y_i\, r^{\,x - x_i}$ .

2.3 · Fungsi eksponen

a·bˣ, dan perkara yang ditentukan oleh b

Satu fungsi eksponen berbentuk $f(x) = a b^x$ dengan nilai awal a ≠ 0 dan asas b > 0, b ≠ 1. Grafnya melalui (0, a).

Lengkung merah ialah $y = b^x$ apabila b disapu dari 2 turun melalui 1 hingga $\tfrac{1}{2}$ dan kembali. Untuk a > 0:

b > 1: pertumbuhan eksponen, sentiasa menokok; $f(x) \to \infty$ apabila $x \to \infty$ dan $f(x) \to 0$ apabila $x \to -\infty$ .
0 < b < 1: susutan eksponen, sentiasa menyusut; kelakuan hujung terbalik.
Domain: semua nombor nyata. Julat: y > 0. Garis y = 0 ialah asimptot mengufuk.
Sentiasa cekung ke atas, tanpa ekstrem dan tanpa titik lengkok balas.

Pada b = 1, lengkung itu ialah garis mendatar y = 1, sebab itulah 1 tidak dibenarkan sebagai asas. Jika a < 0, graf terbalik ke bawah paksi dan kecekungannya terbalik.

Contoh. $f(x) = 3\left(\tfrac{1}{2}\right)^x$ bermula pada 3 dan menjadi separuh pada setiap unit: $f(2) = 3 \cdot \tfrac{1}{4} = 0.75$ . Apabila x bertambah, ia menghampiri 0 tetapi tidak pernah mencapainya.

2.4 · Memanipulasi eksponen

anjakan ialah regangan

Hukum indeks menulis semula fungsi eksponen dalam bentuk setara, dan setiap bentuk menunjukkan sesuatu yang berbeza tentang graf itu.

hasil darab	$b^m b^n = b^{m+n}$
kuasa	$(b^m)^n = b^{mn}$
indeks negatif	$b^{-n} = \dfrac{1}{b^n}$
indeks nisbah	$b^{1/k} = \sqrt[k]{b}$

Mengikut hukum hasil darab, $2^{x+k} = 2^k \cdot 2^x$ . Jadi menggerakkan $y = 2^x$ ke kiri sebanyak k (biru) memberikan lengkung yang betul-betul sama dengan meregangkannya secara mencancang dengan $2^k$ (merah). Rajah menyapu k dari 0 hingga 2: titik (1, 2) menggelongsor ke kiri ke (1 − k, 2) dan naik ke (1, $2^{1+k}$ ), dan kedua-duanya mendarat pada lengkung merah.

2^{x+3} = 2^3 \cdot 2^x = 8 \cdot 2^x

Translasi mengufuk bagi satu fungsi eksponen sentiasa merupakan pembesaran mencancang. Hukum-hukum lain memberi lebih banyak: $\left(\tfrac{1}{2}\right)^x = 2^{-x}$ ialah pantulan $2^x$ pada paksi-y, dan $8^{x/3} = (8^{1/3})^x = 2^x$ . Setiap fungsi eksponen boleh ditulis dengan sebarang asas positif selain 1, termasuk asas asli e ≈ 2.7183.

2.5 · Model eksponen

peratus perubahan yang tetap

Model eksponen sesuai untuk kuantiti yang berubah mengikut kadar yang sama dalam masa yang sama: populasi, pelaburan, sampel radioaktif.

Karbon-14 mempunyai separuh hayat 5,730 tahun: setiap 5,730 tahun, separuh daripada yang tinggal mereput. Dengan t dalam tahun, peratusan yang tinggal ialah

C(t) = 100\left(\tfrac{1}{2}\right)^{t/5730}

Penulisan semula per unit memberi faktor tahunan: $\left(\tfrac{1}{2}\right)^{1/5730} \approx 0.999879$ . Sampel yang tinggal 30% berusia kira-kira 9,953 tahun, antara satu dengan dua separuh hayat (2.13 menunjukkan cara menyelesaikan t).

Bentuk lain datang daripada konteks:

Kadar peratus r: $f(t) = a(1 + r)^t$ (pertumbuhan) atau $a(1 - r)^t$ (susutan).
Pengkompaunan n kali setahun: $1,000 pada 6% sebulan selama 10 tahun ialah $1000\left(1 + \tfrac{0.06}{12}\right)^{120} \approx 1819.40$ ; dikompaun secara berterusan, $1000e^{0.06(10)} \approx 1822.12$ .
Dua titik menentukan model $y = y_i\, b^{\,x - x_i}$ . Sebuah pekan hipotesis berpenduduk 1,200 yang mencapai 1,500 dalam 4 tahun mempunyai $b = \left(\tfrac{1500}{1200}\right)^{1/4} \approx 1.0574$ : pertumbuhan 5.74% setahun.
Data: regresi eksponen pada kalkulator mencari a dan b yang paling sesuai dengan plot serakan.

Model hanya sebaik andaiannya: ia mungkin tidak lagi sesuai di luar data, atau apabila had sebenar (makanan, ruang) dicapai.

2.6 · Memilih model: reja

perkara yang terlepas daripada model

Satu reja ialah nilai sebenar tolak nilai yang diramalkan oleh model. Model sesuai apabila plot rejanya tidak menunjukkan corak.

\text{residual} = y - \hat y

Bilangan ini hipotesis: kultur bakteria yang dibilang setiap jam. Dua model dipadankan dengannya, garis kuasa dua terkecil $\hat y = -62.18 + 123.11x$ (biru) dan fungsi eksponen $\hat y = 50.39(1.596)^x$ (merah).

hour	0	1	2	3	4	5	6
count	52	77	131	202	322	532	834
reja linear	114	16	−53	−105	−108	−21	158
reja eksponen	2	−3	3	−3	−5	10	1

Reja garis itu positif, negatif, kemudian positif semula: bentuk U, tanda kelengkungan yang tidak dapat diikuti oleh garis itu. Reja fungsi eksponen bertaburan di atas dan di bawah 0 tanpa corak, jadi model eksponen ialah pilihan yang lebih baik.

Tandanya boleh dibaca terus: reja positif bermakna model menganggar terlalu rendah di situ, reja negatif bermakna ia menganggar terlalu tinggi. Pada jam 3, garis itu meramalkan 307 berbanding 202 sebenar, anggaran terlalu tinggi sebanyak 105.

2.7 · Gubahan fungsi

output satu fungsi, input fungsi seterusnya

Gubahan $f(g(x))$ , juga ditulis $(f \circ g)(x)$ , menggunakan g dahulu kemudian f pada hasilnya.

Di sini $g(x) = x - 1$ dan $f(x) = 2^x$ . Ikut titik-titik ke bawah: x pada garis atas, kemudian g(x), kurang satu, kemudian 2 kepada kuasa itu.

x = 3 \;\xrightarrow{\;g\;}\; 2 \;\xrightarrow{\;f\;}\; 2^{2} = 4

Jadi $f(g(x)) = 2^{x-1}$ . Susunan yang satu lagi ialah fungsi yang berbeza: $g(f(x)) = 2^x - 1$ , dan $g(f(3)) = 7$ , bukan 4. Secara amnya $f(g(x)) \ne g(f(x))$ .

Domain $f(g(x))$ ialah input g yang outputnya berada dalam domain f.
Fungsi identiti $I(x) = x$ tidak mengubah apa-apa: $f(I(x)) = I(f(x)) = f(x)$ .
Penjelmaan ialah gubahan: $f(x - 1)$ menggubah f dengan anjakan input secara penambahan, $3f(x)$ menggubah pendaraban dengan 3 selepas f.
Menguraikan satu fungsi mencari bahagian untuk digubah: $h(x) = (x^2 + 1)^3$ ialah $f(g(x))$ dengan $g(x) = x^2 + 1$ dan $f(x) = x^3$ .

Gubahan juga boleh dibaca daripada jadual atau graf: cari g(x), kemudian cari nilai itu sebagai input f.

2.8 · Fungsi songsang

membuat asal satu fungsi

Fungsi songsang $f^{-1}$ bagi suatu fungsi membalikkannya: jika $f(a) = b$ maka $f^{-1}(b) = a$ , dan $f^{-1}(f(x)) = f(f^{-1}(x)) = x$ .

Menukar input dan output memantulkan graf merentasi $y = x$ : titik (a, b) pada f menjadi (b, a) pada $f^{-1}$ . Domain f menjadi julat $f^{-1}$ , dan julatnya menjadi domain.

Fungsi songsang wujud hanya jika f ialah satu dengan satu: setiap output datang daripada satu input sahaja. Garis biru $y = c$ bertemu keseluruhan parabola $y = x^2$ dua kali, pada $x = \pm\sqrt{c}$ , jadi $x^2$ tiada songsang pada semua nombor nyata. Menghadkan domain kepada x ≥ 0 mengekalkan separuh yang satu dengan satu, dan di situ songsangnya ialah $f^{-1}(x) = \sqrt{x}$ (merah).

Mencari songsang. Tulis $y = 3x - 4$ , tukar x dan y, dan selesaikan untuk y:

x = 3y - 4 \implies f^{-1}(x) = \frac{x + 4}{3}

Semak: $f(3) = 5$ dan $f^{-1}(5) = \frac{5 + 4}{3} = 3$ . Songsang itu membuat asal f langkah demi langkah dalam susunan terbalik: tambah 4, kemudian bahagi dengan 3.

2.9 · Ungkapan logaritma

eksponen yang dicari

Logaritma $\log_b c$ ialah eksponen a yang menukarkan asas b kepada c, untuk b > 0, b ≠ 1 dan c > 0:

\log_b c = a \iff b^a = c

ungkapan	$\log_{5} 125$	$\log_{2} \tfrac{1}{16}$	$\log_{10} 1000$	$\log_{3} 1$
kerana	$5^{3} = 125$	$2^{-4} = \tfrac{1}{16}$	$10^{3} = 1000$	$3^{0} = 1$
nilai	3	−4	3	0

Dua asas mempunyai nama tersendiri: logaritma biasa $\log x$ berasas 10, dan logaritma asli $\ln x$ berasas e. Sentiasa $\log_b 1 = 0$ dan $\log_b b = 1$ .

Rajah meletakkan nilai $c = 10^u$ pada skala logaritma (merah), di bawah eksponennya $u = \log_{10} c$ (biru). Panjang yang sama pada skala ialah nisbah yang sama: 1 ke 10, 10 ke 100 dan 100 ke 1000 berjarak sama. Begitulah skala log memuatkan nilai yang saiznya sangat berbeza pada satu garisan.

Anggaran datang daripada kuasa yang bersebelahan: 50 berada antara 10 dan 100, jadi $\log_{10} 50$ berada antara 1 dan 2; nilainya 1.699.

2.10 · Songsang bagi fungsi eksponen

logaritma membuat asal bˣ

$f(x) = b^x$ ialah satu dengan satu, jadi ia mempunyai songsang, dan songsang itu ialah logaritma $f^{-1}(x) = \log_b x$ .

Tukarkan setiap baris jadual $y = 2^x$ dan anda mendapat jadual $y = \log_2 x$ . Titik merah dalam rajah melakukan perkara itu: setiap (x, 2^x) terbang merentasi $y = x$ ke (2^x, x).

x	−2	−1	0	1	2	3
2^x	0.25	0.5	1	2	4	8

x	0.25	0.5	1	2	4	8
log₂ x	−2	−1	0	1	2	3

Jadi kedua-dua fungsi bertukar ciri. $b^x$ mempunyai domain semua nombor nyata, julat y > 0 dan asimptot mengufuk y = 0; $\log_b x$ mempunyai domain x > 0, julat semua nombor nyata dan asimptot mencancang x = 0. Setiap satu membuat asal yang lain:

\log_b\left(b^x\right) = x \quad\text{for all } x, \qquad b^{\log_b x} = x \quad\text{for } x > 0

Bagi asas e, $e^x$ dan $\ln x$ ialah songsang: $\ln e^{3} = 3$ dan $e^{\ln 50} = 50$ .

2.11 · Fungsi logaritma

darab input, tambah pada output

Satu fungsi logaritma berbentuk $f(x) = a \log_b x$ dengan a ≠ 0, b > 0 dan b ≠ 1. Ia menukarkan perubahan pendaraban kepada perubahan penambahan.

Pada $y = \log_2 x$ , setiap kali input menjadi dua kali ganda, output bertambah 1: tangga biru bergerak dari (1, 0) ke (2, 1), (4, 2), (8, 3), (16, 4). Pada selang input dengan nisbah yang sama, output berubah mengikut beza yang sama: tepat bertentangan dengan fungsi eksponen.

x	1	2	4	8	16
log₂ x	0	1	2	3	4

Untuk a > 0 dan b > 1:

Domain x > 0, julat semua nombor nyata; pintasan-x ialah (1, 0).
Paksi-y ialah asimptot mencancang: $\log_b x \to -\infty$ apabila $x \to 0^+$ .
Sentiasa menokok dan sentiasa cekung ke bawah; $\log_b x \to \infty$ apabila $x \to \infty$ , tetapi lebih perlahan daripada sebarang kuasa positif x.
Tiada ekstrem dan tiada titik lengkok balas. Untuk 0 < b < 1, ia sentiasa menyusut (dan cekung ke atas).

Kelajuannya yang perlahan itu ialah ciri: output naik 1 setiap kali input menjadi dua kali ganda, jadi $\log_2 x$ hanya mencapai 10 pada x = 1024.

2.12 · Memanipulasi logaritma

regangan ialah anjakan

Setiap hukum indeks mempunyai kembarnya dalam logaritma, kerana logaritma ialah eksponen.

hasil darab	$\log_b(xy) = \log_b x + \log_b y$
hasil bahagi	$\log_b \dfrac{x}{y} = \log_b x - \log_b y$
kuasa	$\log_b x^n = n \log_b x$
pertukaran asas	$\log_b x = \dfrac{\log_a x}{\log_a b}$

Mengikut hukum hasil darab, $\log_2(kx) = \log_2 k + \log_2 x$ . Memampatkan $y = \log_2 x$ ke arah paksi-y dengan faktor 1/k (biru) memberikan lengkung yang sama dengan mengangkatnya sebanyak $\log_2 k$ (merah). Apabila k disapu dari 1 hingga 4, titik (2, 1) bergerak masuk ke (2/k, 1) dan naik ke (2, 1 + $\log_2 k$ ), kedua-duanya pada lengkung merah.

Jadi pembesaran mengufuk bagi satu logaritma ialah translasi mencancang, kembar kepada 2.4. Hukum kuasa menjadikan $\log_b x^n$ pembesaran mencancang dengan n, dan $\log_b \tfrac{1}{x} = -\log_b x$ pantulan pada paksi-x.

Contoh. $\log_2 40 = \log_2 8 + \log_2 5 \approx 3 + 2.3219 = 5.3219$ ; $\log_2 24 - \log_2 3 = \log_2 8 = 3$ ; dan melalui pertukaran asas, $\log_3 20 = \dfrac{\ln 20}{\ln 3} \approx 2.7268$ . Setiap fungsi logaritma ialah gandaan malar bagi $\ln x$ .

2.13 · Persamaan dan ketaksamaan eksponen dan logaritma

buat asal, kemudian semak

Untuk menyelesaikan persamaan eksponen, asingkan kuasa itu dan ambil logaritma; untuk menyelesaikan persamaan logaritma, asingkan log itu dan eksponenkan. Songsang membuat asal fungsi.

Rajah menyelesaikan $3 \cdot 2^x = c$ untuk setiap aras c serentak: lengkung bertemu garis biru pada $x = \log_2 \tfrac{c}{3}$ . Pada $c = 24$ :

\begin{aligned} 3 \cdot 2^x &= 24 \\ 2^x &= 8 \\ x &= \log_2 8 = 3 \end{aligned}

Ketaksamaan $3 \cdot 2^x > 24$ hanya memerlukan arah: $2^x$ menokok, jadi ia benar untuk x > 3, bahagian paksi berwarna merah. Fungsi menyusut (asas antara 0 dan 1) membalikkan ketaksamaan itu.

Dengan asas e. $5e^{0.2t} = 20$ memberi $e^{0.2t} = 4$ , jadi $t = \frac{\ln 4}{0.2} \approx 6.931$ .

Persamaan logaritma. $\log_2 x + \log_2(x - 2) = 3$ digabungkan menjadi $\log_2\big(x(x - 2)\big) = 3$ , jadi $x^2 - 2x = 8$ dan x = 4 atau x = −2. Tetapi −2 berada di luar domain $\log_2 x$ : ia punca palsu. Satu-satunya penyelesaian ialah x = 4. Sentiasa semak penyelesaian dalam persamaan asal.

Langkah yang sama mencari songsang: $y = 3 \cdot 2^x$ mempunyai $f^{-1}(x) = \log_2 \tfrac{x}{3}$ .

2.14 · Model logaritma

pertambahan pantas, kemudian perlahan

Model logaritma $y = a + b\ln x$ sesuai untuk kuantiti yang bertambah pantas pada mulanya dan kemudian semakin perlahan, atau yang nisbah input yang sama memberi beza output yang sama.

Data ini hipotesis: kelajuan menaip seorang jurutaip, dalam perkataan seminit, selepas setiap minggu latihan. Regresi logaritma memberi

\hat y = 20.52 + 14.70\ln x

Setiap kali bilangan minggu menjadi dua kali ganda, ia menambah $14.70 \ln 2 \approx 10.19$ perkataan seminit: dari minggu 1 ke 2 sama banyak seperti dari minggu 4 ke 8. Diramalkan pada minggu 10, $\hat y \approx 54.4$ , satu ekstrapolasi melangkaui data, yang kurang boleh dipercayai.

Skala logaritma mengukur banyak kuantiti sebenar, kerana nilainya merangkumi banyak kuasa 10:

Aras bunyi dalam desibel: $L = 10 \log_{10} \tfrac{I}{I_0}$ . Menggandakan keamatan menambah $10\log_{10} 2 \approx 3.01$ dB; mendarabnya dengan 10 menambah 10 dB.
Keasidan: $\text{pH} = -\log_{10}[\text{H}^+]$ . Larutan dengan $[\text{H}^+] = 10^{-3}$ mempunyai pH 3; kepekatan sepuluh kali ganda menurunkan pH sebanyak 1.

Model logaritma dan eksponen ialah songsang: jika y bertambah secara eksponen dengan x, maka x bertambah secara logaritma dengan y.

2.15 · Plot separa log

data eksponen, diluruskan

Satu plot separa log mengekalkan paksi-x linear dan meletakkan y pada skala logaritma. Padanya, data eksponen terletak pada garis lurus.

Ambil log bagi model eksponen $y = a b^x$ :

\log_{10} y = \log_{10} a + x \log_{10} b

Itulah garis dalam $\log_{10} y$ , dengan kecerunan $\log_{10} b$ dan pintasan mencancang $\log_{10} a$ . Sebarang asas n > 1 berfungsi dengan cara yang sama.

Bilangan bakteria dalam 2.6 (hipotesis) melengkung ke atas pada kertas biasa dan tersusun lurus pada kertas separa log. Garis penyuaian terbaiknya ialah $\log_{10}\hat y = 1.7023 + 0.2030x$ , jadi

\begin{aligned} a &= 10^{1.7023} \approx 50.39 \\ b &= 10^{0.2030} \approx 1.596 \end{aligned}

Modelnya ialah $\hat y = 50.39(1.596)^x$ : kira-kira 60% lebih banyak bakteria setiap jam.

Plot separa log ialah ujian sekaligus alat: data yang tersusun lurus ialah eksponen; data yang masih melengkung bukan eksponen, dan memerlukan model lain.