다항함수와 유리함수 · AP Precalculus

1장 · 다항함수와 유리함수

입력에 따라 출력이 어떻게 변하는가

함수는 모든 입력에 출력 하나를 짝지어 줍니다. Precalculus는 입력이 변할 때 출력이 어떻게 변하는지를 묻습니다. 어디서 오르고 내리는지, 얼마나 빠른지, 멀리 가면 어떻게 되는지입니다.

그래프는 삼차함수 $p(x) = \tfrac{1}{2}(x + 2)(x - 1)(x - 3)$ 입니다. 인수를 보면 그래프가 x축과 만나는 영점 −2, 1, 3을 알 수 있습니다. 빨간 할선이 그래프를 따라 미끄러지고, 그 기울기는 구간에서의 평균변화율입니다. [0, 2]에서:

\frac{p(2) - p(0)}{2 - 0} = \frac{-2 - 3}{2} = -2.5

이 장은 AP Precalculus의 Unit 1로, 시험에서 가장 큰 단원입니다(약 30–40%). 다항함수(x의 거듭제곱의 합)와 유리함수(다항식을 다항식으로 나눈 꼴)를 다루는 도구를 쌓습니다. 변화율, 영점, 끝 거동, 점근선과 구멍, 변환, 그리고 마지막으로 실제 자료를 나타내는 함수를 고르고 만드는 일까지입니다.

1.1 · 함께 변하다

입력과 출력이 함께 변한다

함수 f는 각 입력 x를 출력 f(x) 하나에 보냅니다. 입력이 변하면 출력도 함께 변합니다. 그래프는 둘을 한꺼번에 보여 줍니다. 입력은 x축을 따라, 출력은 높이로 나타납니다.

x가 움직일 때 $f(x) = x^3 - 3x$ 위의 점을 따라가 보세요. 회색 보조선이 입력은 x축으로, 출력은 y축으로 이어 줍니다.

x	−2	−1	0	1	2
f(x)	−2	2	0	−2	2

어떤 구간에서 입력이 커질 때 출력이 항상 커지면 f는 그 구간에서 증가합니다. 그 구간의 모든 a < b에 대해 f(a) < f(b)입니다. 출력이 항상 작아지면 감소합니다. 여기서 f는 x < -1에서 증가하고(빨강), -1과 1 사이에서 감소하며(파랑), 1 이후 다시 증가합니다.

그래프가 x축 위에 있는 곳에서 출력은 양수이고 아래에 있는 곳에서 음수입니다. 부호는 f(x) = 0인 입력, 곧 영점에서 바뀝니다. 여기서는 0과 ±√3 ≈ ±1.73입니다.

상황 속에서도 같은 말이 쓰입니다. 꽃병에 물을 일정한 속도로 부으면 깊이는 늘어나는데, 병이 좁은 곳에서는 빠르게, 넓은 곳에서는 느리게 늘어납니다. 부피에 대한 깊이의 그래프는 두 양이 함께 변하는 모습을 그린 그림입니다.

1.2 · 변화율

할선의 기울기와 한 점에서의 기울기

[a, b]에서 f의 평균변화율은 입력의 변화량에 대한 출력의 변화량의 비, 곧 (a, f(a))에서 (b, f(b))까지 지나는 할선의 기울기입니다.

\frac{f(b) - f(a)}{b - a}

한 점에서의 변화율은 그 점 둘레의 점점 더 작은 구간에서의 평균변화율로 근사합니다. $f(x) = \tfrac{1}{2}x^2$ 의 x = 2에서 [2 − h, 2](파랑)과 [2, 2 + h](빨강)에서 할선을 잡아 보세요.

h	1	0.5	0.1	0.01
left	1.5	1.75	1.95	1.995
right	2.5	2.25	2.05	2.005

두 열은 양쪽에서 2에 다가갑니다. x = 2에서의 변화율은 2이며, 점선으로 그린 접선의 기울기입니다. x = 1에서 같은 계산을 하면 1입니다.

둘을 비교하면 2에서의 변화율이 1에서의 변화율보다 크므로, x가 커질수록 그래프는 더 가팔라집니다. 기억할 두 가지 연결:

변화율이 양수이면 그곳에서 f는 증가하고, 음수이면 감소합니다.
변화율이 증가하는 곳에서 그래프는 아래로 볼록하고(이 그래프처럼 위로 휘어집니다), 감소하는 곳에서는 위로 볼록합니다.

1.3 · 일차함수와 이차함수의 변화율

일정한 변화, 그리고 일정하게 변하는 변화

입력을 같은 양씩 움직이며 출력을 지켜보세요. 변화의 패턴으로 일차함수와 이차함수를 구별할 수 있습니다.

x	0	1	2	3	4
2x + 1	1	3	5	7	9
change	+2	+2	+2	+2
x² − 4x + 5	5	2	1	2	5
change	−3	−1	+1	+3
변화의 변화	+2	+2	+2

일차: 평균변화율은 모든 구간에서 같고 기울기 2과 같습니다. 입력 간격이 같으면 출력의 변화량도 같습니다.

이차: 길이가 같은 연속한 구간들에서 평균변화율은 −3, −1, 1, 3입니다. 일정하지는 않지만 한 단계마다 일정한 비율 2로 변합니다. 간격이 1인 $ax^2 + bx + c$ 에서 그 상수는 2a입니다.

변화율로 꼭짓점도 찾을 수 있습니다. 변화율은 x = 2까지 음수이고(함수가 감소) 그 뒤로는 양수이므로(증가) 최솟값은 x = 2에 있습니다. 변화율이 증가하므로 포물선은 아래로 볼록합니다. a < 0이면 변화율이 감소하여 위로 볼록해집니다.

1.4 · 다항함수와 변화율

전환점, 변곡점, 전역 극값

다항함수는 계수가 실수이고 a_n ≠ 0일 때 $p(x) = a_n x^n + a_{n-1}x^{n-1} + \dots + a_1 x + a_0$ 꼴입니다. 차수는 n이고 a_n은 최고차항의 계수입니다. 0이 아닌 상수는 차수가 0인 다항식입니다.

그래프는 $p(x) = \tfrac{1}{4}x^4 - 2x^2 + 1$ 입니다. 빨간 직선은 곡선의 기울기, 곧 변화율을 따라 움직입니다.

극대는 변화율이 양수에서 음수로 바뀌는 곳입니다. (0, 1).
극소는 음수에서 양수로 바뀌는 곳입니다. (−2, −3)와 (2, −3).
변곡점은 변화율이 증가에서 감소로, 또는 그 반대로 바뀌어 오목성이 달라지는 곳입니다. x = ±2/√3 ≈ ±1.15.

함수가 취하는 가장 낮은 값 −3은 전역 최솟값입니다. 짝수 차수의 다항함수에는 항상 전역 최댓값이나 전역 최솟값이 있습니다(여기처럼 a_n > 0이면 최솟값). 홀수 차수의 다항함수는 출력이 ∞와 −∞ 양쪽으로 뻗어 나가므로 둘 다 없습니다.

영점은 ±(√3 − 1) ≈ ±0.73과 ±(√3 + 1) ≈ ±2.73입니다. 상수가 아닌 다항식의 서로 다른 두 실수 영점 사이에는 반드시 극대나 극소가 있습니다. 여기서는 −2에서 극소, 0에서 극대, 2에서 극소입니다.

1.5 · 다항함수와 복소수 영점

차수 n이면 영점이 n개, 중복도를 센다

차수가 n인 다항식은 중복도를 세면 복소수 영점이 정확히 n개입니다. 실수인 것도 있고 아닌 것도 있습니다.

차수가 2 + 1 + 2 = 5인 $p(x) = \tfrac{1}{10}(x + 2)^2(x - 1)(x^2 + 1)$ 를 보세요. 영점은 다음과 같습니다.

zero	multiplicity	그래프 위
−2	2	x축에 닿고 가로지르지 않는다
1	1	x축을 가로지른다
i, −i	각 1개	x절편 없음: 실수가 아님

(x − a)가 p(x)의 인수일 때, 그리고 그때에만 a는 p의 영점입니다. a가 실수이면 (a, 0)은 x절편입니다.
(x − a)가 k번 나타나면 a의 중복도는 k입니다. 중복도가 짝수인 실수 영점에서는 그래프가 축에 닿았다가 되돌아가고, 홀수이면 축을 가로지릅니다.
계수가 실수이면 실수가 아닌 영점은 켤레 쌍으로 나타납니다. a + bi가 영점이면 a − bi도 영점입니다.

그림은 마지막 인수를 $x^2 + q$ 로 바꾸고 q를 움직입니다. q < 0이면 영점 ±√(−q)는 실수이고 빨간 x절편 두 개입니다. q = 0에서 만나고, 그 뒤 함께 실수축을 떠나 허수축 위아래로 ±i√q로 갑니다. 차수와 영점의 개수는 바뀌지 않습니다.

짝함수와 홀함수. 모든 x에 대해 f(−x) = f(x)이면 f는 짝함수입니다(y축 대칭). 1.4의 $\tfrac{1}{4}x^4 - 2x^2 + 1$ 가 그 예입니다. f(−x) = −f(x)이면 홀함수입니다(원점 대칭). 1.1의 $x^3 - 3x$ 가 그 예입니다. 짝수 차수의 항만 있는 다항식은 짝함수이고, 홀수 차수의 항만 있으면 홀함수입니다.

1.6 · 다항함수와 끝 거동

멀리서는 최고차항이 전부다

함수의 끝 거동은 x → ∞와 x → −∞일 때 출력이 어떻게 되는지입니다. 다항함수에서는 최고차항만으로 정해집니다.

빨간 곡선은 $p(x) = -x^3 + 3x^2 + x - 3 = -(x + 1)(x - 1)(x - 3)$ 입니다. 곡선을 담은 창이 원래 크기의 12배까지 커졌다가 되돌아옵니다. 축의 숫자를 보세요. 멀리서 보면 영점이 원점으로 몰리고 굴곡이 사라지며, 곡선은 최고차항 $-x^3$ (파랑) 위에 놓입니다. x = 48에서 p(x)는 −x³의 0.937배입니다.

\begin{aligned} \lim_{x\to\infty} p(x) &= -\infty \\ \lim_{x\to -\infty} p(x) &= \infty \end{aligned}

	a_n > 0	a_n < 0
n이 짝수	양쪽 끝이 위로	양쪽 끝이 아래로
n이 홀수	왼쪽은 아래로, 오른쪽은 위로	왼쪽은 위로, 오른쪽은 아래로

이유는 $p(x) = -x^3\left(1 - \tfrac{3}{x} - \tfrac{1}{x^2} + \tfrac{3}{x^3}\right)$ 이고, 대괄호 안에서 1 뒤의 모든 항이 |x|가 커지면 0으로 줄어들기 때문입니다. 극한 기호는 “x가 한없이 커질 때 p(x)는 한없이 작아진다”로 읽습니다.

1.7 · 유리함수와 끝 거동

최고차항의 비

유리함수는 q가 영다항식이 아닐 때 다항식의 비 $r(x) = \dfrac{p(x)}{q(x)}$ 입니다. 멀리서는 각 다항식이 최고차항처럼 행동하므로 r는 두 최고차항의 비처럼 행동합니다.

degrees	수평 점근선	멀리서
분자 < 분모	y = 0	3x/(x² + 1) ≈ 3/x → 0
분자 = 분모	y = 최고차항 계수의 비	(2x² − 1)/(x² + 2) ≈ 2x²/x² = 2
분자 > 분모	없음, 다항식처럼 행동	(x² + x + 1)/(x − 1) ≈ x²/x = x

각 판에서 빨간 점과 파란 점이 −∞와 ∞ 쪽으로 달려 나가 빨간 점선을 따라 자리 잡습니다. 차수가 같으면 $r(100) = 1.9995$ 입니다. 2에 가까워지지만 아래쪽에서는 끝내 닿지 않습니다.

\lim_{x\to\pm\infty} \frac{2x^2 - 1}{x^2 + 2} = 2

분자의 차수가 분모의 차수보다 정확히 하나 크면 그래프는 사선 점근선, 곧 나눗셈(1.11)으로 구하는 직선 y = mx + b에 가까워집니다. 여기서는 y = x + 2입니다. 그래프는 수평 점근선이나 사선 점근선을 가로지를 수 있습니다. 점근선은 양쪽 끝의 모습만 말해 줍니다.

1.8 · 유리함수와 영점

분자는 0이고 분모는 0이 아닌 곳

$r(x) = \dfrac{p(x)}{q(x)}$ 의 실수 영점은 분자 p의 실수 영점 중 r의 정의역에 속하는 것, 곧 p는 0이고 q는 0이 아닌 입력입니다.

$r(x) = \dfrac{(x + 2)(x - 1)}{(x + 1)(x - 3)}$ 의 영점은 −2 and 1입니다. 입력 −1 and 3은 정의역에 없습니다. 그곳에서 분모가 0이고 그래프에 수직 점근선이 있기 때문입니다(1.9).

출력의 부호는 영점이나 r가 정의되지 않는 곳에서만 바뀔 수 있습니다. 그러므로 이 네 입력이 수직선을 구간으로 나누고, 각 구간에서 시험 입력 하나로 그 구간 전체의 부호를 알 수 있습니다.

interval	x < −2	−2 < x < −1	−1 < x < 1	1 < x < 3	x > 3
시험 x	−3	−1.5	0	2	4
r(x)	0.33	−0.56	0.67	−1.33	3.6
sign	+	−	+	−	+

이것으로 부등식을 풉니다. $r(x) \ge 0$ 는 그래프가 축 위나 축 위에 있는 곳(빨강)이며 x ≤ −2, 또는 −1 < x ≤ 1, 또는 x > 3입니다. 영점은 포함하지만(그곳에서 r = 0) 점근선은 결코 포함하지 않습니다.

분자의 영점이 분모의 영점이기도 하면 r의 영점이 아닙니다. 그것은 구멍이거나 점근선입니다(1.10).

1.9 · 유리함수와 수직 점근선

분모가 0이고, 0으로 남는 곳

a가 분모의 실수 영점이면서 분자의 영점이 아니거나, 분모에서 중복도가 더 높은 영점이면 직선 x = a는 r의 수직 점근선입니다. 그 근처에서 출력은 한없이 커집니다.

$r(x) = \dfrac{4}{(x + 1)(x - 2)^2}$ 에서 분모는 −1 and 2에서 0이고 분자는 결코 0이 아닙니다.

x	−1.01	−0.99	1.99	2.01
r(x)	−44	45	13378	13289

\begin{aligned} \lim_{x\to -1^-} r(x) &= -\infty \\ \lim_{x\to -1^+} r(x) &= \infty \\ \lim_{x\to 2^\pm} r(x) &= \infty \end{aligned}

양쪽의 부호는 인수에서 나옵니다. x = −1 근처에서는 인수 x + 1의 부호가 바뀌므로 양쪽이 반대 방향으로 갑니다. x = 2 근처에서는 인수가 제곱이라 양쪽에서 양수이므로 양쪽이 모두 위로 갑니다. 중복도가 홀수이면 반대 방향, 짝수이면 같은 방향입니다.

$\lim_{x\to a^+}$ 는 x가 a보다 큰 값들을 거쳐 오른쪽에서 a에 다가간다는 뜻이고, $\lim_{x\to a^-}$ 는 왼쪽에서 다가간다는 뜻입니다.

1.10 · 유리함수와 구멍

약분되는 인수

a가 분자와 분모의 영점이고 분자에서의 중복도가 분모에서의 중복도 이상이면, 그래프는 x = a에 구멍, 곧 빠진 점 하나가 있습니다.

\begin{aligned} r(x) &= \frac{x^2 + x - 6}{x^2 - x - 2} \\ &= \frac{(x - 2)(x + 3)}{(x - 2)(x + 1)} \\ &= \frac{x + 3}{x + 1}, \quad x \ne 2 \end{aligned}

인수 x − 2는 위와 아래에서 한 번씩 약분되므로 x = 2은 구멍입니다. 구멍의 높이는 간단히 한 식이 그곳에서 주는 값이며, 양쪽이 다가가는 극한값이기도 합니다.

\lim_{x\to 2} r(x) = \frac{2 + 3}{2 + 1} = \frac{5}{3}

인수 x + 1은 약분되지 않으므로 x = -1은 수직 점근선입니다. x + 3이 분자에 남으므로 x = -3이 유일한 영점입니다. 2는 분자를 0으로 만들지만 영점이 아님에 유의하세요.

분모에서의 중복도가 더 높으면 약분 후에도 분모에 인수가 남아 구멍이 아니라 점근선이 됩니다. $\dfrac{x - 2}{(x - 2)^2} = \dfrac{1}{x - 2}$ 은 x = 2에 수직 점근선이 있습니다.

1.11 · 다항식과 유리식의 같은 표현들

인수분해한 꼴, 표준형, 나눈 꼴, 전개한 꼴

같은 함수를 여러 방식으로 쓸 수 있습니다. 각 꼴은 다른 꼴이 숨기는 것을 보여 줍니다.

표준형 $x^3 - 2x^2 - 5x + 6$ 은 최고차항(끝 거동)과 y절편 6을 보여 줍니다.
인수분해한 꼴 $(x + 2)(x - 1)(x - 3)$ 은 영점을 보여 주며, 유리함수에서는 점근선과 구멍도 보여 줍니다.

다항식의 긴 나눗셈은 유리함수를 다항식과 나머지 분수의 합으로 고쳐 씁니다. $x^2 + x + 1$ 을 $x - 1$ 로 나눕니다. x(x − 1)이 x² − x를 덜어 내고 2x + 1이 남으며, 2(x − 1)이 2x − 2를 덜어 내고 3이 남습니다.

\begin{gathered} x^2 + x + 1 = (x - 1)(x + 2) + 3 \\ \frac{x^2 + x + 1}{x - 1} = x + 2 + \frac{3}{x - 1} \end{gathered}

|x|가 커지면 나머지 항(파란 간격)은 0으로 줄어드므로 몫 y = x + 2은 사선 점근선입니다. 일반적으로 p = q·s + t이면 p/q = s + t/q입니다. 나머지가 0이면 나누는 식은 인수입니다.

이항정리는 $(a + b)^n$ 을 파스칼의 삼각형 n행의 수로 전개합니다. 각 수는 위의 두 수의 합입니다.

(a + b)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} a^{n-k} b^k

3행은 1, 3, 3, 1이므로 $(x + 2)^3 = x^3 + 3x^2(2) + 3x(2)^2 + 2^3 = x^3 + 6x^2 + 12x + 8$ 입니다.

1.12 · 함수의 변환

이동, 늘리기, 대칭

그래프를 이동하고 늘려서 부모 함수 f로부터 새 함수를 만들 수 있습니다. 빨간 그래프는 [−2, 2]에서 회색 $f(x) = x^3 - 3x$ 로부터 만든 $g(x) = a\,f\big(b(x - h)\big) + k$ 이며, 그림은 h, k, a, b를 하나씩 바꿉니다.

form	f의 그래프
f(x) + k	세로로 k만큼 평행이동 (k > 0이면 위로)
f(x − h)	가로로 h만큼 평행이동 (h > 0이면 오른쪽), f(x + h)는 왼쪽으로 이동
a·f(x)	세로로 \|a\|배 늘림, a < 0이면 x축에 대해 대칭이동
f(bx)	가로로 1/\|b\|배 늘림, b < 0이면 y축에 대해 대칭이동

덧셈적 변화는 평행이동하고 곱셈적 변화는 늘리거나 줄입니다. f 바깥의 변화는 출력에 작용하여 말 그대로 하고, 안쪽의 변화는 입력에 작용하여 반대로 합니다. x − 1.5은 오른쪽으로 옮기고, b = 2은 그래프의 너비를 절반으로 좁힙니다.

정의역과 치역도 그래프와 함께 움직입니다. 그림이 끝날 때 h = 1.5, k = 1, a = 1.5, b = 2입니다.

g(x) = 1.5\,f\big(2(x - 1.5)\big) + 1

정의역 [−2, 2]는 1/2배로 좁아지고 1.5만큼 이동하여 [0.5, 2.5]이 됩니다. 치역 [−2, 2]는 1.5배로 늘어나고 위로 1만큼 이동하여 [−2, 4]이 됩니다. 축 위의 파란 막대가 둘 다 보여 줍니다.

1.13 · 함수 모형 선택과 가정 서술

어떤 종류의 함수가, 어떤 정의역에서 맞는가

자료를 모형화하려면 변화의 패턴이 자료와 같은 종류의 함수를 고르고, 모형이 의미를 갖는 가정과 정의역을 서술합니다.

공을 위로 던지고 1초마다 높이를 쟀습니다(가상의 자료).

t (s)	0	1	2	3	4
h (m)	1	16	21	16	1
change	15	5	−5	−15
변화의 변화	−10	−10	−10

일차 차분이 일정하지 않으므로 일차 모형은 틀렸습니다. 처음 두 점을 지나는 점선은 t = 4에서 61 m를 예측하지만 실측값은 1 m입니다. 이차 차분은 −10으로 일정하므로 이차함수가 정확히 맞습니다.

h(t) = -5t^2 + 20t + 1

일차: 변화율이 대략 일정합니다.
이차: 변화율이 대략 일정하게 변하거나, 자료가 오르다가 하나의 극값을 중심으로 대칭으로 내려갑니다.
삼차 이상: 꺾임이 더 많거나, 변화율의 변화율도 변합니다.
구간별 함수: 입력의 구간마다 패턴이 다릅니다.
유리함수: 서로 반비례하거나 어떤 값에 가까워지며 평평해지는 양입니다.

가정. 이 모형은 공기 저항을 무시하며, 공이 공중에 있는 동안, 곧 던진 순간부터 h(t) = 0이 될 때까지인 0 ≤ t ≤ 4.05에서만 성립합니다. 그 정의역 밖에서 출력(음의 높이)은 아무 의미가 없습니다.

1.14 · 함수 모형의 구성과 적용

상황에서 함수로, 그리고 다시 상황으로

모형을 세운다는 것은 입력의 이름을 정하고, 상황의 기하나 규칙에서 그것으로 출력을 표현하고, 상황이 허용하는 정의역을 찾는 일입니다. 그러면 모형이 질문에 답합니다.

12 × 8인치 판의 네 모서리에서 x × x 정사각형을 잘라 내고 옆면을 접어 올립니다. 상자는 깊이가 x, 길이가 12 − 2x, 너비가 8 − 2x입니다.

\begin{gathered} V(x) = x(12 - 2x)(8 - 2x) \\ 0 < x < 4 \end{gathered}

정의역은 상황에서 나옵니다. 잘라 낸 크기는 양수여야 하고, 8인치 변은 x = 4에서 바닥이 납니다. 삼차함수의 다른 거동(그 너머의 음의 부피)은 모형 밖입니다.

가장 큰 상자: 그래프(또는 계산기)에서 최댓값은 x ≈ 1.57 in, V ≈ 67.6 in³에서 나옵니다.
60 in³ 상자: V(x) = 60을 풉니다. 해 하나는 정확히 x = 1입니다. 1 · 10 · 6 = 60. 다른 해는 x ≈ 2.21입니다.

다른 모형도 같은 방식으로 세웁니다. 입력이 서로 다른 n + 1개의 점을 지나는 n차 다항식을 맞출 수 있습니다. 개당 평균 비용 $C(n) = \dfrac{500 + 3n}{n}$ 달러처럼 비를 나타낼 때는 유리함수 모형이 알맞고, 그 수평 점근선 3은 고정 비용 $500이 널리 퍼졌을 때의 개당 비용입니다. 답은 항상 상황의 단위로 쓰고, 상황의 한계에 비추어 확인하세요.