2장 · 지수함수와 로그함수

곱하면서 커지는 성장

어떤 양은 단계마다 같은 양을 더하며 늘어납니다. 어떤 양은 단계마다 같은 배수를 곱하며 늘어납니다. 두 번째 종류는 처음에는 느리다가 어떤 직선도 앞지릅니다.

파란 곡선은 $y = 2^x$입니다. 오른쪽으로 1만큼 갈 때마다 높이가 두 배가 되어, x = −2에서의 0.25이 x = 3에서는 8가 됩니다. 빨간 곡선은 이를 되돌립니다. $y = \log_2 x$은 2의 몇 제곱이 x가 되는지 묻기 때문에 8을 다시 3으로 바꿉니다.

두 곡선은 점선 $y = x$에 대해 서로 대칭입니다. 한 곡선 위의 점 (x, 2^x)은 다른 곡선 위에서 (2^x, x)가 됩니다.

이 장에서는 수열에서 지수함수와 그 모형으로 나아가고, 합성과 역함수를 거쳐 로그, 로그가 푸는 방정식, 그리고 지수 자료를 직선으로 바꾸는 반로그 그래프까지 다룹니다. AP Precalculus의 Unit 2입니다.

2.1 · 등차수열과 등비수열

더하거나, 곱하거나

수열은 입력이 자연수 n인 함수입니다. 등차수열에서는 각 항이 같은 공차 d를 더하고, 등비수열에서는 각 항이 같은 공비 r를 곱합니다.

파란 점은 $a_n = 2 + 3n$, 빨간 점은 $g_n = 2(1.5)^n$입니다. 둘 다 2에서 시작합니다. 등차수열은 매 단계 3씩 오르고, 등비수열은 갈수록 더 많이 올라 n = 6에서는 앞서게 됩니다.

알고 있는 어떤 항이든 시작점으로 삼을 수 있습니다. $a_n = a_k + d(n - k)$, $g_n = g_k\, r^{\,n-k}$. 예. $a_2 = 8$이고 $a_5 = 17$이면 공차는 $d = \frac{17 - 8}{5 - 2} = 3$입니다. $g_1 = 3$이고 $g_4 = 10.125$이면 $r^3 = 3.375$이므로 r = 1.5입니다.

자연수 단계 대신 모든 실수 입력에 대해 같은 두 패턴을 적용하면 일차함수와 지수함수가 됩니다.

2.2 · 일차 변화와 지수 변화

입력이 같은 간격이면 출력은 차가 같거나 비가 같다

길이가 같은 입력 구간에서 일차함수는 같은 차만큼 변하고, 지수함수는 같은 비로 변합니다. 일차 변화는 덧셈적이고 지수 변화는 곱셈적입니다.

구간 [x, x + 1]을 두 곡선을 따라 밀어 보세요. $f(x) = 2 + 3x$에서는 증가량이 항상 3입니다. $g(x) = 2(1.5)^x$에서는 증가량이 커지지만, 두 높이의 비는 항상 1.5입니다.

두 식은 같은 것을 말합니다. $f(x) = b + mx$은 b에서 시작해 단위마다 m을 더하고, $g(x) = a r^x$은 a에서 시작해 단위마다 r를 곱합니다. 등차수열은 자연수에서의 일차함수이고, 등비수열은 자연수에서의 지수함수입니다.

길이가 2인 구간에서 일차함수는 6, 곧 3의 두 배를 더하고, 지수함수는 $1.5^2 = 2.25$을 곱합니다. 두 점이 주어지면 일차 모형은 $f(x) = y_i + m(x - x_i)$, 지수 모형은 $g(x) = y_i\, r^{\,x - x_i}$입니다.

2.3 · 지수함수

a·bˣ, 그리고 b가 정하는 것

지수함수는 처음값 a ≠ 0, 밑 b > 0, b ≠ 1일 때 $f(x) = a b^x$ 꼴입니다. 그래프는 (0, a)를 지납니다.

빨간 곡선은 b가 2에서 1을 지나 $\tfrac{1}{2}$까지 줄었다가 되돌아올 때의 $y = b^x$입니다. a > 0일 때:

• b > 1: 지수적 증가, 항상 증가합니다. $x \to \infty$일 때 $f(x) \to \infty$, $x \to -\infty$일 때 $f(x) \to 0$.
• 0 < b < 1: 지수적 감소, 항상 감소합니다. 끝 거동이 반대가 됩니다.
• 정의역: 모든 실수. 치역: y > 0. 직선 y = 0은 수평 점근선입니다.
• 항상 아래로 볼록하며 극값도 변곡점도 없습니다.

b = 1이면 곡선은 평평한 직선 y = 1이 되므로 1은 밑에서 제외됩니다. a < 0이면 그래프가 축 아래로 뒤집히고 오목성이 반대가 됩니다.

예. $f(x) = 3\left(\tfrac{1}{2}\right)^x$은 3에서 시작해 단위마다 절반이 됩니다. $f(2) = 3 \cdot \tfrac{1}{4} = 0.75$. x가 커질수록 0에 가까워지지만 0에 닿지는 않습니다.

2.4 · 지수식 다루기

이동은 곧 늘리기

지수법칙을 쓰면 지수함수를 같은 값의 여러 꼴로 고쳐 쓸 수 있고, 꼴마다 그래프의 다른 면이 드러납니다.

곱의 법칙에 따라 $2^{x+k} = 2^k \cdot 2^x$입니다. 그래서 $y = 2^x$를 왼쪽으로 k만큼 옮긴 곡선(파랑)은 세로로 $2^k$배 늘린 곡선(빨강)과 완전히 같습니다. 그림은 k를 0에서 2까지 움직입니다. 점 (1, 2)은 (1 − k, 2)으로 왼쪽으로 미끄러지고 (1, $2^{1+k}$)까지 올라가며, 둘 다 빨간 곡선 위에 놓입니다.

지수함수의 가로 평행이동은 언제나 세로 확대입니다. 다른 법칙에서는 더 많은 것이 나옵니다. $\left(\tfrac{1}{2}\right)^x = 2^{-x}$은 $2^x$을 y축에 대해 대칭이동한 것이고, $8^{x/3} = (8^{1/3})^x = 2^x$입니다. 모든 지수함수는 1이 아닌 어떤 양수 밑으로도 쓸 수 있으며, 자연상수 e ≈ 2.7183을 밑으로 할 수도 있습니다.

2.5 · 지수 모델

일정한 비율의 변화

지수 모형은 같은 시간 동안 같은 비율로 변하는 양에 알맞습니다. 개체 수, 투자금, 방사성 시료가 그 예입니다.

탄소-14의 반감기는 5,730년입니다. 5,730년마다 남은 양의 절반이 붕괴합니다. t를 연 단위로 하면 남은 비율(%)은 다음과 같습니다.

단위당으로 고쳐 쓰면 연간 배율은 $\left(\tfrac{1}{2}\right)^{1/5730} \approx 0.999879$입니다. 30%가 남은 시료는 약 9,953년 된 것으로, 반감기의 한 배와 두 배 사이입니다(t를 구하는 방법은 2.13에 나옵니다).

상황에 따라 다른 꼴이 나옵니다.

• 퍼센트 변화율 r: $f(t) = a(1 + r)^t$(증가) 또는 $a(1 - r)^t$(감소).
• 연 n번 복리: $1,000를 월 6%로 10년 맡기면 $1000\left(1 + \tfrac{0.06}{12}\right)^{120} \approx 1819.40$이고, 연속 복리로는 $1000e^{0.06(10)} \approx 1822.12$입니다.
• 두 점이 모형 $y = y_i\, b^{\,x - x_i}$을 정합니다. 1,200명인 가상의 마을이 4년 만에 1,500명이 되면 $b = \left(\tfrac{1500}{1200}\right)^{1/4} \approx 1.0574$이며, 연 5.74% 증가입니다.
• 자료: 계산기의 지수 회귀는 산점도에 가장 잘 맞는 a와 b를 찾아 줍니다.

모형은 가정만큼만 좋습니다. 자료 범위를 벗어나거나 먹이, 공간 같은 현실의 한계에 이르면 더 이상 맞지 않을 수 있습니다.

2.6 · 모형 고르기: 잔차

모형이 놓친 것

잔차는 실제값에서 모형의 예측값을 뺀 값입니다. 잔차그림에 패턴이 없으면 그 모형이 알맞습니다.

개수는 가상의 값으로, 세균 배양액을 매시간 센 것입니다. 여기에 최소제곱직선 $\hat y = -62.18 + 123.11x$(파랑)과 지수함수 $\hat y = 50.39(1.596)^x$(빨강), 두 모형을 맞춥니다.

직선의 잔차는 양, 음, 다시 양으로 이어지며 U자 모양을 이룹니다. 직선이 따라가지 못하는 곡선성의 신호입니다. 지수함수의 잔차는 0 위아래로 패턴 없이 흩어지므로 지수 모형이 더 알맞습니다.

부호는 그대로 읽습니다. 잔차가 양이면 모형이 그 지점에서 과소평가한 것이고, 음이면 과대평가한 것입니다. 3시간째에 직선은 307을 예측했지만 실제는 202이어서 105만큼 과대평가했습니다.

2.7 · 함수의 합성

한 함수의 출력이 다음 함수의 입력

$(f \circ g)(x)$로도 쓰는 합성 $f(g(x))$은 먼저 g를, 그 결과에 f를 적용합니다.

여기서 $g(x) = x - 1$이고 $f(x) = 2^x$입니다. 점을 따라 내려가 보세요. 맨 위 줄은 x, 다음은 g(x), 즉 1 작은 값, 그다음은 2의 그 거듭제곱입니다.

따라서 $f(g(x)) = 2^{x-1}$입니다. 순서를 바꾸면 다른 함수가 됩니다. $g(f(x)) = 2^x - 1$이고 $g(f(3)) = 7$이며 4이 아닙니다. 일반적으로 $f(g(x)) \ne g(f(x))$입니다.

• $f(g(x))$의 정의역은 g의 입력 중 출력이 f의 정의역에 들어가는 것들입니다.
• 항등함수 $I(x) = x$은 아무것도 바꾸지 않습니다. $f(I(x)) = I(f(x)) = f(x)$.
• 변환은 합성입니다. $f(x - 1)$은 f와 입력에 대한 덧셈 이동을 합성한 것이고, $3f(x)$은 f 뒤에 3배를 합성한 것입니다.
• 함수를 분해하면 합성할 조각을 찾을 수 있습니다. $h(x) = (x^2 + 1)^3$은 $g(x) = x^2 + 1$와 $f(x) = x^3$을 쓴 $f(g(x))$입니다.

합성은 표나 그래프에서도 읽을 수 있습니다. g(x)를 구한 다음, 그 값을 f의 입력으로 찾아보면 됩니다.

2.8 · 역함수

함수를 되돌리기

함수의 역함수 $f^{-1}$은 그 함수를 되돌립니다. $f(a) = b$이면 $f^{-1}(b) = a$이고, $f^{-1}(f(x)) = f(f^{-1}(x)) = x$입니다.

입력과 출력을 바꾸면 그래프가 $y = x$에 대해 대칭이동합니다. f 위의 점 (a, b)는 $f^{-1}$ 위의 (b, a)가 됩니다. f의 정의역은 $f^{-1}$의 치역이 되고, 치역은 정의역이 됩니다.

역함수는 f가 일대일일 때, 곧 각 출력이 단 하나의 입력에서 나올 때만 존재합니다. 파란 직선 $y = c$은 포물선 $y = x^2$ 전체와 $x = \pm\sqrt{c}$에서 두 번 만나므로 $x^2$은 모든 실수에서 역함수가 없습니다. 정의역을 제한해 x ≥ 0만 남기면 일대일인 절반이 되고, 그 위에서 역함수는 $f^{-1}(x) = \sqrt{x}$(빨강)입니다.

역함수 구하기. $y = 3x - 4$로 놓고 x와 y를 바꾼 다음 y에 대해 풉니다.

확인: $f(3) = 5$이고 $f^{-1}(5) = \frac{5 + 4}{3} = 3$입니다. 역함수는 f가 한 일을 거꾸로 한 단계씩 되돌립니다. 4을 더한 다음 3으로 나눕니다.

2.9 · 로그식

묻는 것은 지수

로그 $\log_b c$는 b > 0, b ≠ 1, c > 0일 때 밑 b를 c로 만드는 지수 a입니다.

두 밑에는 따로 이름이 있습니다. 밑이 10인 $\log x$는 상용로그, 밑이 e인 $\ln x$는 자연로그입니다. 항상 $\log_b 1 = 0$이고 $\log_b b = 1$입니다.

그림은 값 $c = 10^u$을 로그 눈금(빨강) 위에, 그 지수 $u = \log_{10} c$(파랑) 아래에 놓았습니다. 눈금에서 길이가 같으면 비가 같습니다. 1에서 10, 10에서 100, 100에서 1000은 거리가 같습니다. 이 때문에 로그 눈금에서는 크기가 매우 다른 값을 한 줄에 놓을 수 있습니다.

어림은 이웃한 거듭제곱에서 나옵니다. 50은 10과 100 사이이므로 $\log_{10} 50$는 1과 2 사이이고, 실제로는 1.699입니다.

2.10 · 지수함수의 역함수

로그는 bˣ를 되돌린다

$f(x) = b^x$는 일대일이므로 역함수가 있고, 그 역함수가 로그 $f^{-1}(x) = \log_b x$입니다.

$y = 2^x$ 표의 모든 열을 서로 바꾸면 $y = \log_2 x$ 표가 됩니다. 그림의 빨간 점이 바로 그렇게 합니다. 각 (x, 2^x)이 $y = x$를 건너 (2^x, x)로 날아갑니다.

그래서 두 함수는 서로의 특징을 맞바꿉니다. $b^x$는 정의역이 모든 실수, 치역이 y > 0이고 수평 점근선이 y = 0입니다. $\log_b x$는 정의역이 x > 0, 치역이 모든 실수이고 수직 점근선이 x = 0입니다. 각각이 다른 하나를 되돌립니다.

밑이 e일 때 $e^x$와 $\ln x$는 서로 역함수입니다. $\ln e^{3} = 3$이고 $e^{\ln 50} = 50$입니다.

2.11 · 로그함수

입력은 곱하고, 출력은 더한다

로그함수는 a ≠ 0, b > 0, b ≠ 1일 때 $f(x) = a \log_b x$ 꼴입니다. 곱셈적 변화를 덧셈적 변화로 바꿉니다.

$y = \log_2 x$에서는 입력이 두 배가 될 때마다 출력이 1씩 늘어납니다. 파란 계단은 (1, 0)에서 (2, 1), (4, 2), (8, 3), (16, 4)로 이어집니다. 비가 같은 입력 구간에서 출력은 같은 차만큼 변합니다. 지수함수와 정확히 반대입니다.

a > 0이고 b > 1일 때:

• 정의역은 x > 0, 치역은 모든 실수이며 x절편은 (1, 0)입니다.
• y축은 수직 점근선입니다. $x \to 0^+$일 때 $\log_b x \to -\infty$.
• 항상 증가하고 항상 위로 볼록합니다. $x \to \infty$일 때 $\log_b x \to \infty$이지만, x의 어떤 양의 거듭제곱보다도 더 느리게 커집니다.
• 극값도 변곡점도 없습니다. 0 < b < 1이면 항상 감소합니다(그리고 아래로 볼록합니다).

느리다는 것이 이 함수의 특징입니다. 입력이 두 배가 될 때마다 출력이 1 올라가므로 $\log_2 x$은 x = 1024에서야 10에 이릅니다.

2.12 · 로그식 다루기

늘리기는 곧 이동

로그는 지수이기 때문에 지수법칙마다 짝이 되는 로그법칙이 있습니다.

곱의 법칙에 따라 $\log_2(kx) = \log_2 k + \log_2 x$입니다. $y = \log_2 x$를 y축 쪽으로 1/k배 좁힌 곡선(파랑)은 $\log_2 k$만큼 들어 올린 곡선(빨강)과 같습니다. k가 1에서 4까지 움직이면 점 (2, 1)은 (2/k, 1)로 안쪽으로, 또 (2, 1 + $\log_2 k$)로 위쪽으로 움직여 둘 다 빨간 곡선 위에 놓입니다.

그러므로 로그의 가로 확대는 세로 평행이동이며, 2.4의 짝입니다. 거듭제곱 법칙에 따라 $\log_b x^n$은 n배의 세로 확대이고, $\log_b \tfrac{1}{x} = -\log_b x$은 x축에 대한 대칭이동입니다.

예. $\log_2 40 = \log_2 8 + \log_2 5 \approx 3 + 2.3219 = 5.3219$, $\log_2 24 - \log_2 3 = \log_2 8 = 3$, 그리고 밑의 변환으로 $\log_3 20 = \dfrac{\ln 20}{\ln 3} \approx 2.7268$. 모든 로그함수는 $\ln x$의 상수배입니다.

2.13 · 지수·로그 방정식과 부등식

되돌리고, 확인하기

지수방정식을 풀려면 거듭제곱을 따로 떼어 로그를 취하고, 로그방정식을 풀려면 로그를 따로 떼어 지수로 올립니다. 역함수가 함수를 되돌립니다.

그림은 모든 수준 c에 대해 한꺼번에 $3 \cdot 2^x = c$을 풉니다. 곡선이 파란 직선과 만나는 곳은 $x = \log_2 \tfrac{c}{3}$입니다. $c = 24$에서:

부등식 $3 \cdot 2^x > 24$은 방향만 알면 됩니다. $2^x$은 증가함수이므로 x > 3에서 성립하며, 축에서 빨간 구간입니다. 감소함수(밑이 0과 1 사이)는 부등호의 방향을 뒤집습니다.

밑이 e일 때. $5e^{0.2t} = 20$에서 $e^{0.2t} = 4$이므로 $t = \frac{\ln 4}{0.2} \approx 6.931$입니다.

로그방정식. $\log_2 x + \log_2(x - 2) = 3$을 정리하면 $\log_2\big(x(x - 2)\big) = 3$이므로 $x^2 - 2x = 8$이고 x = 4 또는 x = −2입니다. 그런데 −2는 $\log_2 x$의 정의역 밖에 있어 무연근입니다. 해는 x = 4뿐입니다. 해는 항상 처음 방정식에 넣어 확인하세요.

같은 단계로 역함수도 구합니다. $y = 3 \cdot 2^x$의 역함수는 $f^{-1}(x) = \log_2 \tfrac{x}{3}$입니다.

2.14 · 로그 모형

처음엔 빠르게 늘다가 느려진다

로그 모형 $y = a + b\ln x$은 처음에는 빠르게 늘다가 점점 더 느리게 느는 양, 또는 입력의 비가 같을 때 출력의 차가 같은 양에 알맞습니다.

자료는 가상의 값입니다. 한 타자수의 분당 타수를 연습 한 주가 지날 때마다 잰 것입니다. 로그 회귀를 하면 다음을 얻습니다.

주 수가 두 배가 될 때마다 분당 $14.70 \ln 2 \approx 10.19$타가 늘어납니다. 1주에서 2주 사이의 증가는 4주에서 8주 사이의 증가와 같습니다. 10주째의 예측값은 $\hat y \approx 54.4$이며, 자료 범위 밖으로 나간 외삽이므로 덜 믿어야 합니다.

값이 10의 여러 거듭제곱에 걸쳐 있기 때문에 실제의 많은 양을 로그 눈금으로 잽니다.

• 데시벨로 나타낸 소리의 크기: $L = 10 \log_{10} \tfrac{I}{I_0}$. 세기가 두 배가 되면 $10\log_{10} 2 \approx 3.01$ dB이 늘고, 10배가 되면 10 dB이 늘어납니다.
• 산성도: $\text{pH} = -\log_{10}[\text{H}^+]$. $[\text{H}^+] = 10^{-3}$인 용액은 pH가 3이고, 농도가 10배가 되면 pH가 1 내려갑니다.

로그 모형과 지수 모형은 서로 역입니다. y가 x에 따라 지수적으로 늘면 x는 y에 따라 로그적으로 늘어납니다.

2.15 · 반로그 그래프

지수 자료를 직선으로 펴기

반로그 그래프는 x축은 일차 눈금으로 두고 y를 로그 눈금에 놓습니다. 이 그래프에서 지수 자료는 직선 위에 놓입니다.

지수 모형 $y = a b^x$에 로그를 취합니다.

이것은 $\log_{10} y$에서의 직선이며 기울기는 $\log_{10} b$, 세로 절편은 $\log_{10} a$입니다. 1보다 큰 어떤 밑 n을 써도 마찬가지입니다.

2.6의 세균 개수(가상의 값)는 보통 방안지에서는 위로 휘지만 반로그 방안지에서는 한 줄로 늘어섭니다. 최적 직선은 $\log_{10}\hat y = 1.7023 + 0.2030x$이므로

모형은 $\hat y = 50.39(1.596)^x$이며, 매시간 세균이 약 60%씩 늘어납니다.

반로그 그래프는 도구이면서 검사이기도 합니다. 한 줄로 늘어서는 자료는 지수적이고, 여전히 휘는 자료는 그렇지 않아 다른 모형이 필요합니다.