多項式関数と有理関数 · AP Precalculus

第1章 · 多項式関数と有理関数

入力に応じて出力がどう変わるか

関数は、すべての入力に1つの出力を対応させます。プレカルキュラスでは、入力が変わるとき出力がどう変化するかを調べます。どこで増減するか、どれだけ速いか、はるか遠くで何が起こるか、です。

グラフは3次関数 $p(x) = \tfrac{1}{2}(x + 2)(x - 1)(x - 3)$ です。因数から零点 −2, 1, 3 がわかります。そこでグラフは x 軸と交わります。赤い割線が曲線に沿って動きます。その傾きが、区間での平均変化率です。[0, 2] では：

\frac{p(2) - p(0)}{2 - 0} = \frac{-2 - 3}{2} = -2.5

この章は AP Precalculus の Unit 1 で、試験で最も大きな単元です（約 30–40%）。多項式関数（x のべきの和）と有理関数（多項式を多項式で割ったもの）を扱う道具をつくります。変化率、零点、端での振る舞い、漸近線と穴、変換、そして最後に、実際のデータをモデル化する関数を選んでつくることです。

1.1 · 連動する変化

入力と出力が、ともに変わる

関数 f は、入力 x を1つの出力 f(x) に送ります。入力が変わると、出力もそれにつれて連動して変わります。グラフは両方を同時に見せます。入力は x 軸に沿って、出力は高さとして表されます。

x が動くのにつれて、 $f(x) = x^3 - 3x$ 上の点を追ってみましょう。灰色の補助線が、入力を x 軸へ、出力を y 軸へ運びます。

x	−2	−1	0	1	2
f(x)	−2	2	0	−2	2

ある区間で入力が増えるにつれて出力がつねに増えるとき、f はその区間で増加しているといいます。区間内のすべての a < b について f(a) < f(b) が成り立つことです。出力がつねに減るなら減少しています。ここでは f は x < -1 で増加（赤）し、-1 と 1 のあいだで減少（青）し、1 より後でまた増加します。

出力は、グラフが x 軸の上にあるところで正、下にあるところで負です。零点、つまり f(x) = 0 となる入力で符号が変わります。ここでは 0 と ±√3 ≈ ±1.73 です。

身近な場面でも同じ言葉が使えます。花びんに一定の速さで水を注ぐと、水の深さは増えますが、細いところでは速く、太いところではゆっくり増えます。体積に対する深さのグラフは、2つの量がいっしょにどう変わるかを描いた絵です。

1.2 · 変化率

割線の傾きと、1点での傾き

[a, b] での f の平均変化率は、入力の変化に対する出力の変化の比で、(a, f(a)) から (b, f(b)) への割線の傾きです。

\frac{f(b) - f(a)}{b - a}

1点での変化率は、その点のまわりのどんどん小さくなる区間での平均変化率で近似できます。x = 2 での $f(x) = \tfrac{1}{2}x^2$ について、[2 − h, 2]（青）と [2, 2 + h]（赤）での割線を考えます：

h	1	0.5	0.1	0.01
left	1.5	1.75	1.95	1.995
right	2.5	2.25	2.05	2.005

2つの列は、両側から 2 に迫ります。x = 2 での変化率は 2 で、破線の接線の傾きです。x = 1 でも同じ計算をすると 1 になります。

2つを比べると、2 での変化率は 1 での変化率より大きいので、x が大きくなるにつれてグラフは急になります。覚えておきたい関係が2つあります。

変化率が正なら、そこで f は増加しています。負なら減少しています。
変化率が増加しているところでは、グラフは下に凸（このグラフのように上向きに曲がる）です。変化率が減少しているところでは、上に凸です。

1.3 · 1次関数と2次関数の変化率

一定の変化と、一定の割合で変わる変化

入力を等しい幅ずつ動かして、出力を見ましょう。変化のパターンから、1次関数と2次関数を見分けられます。

x	0	1	2	3	4
2x + 1	1	3	5	7	9
change	+2	+2	+2	+2
x² − 4x + 5	5	2	1	2	5
change	−3	−1	+1	+3
変化の変化	+2	+2	+2

1次：平均変化率はどの区間でも同じで、傾き 2 です。入力の歩みが等しければ、出力の変化も等しくなります。

2次：長さの等しい連続した区間での平均変化率は −3, −1, 1, 3 です。一定ではありませんが、1歩あたり 2 という一定の割合で変わります。 $ax^2 + bx + c$ で歩みが1のとき、その一定の値は 2a です。

変化率から頂点の位置もわかります。変化率は x = 2 まで負（関数は減少）で、それ以降は正（増加）なので、最小値は x = 2 にあります。変化率が増えているので放物線は下に凸です。a < 0 なら変化率は減少し、上に凸になります。

1.4 · 多項式関数と変化率

折り返し点、変曲点、全体での最大・最小

多項式関数は $p(x) = a_n x^n + a_{n-1}x^{n-1} + \dots + a_1 x + a_0$ で、係数は実数、a_n ≠ 0 です。その次数は n、a_n は最高次の係数です。0 でない定数は次数 0 の多項式です。

グラフは $p(x) = \tfrac{1}{4}x^4 - 2x^2 + 1$ です。赤い線は曲線の傾き、つまり変化率に合わせて動きます：

極大は、変化率が正から負に変わるところ：(0, 1)。
極小は、負から正に変わるところ：(−2, −3) と (2, −3)。
変曲点は、変化率が増加から減少へ、またはその逆に変わるところで、凹凸が変わります：x = ±2/√3 ≈ ±1.15 です。

関数がとる最も小さい値 −3 が最小値（全体での最小）です。偶数次の多項式には、必ず最大値か最小値のどちらかがあります（ここのように a_n > 0 なら最小値）。奇数次の多項式にはどちらもありません。出力が ∞ と −∞ の両方へ伸びるからです。

零点は ±(√3 − 1) ≈ ±0.73 と ±(√3 + 1) ≈ ±2.73 です。定数でない多項式の相異なる2つの実数の零点のあいだには、必ず極大か極小があります。ここでは −2 に極小、0 に極大、2 に極小があります。

1.5 · 多項式関数と複素数の零点

次数 n なら n 個の零点（重複度を数えて）

次数 n の多項式には、重複度を数えてちょうど n 個の複素数の零点があります。実数のものも、そうでないものもあります。

次数が 2 + 1 + 2 = 5 の $p(x) = \tfrac{1}{10}(x + 2)^2(x - 1)(x^2 + 1)$ を考えます。その零点は：

zero	multiplicity	グラフ上
−2	2	x 軸に触れるが、横切らない
1	1	x 軸を横切る
i, −i	各1	x 切片なし：実数ではない

a が p の零点であることと、(x − a) が p(x) の因数であることは同値です。a が実数なら、(a, 0) は x 切片です。
(x − a) が k 回現れるとき、a の重複度は k です。重複度が偶数の実数の零点では、グラフは軸に触れて戻ります。奇数なら軸を横切ります。
係数が実数のとき、実数でない零点は共役な組で現れます。a + bi が零点なら、a − bi も零点です。

図は最後の因数を $x^2 + q$ に取り替えて、q を動かします。q < 0 のとき零点 ±√(−q) は実数で、2つの赤い x 切片になります。q = 0 で重なり、そのあと2つそろって実軸を離れ、虚軸の上と下へ ±i√q として動きます。次数も、零点の個数も、変わりません。

偶関数と奇関数。すべての x について f(−x) = f(x) なら f は偶関数（y 軸に関して対称）で、1.4 の $\tfrac{1}{4}x^4 - 2x^2 + 1$ がそうです。f(−x) = −f(x) なら奇関数（原点に関して対称）で、1.1 の $x^3 - 3x$ がそうです。偶数次の項だけの多項式は偶関数、奇数次の項だけなら奇関数です。

1.6 · 多項式関数と端での振る舞い

はるか遠くでは、最高次の項がすべてを決める

関数の端での振る舞いとは、x → ∞ と x → −∞ のときの出力の動きです。多項式では、最高次の項だけで決まります。

赤い曲線は $p(x) = -x^3 + 3x^2 + x - 3 = -(x + 1)(x - 1)(x - 3)$ です。それを囲む表示範囲は、12 倍の大きさまで広がって元に戻ります。軸の数字を見てください。縮小して見ると、零点は原点に集まり、波打ちは消えて、曲線は最高次の項 $-x^3$ （青）に重なります。x = 48 では、p(x) は −x³ の 0.937 倍です。

\begin{aligned} \lim_{x\to\infty} p(x) &= -\infty \\ \lim_{x\to -\infty} p(x) &= \infty \end{aligned}

	a_n > 0	a_n < 0
n が偶数	両端とも上向き	両端とも下向き
n が奇数	左は下向き、右は上向き	左は上向き、右は下向き

理由は、 $p(x) = -x^3\left(1 - \tfrac{3}{x} - \tfrac{1}{x^2} + \tfrac{3}{x^3}\right)$ で、|x| が大きくなるにつれて、かっこの中の 1 より後の項はすべて 0 に縮むからです。極限の記法は、「x が限りなく増えるとき、p(x) は限りなく減る」と読みます。

1.7 · 有理関数と端での振る舞い

最高次の項の比

有理関数は多項式の比 $r(x) = \dfrac{p(x)}{q(x)}$ で、q は 0 でない多項式です。はるか遠くでは、どちらの多項式も最高次の項のように振る舞うので、r は2つの最高次の項の比のように振る舞います。

degrees	水平漸近線	はるか遠く
分子 < 分母	y = 0	3x/(x² + 1) ≈ 3/x → 0
分子 = 分母	y = 最高次の係数の比	(2x² − 1)/(x² + 2) ≈ 2x²/x² = 2
分子 > 分母	なし；多項式のように振る舞う	(x² + x + 1)/(x − 1) ≈ x²/x = x

どのシートでも、赤と青の点が −∞ と ∞ に向かって走り、赤い破線に沿って落ち着きます。次数が等しいとき、 $r(100) = 1.9995$ ：2 に近づきますが、下からは決して 2 に届きません。

\lim_{x\to\pm\infty} \frac{2x^2 - 1}{x^2 + 2} = 2

分子の次数が分母の次数よりちょうど1大きいとき、グラフは斜め漸近線、つまり割り算（1.11）で求まる直線 y = mx + b に近づきます。ここでは y = x + 2 です。グラフは水平漸近線や斜め漸近線を横切ることがあります。漸近線が表すのは両端の様子だけです。

1.8 · 有理関数と零点

分子が 0 で、分母が 0 でないところ

$r(x) = \dfrac{p(x)}{q(x)}$ の実数の零点とは、分子 p の実数の零点のうち r の定義域に入るもの、つまり p が 0 で q が 0 でない入力です。

$r(x) = \dfrac{(x + 2)(x - 1)}{(x + 1)(x - 3)}$ の零点は −2 and 1 です。入力 −1 and 3 は定義域に入りません。そこでは分母が 0 になり、グラフには垂直漸近線があります（1.9）。

出力の符号が変われるのは、零点か、r が定義されないところだけです。そこで、この4つの入力が数直線を区間に切り分け、各区間で1つ試しの入力を選べば、その区間全体の符号がわかります：

interval	x < −2	−2 < x < −1	−1 < x < 1	1 < x < 3	x > 3
試しの x	−3	−1.5	0	2	4
r(x)	0.33	−0.56	0.67	−1.33	3.6
sign	+	−	+	−	+

これで不等式が解けます。 $r(x) \ge 0$ となるのは、グラフが軸上か軸より上にある赤い部分で、x ≤ −2、または −1 < x ≤ 1、または x > 3 です。零点は含まれ（そこでは r = 0）、漸近線は決して含まれません。

分子の零点が分母の零点でもあるとき、それは r の零点ではありません。穴か漸近線になります（1.10）。

1.9 · 有理関数と垂直漸近線

分母が 0 で、そのままのところ

a が分母の実数の零点で分子の零点ではないとき、または分母の零点で重複度が分子より高いとき、直線 x = a は r の垂直漸近線です。その近くで出力は限りなく大きくなります。

$r(x) = \dfrac{4}{(x + 1)(x - 2)^2}$ では、分母は −1 and 2 で 0 になり、分子は決して 0 になりません：

x	−1.01	−0.99	1.99	2.01
r(x)	−44	45	13378	13289

\begin{aligned} \lim_{x\to -1^-} r(x) &= -\infty \\ \lim_{x\to -1^+} r(x) &= \infty \\ \lim_{x\to 2^\pm} r(x) &= \infty \end{aligned}

両側の符号は因数からわかります。x = −1 の近くでは因数 x + 1 の符号が変わるので、両側は反対向きに行きます。x = 2 の近くでは因数が2乗で両側とも正なので、両側とも上に向かいます。重複度が奇数なら反対向き、偶数なら同じ向きです。

$\lim_{x\to a^+}$ は x が a より大きい値を通って右から a に近づくことを意味します。 $\lim_{x\to a^-}$ は左から近づくことです。

1.10 · 有理関数と穴

約分される因数

a が分子と分母の両方の零点で、分子の重複度が分母の重複度以上のとき、グラフは x = a に穴をもちます。1点だけが抜けています。

\begin{aligned} r(x) &= \frac{x^2 + x - 6}{x^2 - x - 2} \\ &= \frac{(x - 2)(x + 3)}{(x - 2)(x + 1)} \\ &= \frac{x + 3}{x + 1}, \quad x \ne 2 \end{aligned}

因数 x − 2 は分子と分母に1回ずつあるので約分され、x = 2 は穴です。その高さは、約分した式がそこで与える値で、両側から近づく極限でもあります：

\lim_{x\to 2} r(x) = \frac{2 + 3}{2 + 1} = \frac{5}{3}

因数 x + 1 は約分されないので、x = -1 は垂直漸近線です。x + 3 が分子に残るので、x = -3 が唯一の零点です。2 は分子を 0 にしますが、零点ではないことに注意しましょう。

分母の重複度のほうが高いと、約分しても分母に因数が残り、結果は穴ではなく漸近線になります： $\dfrac{x - 2}{(x - 2)^2} = \dfrac{1}{x - 2}$ は x = 2 に垂直漸近線をもちます。

1.11 · 多項式と有理式の同値な表現

因数分解、標準形、割り算、展開

同じ関数も、いくつかの書き方ができます。それぞれの形が、ほかの形では隠れていることを見せてくれます。

標準形 $x^3 - 2x^2 - 5x + 6$ は、最高次の項（端での振る舞い）と y 切片 6 を示します。
因数分解した形 $(x + 2)(x - 1)(x - 3)$ は、零点を示し、有理関数では漸近線と穴も示します。

多項式の割り算（筆算）は、有理関数を多項式と余りの分数の和に書き直します。 $x^2 + x + 1$ を $x - 1$ で割ります。x(x − 1) が x² − x を取り去って 2x + 1 が残り、2(x − 1) が 2x − 2 を取り去って 3 が残ります。

\begin{gathered} x^2 + x + 1 = (x - 1)(x + 2) + 3 \\ \frac{x^2 + x + 1}{x - 1} = x + 2 + \frac{3}{x - 1} \end{gathered}

|x| が大きくなるにつれて余りの項（青いすきま）は 0 に縮むので、商 y = x + 2 が斜め漸近線です。一般に、p = q·s + t ならば p/q = s + t/q です。余りが 0 なら、割る式は因数です。

二項定理は、パスカルの三角形の第 n 行の数（それぞれ上の2つの数の和）を使って $(a + b)^n$ を展開します：

(a + b)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} a^{n-k} b^k

第 3 行は 1, 3, 3, 1 なので、 $(x + 2)^3 = x^3 + 3x^2(2) + 3x(2)^2 + 2^3 = x^3 + 6x^2 + 12x + 8$ です。

1.12 · 関数の変換

平行移動、拡大縮小、折り返し

もとになる関数 f のグラフを移動したり伸ばしたりして、新しい関数をつくれます。赤いグラフは $g(x) = a\,f\big(b(x - h)\big) + k$ で、[−2, 2] の灰色の $f(x) = x^3 - 3x$ からつくります。図は h、k、a、b を1つずつ変えます。

form	f のグラフは
f(x) + k	縦方向に k だけ平行移動（k > 0 なら上へ）
f(x − h)	横方向に h だけ平行移動（h > 0 なら右へ）。f(x + h) は左へ動かす
a·f(x)	縦方向に \|a\| 倍に拡大。a < 0 なら x 軸に関して折り返す
f(bx)	横方向に 1/\|b\| 倍に拡大。b < 0 なら y 軸に関して折り返す

足し算による変化は平行移動、掛け算による変化は拡大縮小です。f の外側の変化は出力に作用し、見た目どおりに動きます。内側の変化は入力に作用し、逆に動きます。x − 1.5 は右へ動かし、b = 2 はグラフの幅を半分に縮めます。

定義域と値域もグラフとともに動きます。図の最後では、h = 1.5、k = 1、a = 1.5、b = 2 です：

g(x) = 1.5\,f\big(2(x - 1.5)\big) + 1

定義域 [−2, 2] は 1/2 に縮められ、1.5 だけずれて [0.5, 2.5] になります。値域 [−2, 2] は 1.5 倍に伸ばされ、上へ 1 ずれて [−2, 4] になります。軸上の青い帯が両方を示しています。

1.13 · 関数モデルの選択と前提の明示

どの種類の関数が合うか、どの定義域で

データをモデル化するには、変化のパターンがデータと一致する種類の関数を選び、そのうえでモデルが意味をもつ前提と定義域を述べます。

ボールを真上に投げ上げ、1秒ごとに高さを測ります（架空のデータ）：

t (s)	0	1	2	3	4
h (m)	1	16	21	16	1
change	15	5	−5	−15
変化の変化	−10	−10	−10

1階の差は一定ではないので、1次のモデルは誤りです。最初の2点を通る破線は、t = 4 で 61 m と予測しますが、測定値は 1 m です。2階の差は一定で −10 なので、2次関数がぴったり合います：

h(t) = -5t^2 + 20t + 1

1次：変化率がほぼ一定。
2次：変化率がほぼ一定の割合で変わる、またはデータが上がってから下がり、1つの極値に関してほぼ対称。
3次以上：折り返しがもっと多い、または変化率そのものの変化率が変わる。
区分的：入力の区間ごとにパターンが違う。
有理：反比例する量、またはある値に近づいて落ち着く量。

前提。このモデルは空気抵抗を無視し、ボールが空中にあるあいだ、つまり投げた時から h(t) = 0 になるまでの 0 ≤ t ≤ 4.05 でのみ成り立ちます。この定義域の外では、出力（負の高さ）は意味をもちません。

1.14 · 関数モデルの構成と応用

状況から関数へ、そして状況へ戻る

モデルをつくるとは、入力に名前をつけ、状況の図形やルールから出力を入力で表し、状況が許す定義域を見つけることです。そのうえで、モデルが問いに答えてくれます。

12 × 8 インチの紙の四隅から x × x の正方形を切り取り、側面を折り上げます。箱の深さは x、長さは 12 − 2x、幅は 8 − 2x です：

\begin{gathered} V(x) = x(12 - 2x)(8 - 2x) \\ 0 < x < 4 \end{gathered}

定義域は状況から決まります。切り取りの大きさは正でなければならず、8 インチの辺は x = 4 でなくなります。3次関数のそれ以外の振る舞い（その先の負の体積）は、モデルの外です。

最大の箱：グラフ（または電卓）から、最大は x ≈ 1.57 in、V ≈ 67.6 in³ にあります。
60 in³ の箱：V(x) = 60 を解きます。解の1つは正確に x = 1：1 · 10 · 6 = 60。もう1つは x ≈ 2.21 です。

ほかのモデルも同じようにつくります。次数 n の多項式は、入力がすべて異なる n + 1 個の点を通るように当てはめられます。有理モデルは、1個あたりの平均費用 $C(n) = \dfrac{500 + 3n}{n}$ ドルのような比に向いていて、その水平漸近線 3 は、固定費の $500 が薄まったあとの1個あたりの費用です。答えは必ず状況の単位で述べ、状況の限界に照らして確かめましょう。