指数関数と対数関数 · AP Precalculus

第2章 · 指数関数と対数関数

掛け算で増えていく

量の中には、一歩ごとに同じ数を足して増えるものがあります。一方、同じ倍率を掛けて増えるものもあります。後者は最初はゆっくりですが、やがてどんな直線も追い抜きます。

青い曲線は $y = 2^x$ です。右へ1進むごとに高さが2倍になり、x = −2 での 0.25 から x = 3 での 8 まで増えます。赤い曲線はそれを元に戻します。 $y = \log_2 x$ は「2の何乗が x になるか」を問うので、8 を 3 に戻します。

2^3 = 8 \iff \log_2 8 = 3

2つの曲線は破線 $y = x$ に関して互いの鏡像です。一方の点 (x, 2^x) は、もう一方では (2^x, x) になります。

この章では、数列から指数関数とそのモデルへ進み、合成関数と逆関数を経て、対数、それが解く方程式、そして指数的なデータを直線にする片対数グラフまでを扱います。AP Precalculus の Unit 2 にあたります。

2.1 · 等差数列と等比数列

足すか、掛けるか

数列とは、入力が整数 n である関数です。等差数列では各項が同じ公差 d ずつ増え、等比数列では各項が同じ公比 r ずつ掛けられていきます。

a_n = a_0 + dn \qquad\qquad g_n = g_0\, r^n

青い点は $a_n = 2 + 3n$ 、赤い点は $g_n = 2(1.5)^n$ です。どちらも 2 から始まります。等差数列は一歩ごとに 3 ずつ上がり、等比数列は一歩ごとに上がり幅が大きくなって、n = 6 で追い抜きます。

n	0	1	2	3	4	5	6
a_n	2	5	8	11	14	17	20
g_n	2	3	4.5	6.75	10.13	15.19	22.78

わかっている項なら、どれでも出発点にできます： $a_n = a_k + d(n - k)$ と $g_n = g_k\, r^{\,n-k}$ 。例。 $a_2 = 8$ かつ $a_5 = 17$ なら、公差は $d = \frac{17 - 8}{5 - 2} = 3$ です。 $g_1 = 3$ かつ $g_4 = 10.125$ なら $r^3 = 3.375$ なので、r = 1.5 です。

同じ2つのパターンを、整数の歩みではなくすべての実数の入力に広げたものが、1次関数と指数関数です。

2.2 · 線形の変化と指数的な変化

入力が等しく増えると、出力は等しい差か等しい比で変わる

長さの等しい入力区間では、線形関数は等しい差で変化し、指数関数は等しい比で変化します。線形の変化は足し算的、指数的な変化は掛け算的です。

窓 [x, x + 1] を両方の曲線に沿ってスライドさせてみましょう。 $f(x) = 2 + 3x$ では増加量はいつも 3 です。 $g(x) = 2(1.5)^x$ では増加量は大きくなりますが、2つの高さの比はいつも 1.5 です：

\begin{gathered} f(x + 1) - f(x) = 3 \\ \frac{g(x + 1)}{g(x)} = 1.5 \end{gathered}

どの形も同じことを表しています。 $f(x) = b + mx$ は b から始まり、1単位ごとに m を足します。 $g(x) = a r^x$ は a から始まり、1単位ごとに r を掛けます。等差数列は整数上の1次関数、等比数列は整数上の指数関数です。

長さ2の区間では、1次関数は 6（3 の2倍）を足し、指数関数は $1.5^2 = 2.25$ を掛けます。2点が与えられたとき、1次のモデルは $f(x) = y_i + m(x - x_i)$ 、指数のモデルは $g(x) = y_i\, r^{\,x - x_i}$ です。

2.3 · 指数関数

a·bˣ と、b が決めるもの

指数関数は $f(x) = a b^x$ の形をしていて、初期値は a ≠ 0、底は b > 0 かつ b ≠ 1 です。グラフは (0, a) を通ります。

赤い曲線は $y = b^x$ で、b を 2 から 1 を通って $\tfrac{1}{2}$ まで動かし、また戻します。a > 0 のとき：

b > 1：指数的増加で、つねに増加します。 $f(x) \to \infty$ （ $x \to \infty$ のとき）、 $f(x) \to 0$ （ $x \to -\infty$ のとき）。
0 < b < 1：指数的減衰で、つねに減少します。端での振る舞いは逆になります。
定義域：すべての実数。値域：y > 0。直線 y = 0 は水平漸近線です。
つねに下に凸で、極値も変曲点もありません。

b = 1 のとき曲線は平らな直線 y = 1 になるので、1 は底から除かれます。a < 0 ならグラフは軸の下側に反転し、凹凸も逆になります。

例。 $f(x) = 3\left(\tfrac{1}{2}\right)^x$ は 3 から始まり、1単位ごとに半分になります： $f(2) = 3 \cdot \tfrac{1}{4} = 0.75$ 。x が大きくなると 0 に近づきますが、0 には届きません。

2.4 · 指数関数の変形

平行移動は拡大でもある

指数法則を使うと、指数関数を同じ意味の別の形に書き直せます。そして、形ごとにグラフについてわかることが違います。

積	$b^m b^n = b^{m+n}$
累乗	$(b^m)^n = b^{mn}$
負の指数	$b^{-n} = \dfrac{1}{b^n}$
有理数の指数	$b^{1/k} = \sqrt[k]{b}$

積の法則より $2^{x+k} = 2^k \cdot 2^x$ です。つまり、 $y = 2^x$ を左へ k だけ動かした曲線（青）は、縦方向に $2^k$ 倍に拡大した曲線（赤）とまったく同じです。図では k を 0 から 2 まで動かします。点 (1, 2) は左へ (1 − k, 2) まで動き、上へ (1, $2^{1+k}$ ) まで上がって、どちらも赤い曲線に着きます。

2^{x+3} = 2^3 \cdot 2^x = 8 \cdot 2^x

指数関数の水平方向の平行移動は、つねに垂直方向の拡大になります。ほかの法則からもわかることがあります： $\left(\tfrac{1}{2}\right)^x = 2^{-x}$ は $2^x$ を y 軸で折り返したもので、 $8^{x/3} = (8^{1/3})^x = 2^x$ です。指数関数はどれも、1以外の任意の正の数を底にして書けます。自然な底 e ≈ 2.7183 も含まれます。

2.5 · 指数モデル

一定の割合での変化

指数モデルは、同じ時間のあいだに同じ割合で変化する量に当てはまります。個体数、投資、放射性試料などです。

炭素14の半減期は 5,730 年です。5,730 年ごとに、残っている量の半分が崩壊します。t を年として、残っている割合（%）は

C(t) = 100\left(\tfrac{1}{2}\right)^{t/5730}

1単位あたりに書き直すと、年ごとの係数は $\left(\tfrac{1}{2}\right)^{1/5730} \approx 0.999879$ です。30% が残っている試料は約 9,953 年前のもので、半減期1回分と2回分のあいだにあります（t の求め方は 2.13 で扱います）。

場面に応じて、ほかの形も使います。

百分率の変化率 r： $f(t) = a(1 + r)^t$ （増加）または $a(1 - r)^t$ （減少）。
複利（年 n 回）：$1,000 を月利 6% で 10 年預けると $1000\left(1 + \tfrac{0.06}{12}\right)^{120} \approx 1819.40$ 、連続複利なら $1000e^{0.06(10)} \approx 1822.12$ です。
2点でモデル $y = y_i\, b^{\,x - x_i}$ が決まります。人口 1,200 の架空の町が 4 年で 1,500 に達するなら $b = \left(\tfrac{1500}{1200}\right)^{1/4} \approx 1.0574$ で、年 5.74% の増加です。
データ：電卓の指数回帰を使うと、散布図にもっともよく当てはまる a と b が求まります。

モデルの良さは前提しだいです。データの範囲の外では合わなくなったり、食料や空間のような現実の限界に達すると合わなくなったりします。

2.6 · モデルの選び方：残差

モデルが捉えきれなかったもの

残差とは、実際の値からモデルの予測値を引いたものです。残差プロットにパターンが見られないとき、そのモデルは適切です。

\text{residual} = y - \hat y

個数は架空のものです。細菌の培養液を1時間ごとに数えました。これに2つのモデルを当てはめます。最小二乗直線 $\hat y = -62.18 + 123.11x$ （青）と、指数関数 $\hat y = 50.39(1.596)^x$ （赤）です。

hour	0	1	2	3	4	5	6
count	52	77	131	202	322	532	834
直線の残差	114	16	−53	−105	−108	−21	158
指数モデルの残差	2	−3	3	−3	−5	10	1

直線の残差は、正、負、そしてまた正と並び、U字形になります。直線では追えない曲がりのしるしです。指数関数の残差は 0 の上下にパターンなく散らばるので、指数モデルのほうが良い選択です。

符号はそのまま読めます。残差が正なら、そこでモデルは過小評価しており、負なら過大評価しています。3時間目では、直線の予測は 307、実際は 202 で、105 の過大評価です。

2.7 · 関数の合成

ある関数の出力が、次の関数の入力になる

合成関数 $f(g(x))$ （ $(f \circ g)(x)$ とも書きます）は、まず g を、次にその結果に f を適用します。

ここでは $g(x) = x - 1$ 、 $f(x) = 2^x$ です。点をたどって下へ進みましょう。まず上の直線上の x、次に g(x)（1小さい値）、そしてそのべき乗として 2 のその乗です。

x = 3 \;\xrightarrow{\;g\;}\; 2 \;\xrightarrow{\;f\;}\; 2^{2} = 4

したがって $f(g(x)) = 2^{x-1}$ です。順序を逆にすると別の関数になります： $g(f(x)) = 2^x - 1$ 、そして $g(f(3)) = 7$ であって、4 ではありません。一般には $f(g(x)) \ne g(f(x))$ です。

$f(g(x))$ の定義域は、g の入力のうち、出力が f の定義域に入るものです。
恒等関数 $I(x) = x$ は何も変えません： $f(I(x)) = I(f(x)) = f(x)$ 。
変換は合成です。 $f(x - 1)$ は、f に入力の加法的なずらしを合成したもの、 $3f(x)$ は f のあとに 3 倍を合成したものです。
関数を分解すると、合成する部品が見つかります。 $h(x) = (x^2 + 1)^3$ は、 $g(x) = x^2 + 1$ と $f(x) = x^3$ による $f(g(x))$ です。

合成は表やグラフからも読み取れます。g(x) を求め、その値を f の入力として探します。

2.8 · 逆関数

関数を元に戻す

関数の逆関数 $f^{-1}$ は、その関数を逆向きにたどります。 $f(a) = b$ ならば $f^{-1}(b) = a$ で、 $f^{-1}(f(x)) = f(f^{-1}(x)) = x$ です。

入力と出力を入れ替えると、グラフは $y = x$ に関して折り返されます。f 上の点 (a, b) は、 $f^{-1}$ 上の点 (b, a) になります。f の定義域は $f^{-1}$ の値域になり、値域は定義域になります。

逆関数が存在するのは、f が1対1、つまりどの出力もただ1つの入力から出てくるときだけです。青い直線 $y = c$ は放物線 $y = x^2$ 全体と $x = \pm\sqrt{c}$ の2点で交わるので、 $x^2$ はすべての実数上では逆関数をもちません。定義域を制限して x ≥ 0 にすると、1対1になる半分が残り、そこでの逆関数は $f^{-1}(x) = \sqrt{x}$ （赤）です。

逆関数の求め方。 $y = 3x - 4$ と書き、x と y を入れ替えて、y について解きます：

x = 3y - 4 \implies f^{-1}(x) = \frac{x + 4}{3}

確かめ： $f(3) = 5$ と $f^{-1}(5) = \frac{5 + 4}{3} = 3$ 。逆関数は、f の手順を逆の順序で1つずつ戻します：4 を足し、次に 3 で割ります。

2.9 · 対数の式

求めたいのは、指数

対数 $\log_b c$ は、b > 0、b ≠ 1、c > 0 のとき、底 b を c にする指数 a です：

\log_b c = a \iff b^a = c

式	$\log_{5} 125$	$\log_{2} \tfrac{1}{16}$	$\log_{10} 1000$	$\log_{3} 1$
理由	$5^{3} = 125$	$2^{-4} = \tfrac{1}{16}$	$10^{3} = 1000$	$3^{0} = 1$
値	3	−4	3	0

2つの底には専用の名前があります。底が 10 の常用対数 $\log x$ と、底が e の自然対数 $\ln x$ です。つねに $\log_b 1 = 0$ と $\log_b b = 1$ が成り立ちます。

図は、値 $c = 10^u$ を対数目盛（赤）に並べ、その下に指数 $u = \log_{10} c$ （青）を置いています。目盛上で長さが等しいことは、比が等しいことを表します。1から10、10から100、100から1000は、同じ距離です。こうして、大きさのまるで違う値が1本の線に収まります。

見積もりは、近くのべき乗から立てます。50 は 10 と 100 のあいだなので、 $\log_{10} 50$ は 1 と 2 のあいだで、実際は 1.699 です。

2.10 · 指数関数の逆関数

対数は bˣ を元に戻す

$f(x) = b^x$ は1対1なので逆関数をもち、その逆関数が対数 $f^{-1}(x) = \log_b x$ です。

$y = 2^x$ の表のすべての行を入れ替えると、 $y = \log_2 x$ の表になります。図の赤い点はまさにそれをしています。それぞれの (x, 2^x) が $y = x$ を越えて (2^x, x) へ飛んでいきます。

x	−2	−1	0	1	2	3
2^x	0.25	0.5	1	2	4	8

x	0.25	0.5	1	2	4	8
log₂ x	−2	−1	0	1	2	3

こうして、2つの関数は特徴を入れ替えます。 $b^x$ は定義域がすべての実数、値域が y > 0 で、水平漸近線 y = 0 をもちます。 $\log_b x$ は定義域が x > 0、値域がすべての実数で、垂直漸近線 x = 0 をもちます。どちらも相手を元に戻します：

\log_b\left(b^x\right) = x \quad\text{for all } x, \qquad b^{\log_b x} = x \quad\text{for } x > 0

底が e のとき、 $e^x$ と $\ln x$ は互いに逆関数です： $\ln e^{3} = 3$ 、そして $e^{\ln 50} = 50$ 。

2.11 · 対数関数

入力を掛けると、出力に足される

対数関数は $f(x) = a \log_b x$ の形をしていて、a ≠ 0、b > 0、b ≠ 1 です。掛け算的な変化を足し算的な変化に変えます。

$y = \log_2 x$ では、入力が2倍になるたびに出力が1ずつ増えます。青い階段は (1, 0) から (2, 1)、(4, 2)、(8, 3)、(16, 4) へと進みます。比が同じ入力区間では、出力は同じ差だけ変化します。これは指数関数のちょうど逆です。

x	1	2	4	8	16
log₂ x	0	1	2	3	4

a > 0 かつ b > 1 のとき：

定義域は x > 0、値域はすべての実数で、x 切片は (1, 0) です。
y 軸は垂直漸近線です： $x \to 0^+$ のとき $\log_b x \to -\infty$ 。
つねに増加し、つねに上に凸です。 $x \to \infty$ のとき $\log_b x \to \infty$ ですが、x のどんな正のべきよりもゆっくりです。
極値も変曲点もありません。0 < b < 1 ならつねに減少します（そして下に凸です）。

ゆっくりであることが特徴です。入力が2倍になるたびに出力は1上がるので、 $\log_2 x$ が 10 に達するのは x = 1024 のときだけです。

2.12 · 対数の変形

拡大は平行移動でもある

対数は指数なので、指数法則にはそれぞれ対数の対応する法則があります。

積	$\log_b(xy) = \log_b x + \log_b y$
商	$\log_b \dfrac{x}{y} = \log_b x - \log_b y$
累乗	$\log_b x^n = n \log_b x$
底の変換	$\log_b x = \dfrac{\log_a x}{\log_a b}$

積の法則より $\log_2(kx) = \log_2 k + \log_2 x$ です。 $y = \log_2 x$ を y 軸に向けて 1/k 倍に縮めた曲線（青）は、 $\log_2 k$ だけ持ち上げた曲線（赤）と同じです。k を 1 から 4 まで動かすと、点 (2, 1) は (2/k, 1) へと内側に動き、(2, 1 + $\log_2 k$ ) へと上がって、どちらも赤い曲線に着きます。

つまり、対数の水平方向の拡大は垂直方向の平行移動になります。2.4 の対応するものです。累乗の法則により、 $\log_b x^n$ は n 倍の垂直方向の拡大、 $\log_b \tfrac{1}{x} = -\log_b x$ は x 軸に関する折り返しになります。

例。 $\log_2 40 = \log_2 8 + \log_2 5 \approx 3 + 2.3219 = 5.3219$ ； $\log_2 24 - \log_2 3 = \log_2 8 = 3$ ；そして底の変換により $\log_3 20 = \dfrac{\ln 20}{\ln 3} \approx 2.7268$ 。どの対数関数も、 $\ln x$ の定数倍です。

2.13 · 指数方程式・対数方程式と不等式

元に戻して、確かめる

指数方程式を解くには、べきを単独にして対数をとります。対数方程式を解くには、対数を単独にして指数にします。逆関数が関数を元に戻します。

図は、すべての水準 c について $3 \cdot 2^x = c$ を一度に解きます。曲線は青い直線と $x = \log_2 \tfrac{c}{3}$ で交わります。 $c = 24$ のとき：

\begin{aligned} 3 \cdot 2^x &= 24 \\ 2^x &= 8 \\ x &= \log_2 8 = 3 \end{aligned}

不等式 $3 \cdot 2^x > 24$ は向きだけ考えれば足ります。 $2^x$ は増加関数なので、x > 3 で成り立ちます。軸の赤い部分です。減少関数（底が 0 と 1 のあいだ）では不等号の向きが逆になります。

底が e のとき。 $5e^{0.2t} = 20$ から $e^{0.2t} = 4$ となり、 $t = \frac{\ln 4}{0.2} \approx 6.931$ です。

対数方程式。 $\log_2 x + \log_2(x - 2) = 3$ をまとめると $\log_2\big(x(x - 2)\big) = 3$ となり、 $x^2 - 2x = 8$ から x = 4 または x = −2 です。しかし −2 は $\log_2 x$ の定義域の外なので、不適解です。解は x = 4 だけです。解は必ず元の方程式で確かめましょう。

同じ手順で逆関数も求められます： $y = 3 \cdot 2^x$ の逆関数は $f^{-1}(x) = \log_2 \tfrac{x}{3}$ です。

2.14 · 対数モデル

最初は速く伸び、やがてゆるやかに

対数モデル $y = a + b\ln x$ は、最初は急に増え、そのあとだんだんゆるやかになる量や、入力の等しい比が出力の等しい差になる量に当てはまります。

データは架空のものです。ある人のタイピング速度（1分あたりの語数）を、練習の週ごとに記録しました。対数回帰の結果は

\hat y = 20.52 + 14.70\ln x

週の数が2倍になるたびに、1分あたり $14.70 \ln 2 \approx 10.19$ 語増えます。1週目から2週目の増加は、4週目から8週目の増加と同じです。10週目の予測値 $\hat y \approx 54.4$ は、データの範囲を超えた外挿なので、信頼度はそれだけ下がります。

対数目盛は、値が10の何乗にもわたって広がるので、現実の多くの量を測るのに使われます：

音の大きさ（デシベル）： $L = 10 \log_{10} \tfrac{I}{I_0}$ 。強さが2倍になると $10\log_{10} 2 \approx 3.01$ dB 増え、10倍になると 10 dB 増えます。
酸性度： $\text{pH} = -\log_{10}[\text{H}^+]$ 。 $[\text{H}^+] = 10^{-3}$ の溶液は pH 3 です。濃度が10倍になると pH は 1 下がります。

対数モデルと指数モデルは互いに逆です。y が x に対して指数的に増えるなら、x は y に対して対数的に増えます。

2.15 · 片対数グラフ

指数的なデータを、直線に

片対数グラフは、x 軸は線形のままにして、y を対数目盛にします。そこでは、指数的なデータが直線上に並びます。

指数モデル $y = a b^x$ の対数をとります：

\log_{10} y = \log_{10} a + x \log_{10} b

これは $\log_{10} y$ の直線で、傾きは $\log_{10} b$ 、縦軸の切片は $\log_{10} a$ です。1より大きい底 n ならどれでも、同じようにできます。

2.6 の細菌の個数（架空）は、ふつうの方眼紙では上に曲がりますが、片対数グラフでは一直線に並びます。最もよく合う直線は $\log_{10}\hat y = 1.7023 + 0.2030x$ なので、

\begin{aligned} a &= 10^{1.7023} \approx 50.39 \\ b &= 10^{0.2030} \approx 1.596 \end{aligned}

モデルは $\hat y = 50.39(1.596)^x$ で、1時間ごとに細菌が約 60% 増えます。

片対数グラフは道具であるだけでなく、判定にもなります。直線に並ぶデータは指数的です。まだ曲がっているデータは指数的ではなく、別のモデルが必要です。