Fungsi polinomial dan rasional · AP Precalculus

Bab 1 · Fungsi polinomial dan rasional

bagaimana keluaran berubah mengikuti masukan

Fungsi memasangkan setiap masukan dengan satu keluaran. Prakalkulus menanyakan bagaimana keluaran berubah saat masukan berubah: di mana naik dan turun, seberapa cepat, dan apa yang terjadi di tempat yang jauh.

Grafiknya adalah fungsi kubik $p(x) = \tfrac{1}{2}(x + 2)(x - 1)(x - 3)$ . Faktor-faktornya menunjukkan pembuat nol-nya, −2, 1, 3, tempat grafik bertemu sumbu-x. Sekan merah meluncur di sepanjangnya; gradiennya adalah laju perubahan rata-rata pada intervalnya. Pada [0, 2]:

\frac{p(2) - p(0)}{2 - 0} = \frac{-2 - 3}{2} = -2.5

Bab ini adalah Unit 1 AP Precalculus, unit terbesar dalam ujian (sekitar 30–40%). Bab ini membangun alat untuk fungsi polinomial (jumlah pangkat-pangkat x) dan fungsi rasional (satu polinomial dibagi polinomial lain): laju perubahan, pembuat nol, perilaku ujung, asimtot dan lubang, transformasi, dan akhirnya memilih serta membangun fungsi untuk memodelkan data nyata.

1.1 · Berubah bersama

masukan dan keluaran, berubah bersama-sama

Fungsi f mengirim setiap masukan x ke satu keluaran f(x). Saat masukan berubah, keluaran ikut berubah bersamanya. Grafik menunjukkan keduanya sekaligus: masukan di sepanjang sumbu-x, keluaran sebagai tinggi.

Ikuti titik pada $f(x) = x^3 - 3x$ saat x bergerak. Garis bantu abu-abunya membawa masukan turun ke sumbu-x dan keluaran menyamping ke sumbu-y.

x	−2	−1	0	1	2
f(x)	−2	2	0	−2	2

f naik pada suatu interval jika, saat masukan bertambah, keluaran selalu bertambah: untuk semua a < b di dalamnya, f(a) < f(b). Fungsi itu turun jika keluarannya selalu berkurang. Di sini f naik untuk x < -1 (merah), turun di antara -1 dan 1 (biru), dan naik lagi setelah 1.

Keluaran positif di tempat grafik berada di atas sumbu-x dan negatif di tempat grafik berada di bawahnya. Tanda berubah di pembuat nol, yaitu masukan dengan f(x) = 0: di sini 0 dan ±√3 ≈ ±1.73.

Dalam konteks nyata, kata-kata yang sama berlaku: saat air dituang ke dalam vas dengan laju tetap, kedalamannya bertambah, cepat di bagian vas yang sempit dan lambat di bagian yang lebar. Grafik kedalaman terhadap volume adalah gambaran bagaimana kedua besaran itu berubah bersama.

1.2 · Laju perubahan

gradien sebuah sekan, dan gradien di sebuah titik

Laju perubahan rata-rata f pada [a, b] adalah perubahan keluaran dibagi perubahan masukan: gradien garis sekan dari (a, f(a)) ke (b, f(b)).

\frac{f(b) - f(a)}{b - a}

Laju perubahan di sebuah titik didekati oleh laju perubahan rata-rata pada interval yang makin kecil di sekitarnya. Untuk $f(x) = \tfrac{1}{2}x^2$ pada x = 2, ambil sekan pada [2 − h, 2] (biru) dan [2, 2 + h] (merah):

h	1	0.5	0.1	0.01
left	1.5	1.75	1.95	1.995
right	2.5	2.25	2.05	2.005

Kedua kolom mendekati 2 dari kedua sisi: laju perubahan pada x = 2 adalah 2, gradien garis singgung putus-putus. Perhitungan yang sama pada x = 1 memberi 1.

Membandingkan keduanya: laju di 2 lebih besar daripada laju di 1, sehingga grafik makin curam saat x bertambah. Dua kaitan yang perlu diingat:

laju perubahan positif berarti f naik di situ; laju negatif berarti turun;
di tempat laju perubahan bertambah, grafik cekung ke atas (melengkung ke atas, seperti yang ini); di tempat laju berkurang, cekung ke bawah.

1.3 · Laju perubahan pada fungsi linear dan kuadrat

perubahan konstan, dan perubahan yang berubah secara teratur

Majukan masukan dengan langkah yang sama, lalu amati keluarannya. Pola perubahannya membedakan fungsi linear dari fungsi kuadrat.

x	0	1	2	3	4
2x + 1	1	3	5	7	9
change	+2	+2	+2	+2
x² − 4x + 5	5	2	1	2	5
change	−3	−1	+1	+3
perubahan dari perubahan	+2	+2	+2

Linear: laju perubahan rata-rata sama pada setiap interval, yaitu gradien, 2. Langkah masukan yang sama memberi perubahan keluaran yang sama.

Kuadrat: pada interval-interval berurutan yang sama panjang, laju perubahan rata-ratanya −3, −1, 1, 3. Laju itu tidak konstan, tetapi berubah dengan laju konstan, 2 per langkah. Untuk $ax^2 + bx + c$ dengan langkah 1, konstanta itu adalah 2a.

Laju-laju itu juga menunjukkan letak titik puncak. Lajunya negatif sampai x = 2 (fungsi turun) dan positif sesudahnya (naik), jadi minimumnya di x = 2. Karena lajunya bertambah, parabola cekung ke atas; dengan a < 0 lajunya akan berkurang, dan parabola akan cekung ke bawah.

1.4 · Fungsi polinomial dan laju perubahan

titik balik, titik belok, ekstrem global

Fungsi polinomial adalah $p(x) = a_n x^n + a_{n-1}x^{n-1} + \dots + a_1 x + a_0$ , dengan koefisien real dan a_n ≠ 0. Derajat-nya adalah n, dan a_n adalah koefisien utama. Konstanta tak nol adalah polinomial berderajat 0.

Grafiknya adalah $p(x) = \tfrac{1}{4}x^4 - 2x^2 + 1$ . Garis merah ikut bergerak dengan gradien kurva, yaitu laju perubahannya:

maksimum lokal adalah tempat laju perubahan berubah dari positif ke negatif: (0, 1);
minimum lokal, dari negatif ke positif: (−2, −3) dan (2, −3);
titik belok adalah tempat laju perubahan berubah dari bertambah ke berkurang atau sebaliknya, sehingga kecekungan berubah: di x = ±2/√3 ≈ ±1.15.

Nilai terendah yang pernah diambil fungsi, −3, adalah minimum global-nya. Polinomial berderajat genap selalu punya maksimum global atau minimum global (minimum bila a_n > 0, seperti di sini); polinomial berderajat ganjil tidak punya keduanya, karena keluarannya menuju ∞ dan −∞.

Pembuat nolnya adalah ±(√3 − 1) ≈ ±0.73 dan ±(√3 + 1) ≈ ±2.73. Di antara dua pembuat nol real yang berbeda pada polinomial tak konstan selalu ada maksimum atau minimum lokal: di sini minimum di −2, maksimum di 0, minimum di 2.

1.5 · Fungsi polinomial dan pembuat nol kompleks

n pembuat nol untuk derajat n, dihitung dengan multiplisitas

Polinomial berderajat n memiliki tepat n pembuat nol kompleks, dihitung dengan multiplisitas. Sebagian mungkin real, sebagian tidak.

Ambil $p(x) = \tfrac{1}{10}(x + 2)^2(x - 1)(x^2 + 1)$ , berderajat 2 + 1 + 2 = 5. Pembuat nolnya:

zero	multiplicity	pada grafik
−2	2	menyentuh sumbu-x, tidak memotong
1	1	memotong sumbu-x
i, −i	masing-masing 1	tidak ada titik potong sumbu-x: bukan real

a adalah pembuat nol p tepat ketika (x − a) adalah faktor p(x); bila a real, (a, 0) adalah titik potong sumbu-x.
Jika (x − a) muncul k kali, a memiliki multiplisitas k. Pada pembuat nol real bermultiplisitas genap, grafik menyentuh sumbu lalu berbalik; pada multiplisitas ganjil, grafik memotongnya.
Dengan koefisien real, pembuat nol non-real muncul sebagai pasangan sekawan: jika a + bi adalah pembuat nol, maka a − bi juga.

Gambar menukar faktor terakhir dengan $x^2 + q$ dan menggeser q. Untuk q < 0, pembuat nolnya ±√(−q) real, dua titik potong sumbu-x merah; keduanya bertemu pada q = 0 lalu meninggalkan sumbu real bersama-sama, naik dan turun di sepanjang sumbu imajiner sebagai ±i√q. Derajat, dan banyaknya pembuat nol, tidak pernah berubah.

Fungsi genap dan ganjil. f genap jika f(−x) = f(x) untuk setiap x (simetris terhadap sumbu-y), seperti $\tfrac{1}{4}x^4 - 2x^2 + 1$ pada 1.4; ganjil jika f(−x) = −f(x) (simetris terhadap titik asal), seperti $x^3 - 3x$ pada 1.1. Polinomial yang hanya berpangkat genap adalah genap; yang hanya berpangkat ganjil adalah ganjil.

1.6 · Fungsi polinomial dan perilaku ujung

di tempat jauh, hanya suku utama yang berarti

Perilaku ujung sebuah fungsi adalah apa yang dilakukan keluarannya saat x → ∞ dan x → −∞. Untuk polinomial, perilaku itu ditentukan oleh suku utama saja.

Kurva merah adalah $p(x) = -x^3 + 3x^2 + x - 3 = -(x + 1)(x - 1)(x - 3)$ . Jendela tempatnya berada membesar sampai 12 kali ukurannya lalu kembali: perhatikan angka pada sumbu. Saat diperkecil, pembuat nol menumpuk ke titik asal, lekukannya hilang, dan kurva berimpit dengan suku utamanya $-x^3$ (biru). Pada x = 48, p(x) adalah 0.937 kali −x³.

\begin{aligned} \lim_{x\to\infty} p(x) &= -\infty \\ \lim_{x\to -\infty} p(x) &= \infty \end{aligned}

	a_n > 0	a_n < 0
n genap	naik di kedua ujung	turun di kedua ujung
n ganjil	turun di kiri, naik di kanan	naik di kiri, turun di kanan

Alasannya: $p(x) = -x^3\left(1 - \tfrac{3}{x} - \tfrac{1}{x^2} + \tfrac{3}{x^3}\right)$ , dan setiap suku dalam kurung setelah angka 1 mengecil menuju 0 saat |x| membesar. Baca notasi limit sebagai “saat x bertambah tanpa batas, p(x) berkurang tanpa batas.”

1.7 · Fungsi rasional dan perilaku ujung

rasio suku-suku utama

Fungsi rasional adalah rasio dua polinomial, $r(x) = \dfrac{p(x)}{q(x)}$ dengan q bukan polinomial nol. Di tempat yang jauh, setiap polinomial berperilaku seperti suku utamanya, sehingga r berperilaku seperti rasio keduanya.

degrees	asimtot mendatar	di tempat jauh
pembilang < penyebut	y = 0	3x/(x² + 1) ≈ 3/x → 0
pembilang = penyebut	y = rasio koefisien utama	(2x² − 1)/(x² + 2) ≈ 2x²/x² = 2
pembilang > penyebut	tidak ada; berperilaku seperti polinomial	(x² + x + 1)/(x − 1) ≈ x²/x = x

Pada setiap lembar, titik merah dan biru berlari menuju −∞ dan ∞, lalu menetap di sepanjang garis putus-putus merah. Dengan derajat yang sama, $r(100) = 1.9995$ : mendekati 2, tetapi tidak pernah tepat mencapainya dari bawah.

\lim_{x\to\pm\infty} \frac{2x^2 - 1}{x^2 + 2} = 2

Bila derajat pembilang tepat satu lebih besar daripada derajat penyebut, grafik mendekati asimtot miring, yaitu garis y = mx + b yang ditemukan dengan pembagian (1.11). Di sini asimtotnya y = x + 2. Grafik boleh memotong asimtot mendatar atau miring; asimtot hanya menggambarkan ujung-ujungnya.

1.8 · Fungsi rasional dan pembuat nol

tempat pembilang nol dan penyebut tidak

Pembuat nol real dari $r(x) = \dfrac{p(x)}{q(x)}$ adalah pembuat nol real dari pembilang p yang berada di daerah asal r: masukan tempat p bernilai 0 dan q tidak.

Untuk $r(x) = \dfrac{(x + 2)(x - 1)}{(x + 1)(x - 3)}$ , pembuat nolnya adalah −2 and 1. Masukan −1 and 3 tidak berada di daerah asal: di sana penyebutnya 0, dan grafiknya memiliki asimtot tegak (1.9).

Keluaran hanya bisa berganti tanda di pembuat nol atau di tempat r tidak terdefinisi. Jadi keempat masukan itu memotong garis bilangan menjadi interval-interval, dan satu masukan uji pada tiap interval memberi tanda pada seluruh interval:

interval	x < −2	−2 < x < −1	−1 < x < 1	1 < x < 3	x > 3
x uji	−3	−1.5	0	2	4
r(x)	0.33	−0.56	0.67	−1.33	3.6
sign	+	−	+	−	+

Itu menyelesaikan pertidaksamaan. $r(x) \ge 0$ di tempat grafik berada pada atau di atas sumbu, merah: x ≤ −2, atau −1 < x ≤ 1, atau x > 3. Pembuat nol disertakan (di sana r = 0); asimtot tidak pernah disertakan.

Pembuat nol pembilang yang juga pembuat nol penyebut bukan pembuat nol r. Itu adalah lubang atau asimtot (1.10).

1.9 · Fungsi rasional dan asimtot tegak

tempat penyebut nol, dan tetap nol

Jika a adalah pembuat nol real penyebut tetapi bukan pembuat nol pembilang, atau pembuat nol penyebut dengan multiplisitas yang lebih tinggi, maka garis x = a adalah asimtot tegak dari r. Di dekatnya, keluaran tumbuh tanpa batas.

Untuk $r(x) = \dfrac{4}{(x + 1)(x - 2)^2}$ penyebutnya 0 di −1 and 2, dan pembilangnya tidak pernah 0:

x	−1.01	−0.99	1.99	2.01
r(x)	−44	45	13378	13289

\begin{aligned} \lim_{x\to -1^-} r(x) &= -\infty \\ \lim_{x\to -1^+} r(x) &= \infty \\ \lim_{x\to 2^\pm} r(x) &= \infty \end{aligned}

Tanda di setiap sisi berasal dari faktor-faktornya. Di dekat x = −1 faktor x + 1 berganti tanda, sehingga kedua sisi menuju arah berlawanan. Di dekat x = 2 faktornya dikuadratkan, positif di kedua sisi, sehingga kedua sisi menuju ke atas. Multiplisitas ganjil: arah berlawanan; genap: arah yang sama.

$\lim_{x\to a^+}$ berarti x mendekati a dari kanan, melalui nilai yang lebih besar daripada a; $\lim_{x\to a^-}$ , dari kiri.

1.10 · Fungsi rasional dan lubang

faktor yang saling meniadakan

Jika a adalah pembuat nol pembilang sekaligus penyebut, dengan multiplisitas di pembilang paling sedikit sama dengan di penyebut, grafik memiliki lubang di x = a: satu titik yang hilang.

\begin{aligned} r(x) &= \frac{x^2 + x - 6}{x^2 - x - 2} \\ &= \frac{(x - 2)(x + 3)}{(x - 2)(x + 1)} \\ &= \frac{x + 3}{x + 1}, \quad x \ne 2 \end{aligned}

Faktor x − 2 saling meniadakan, sekali di atas dan sekali di bawah, sehingga x = 2 adalah lubang. Tingginya adalah nilai yang diberikan bentuk sederhana di sana, yang juga merupakan limit yang didekati dari kedua sisi:

\lim_{x\to 2} r(x) = \frac{2 + 3}{2 + 1} = \frac{5}{3}

Faktor x + 1 tidak saling meniadakan, sehingga x = -1 adalah asimtot tegak; x + 3 tersisa di atas, sehingga x = -3 adalah satu-satunya pembuat nol. Perhatikan bahwa 2 bukan pembuat nol, meskipun membuat pembilang bernilai 0.

Jika multiplisitas lebih tinggi di penyebut, pencoretan menyisakan faktor di bawah, dan hasilnya adalah asimtot, bukan lubang: $\dfrac{x - 2}{(x - 2)^2} = \dfrac{1}{x - 2}$ memiliki asimtot tegak di x = 2.

1.11 · Representasi setara untuk ekspresi polinomial dan rasional

difaktorkan, standar, dibagi, dijabarkan

Fungsi yang sama dapat ditulis dengan beberapa cara. Setiap bentuk memperlihatkan sesuatu yang disembunyikan bentuk lain.

Bentuk standar $x^3 - 2x^2 - 5x + 6$ menunjukkan suku utama (perilaku ujung) dan titik potong sumbu-y, yaitu 6.
Bentuk faktor $(x + 2)(x - 1)(x - 3)$ menunjukkan pembuat nol, dan pada fungsi rasional juga asimtot dan lubang.

Pembagian panjang polinomial menuliskan fungsi rasional sebagai polinomial ditambah pecahan sisa. Bagi $x^2 + x + 1$ dengan $x - 1$ : x(x − 1) mengurangi x² − x, menyisakan 2x + 1; 2(x − 1) mengurangi 2x − 2, menyisakan 3.

\begin{gathered} x^2 + x + 1 = (x - 1)(x + 2) + 3 \\ \frac{x^2 + x + 1}{x - 1} = x + 2 + \frac{3}{x - 1} \end{gathered}

Saat |x| membesar, suku sisa (celah biru) mengecil menuju 0, sehingga hasil bagi y = x + 2 adalah asimtot miring. Secara umum, jika p = q·s + t, maka p/q = s + t/q. Sisa 0 berarti pembagi adalah faktor.

Teorema binomial menjabarkan $(a + b)^n$ dengan bilangan pada baris ke-n segitiga Pascal, masing-masing jumlah dua bilangan di atasnya:

(a + b)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} a^{n-k} b^k

Baris ke-3 adalah 1, 3, 3, 1, sehingga $(x + 2)^3 = x^3 + 3x^2(2) + 3x(2)^2 + 2^3 = x^3 + 6x^2 + 12x + 8$ .

1.12 · Transformasi fungsi

pergeseran, peregangan, dan pencerminan

Fungsi baru dapat dibangun dari fungsi induk f dengan menggeser dan meregangkan grafiknya. Grafik merah adalah $g(x) = a\,f\big(b(x - h)\big) + k$ , dibangun dari $f(x) = x^3 - 3x$ abu-abu pada [−2, 2]; gambar mengubah h, k, a, dan b satu per satu.

form	grafik f adalah
f(x) + k	digeser secara vertikal sejauh k (ke atas jika k > 0)
f(x − h)	digeser secara horizontal sejauh h (ke kanan jika h > 0); f(x + h) menggesernya ke kiri
a·f(x)	didilatasi secara vertikal dengan faktor \|a\|; dicerminkan terhadap sumbu-x jika a < 0
f(bx)	didilatasi secara horizontal dengan faktor 1/\|b\|; dicerminkan terhadap sumbu-y jika b < 0

Perubahan aditif menggeser; perubahan multiplikatif melakukan dilatasi. Perubahan di luar f bekerja pada keluaran dan melakukan apa yang dikatakannya; perubahan di dalam bekerja pada masukan dan melakukan kebalikannya: x − 1.5 bergeser ke kanan, dan b = 2 menekan grafik menjadi setengah lebarnya.

Daerah asal dan daerah hasil ikut bergerak bersama grafik. Di akhir gambar, h = 1.5, k = 1, a = 1.5, b = 2:

g(x) = 1.5\,f\big(2(x - 1.5)\big) + 1

Daerah asal [−2, 2] ditekan dengan faktor 1/2 dan digeser 1.5: [0.5, 2.5]. Daerah hasil [−2, 2] diregangkan dengan faktor 1.5 dan digeser ke atas 1: [−2, 4]. Batang biru pada sumbu menunjukkan keduanya.

1.13 · Pemilihan model fungsi dan penjelasan asumsi

jenis fungsi mana yang cocok, dan pada daerah asal apa

Untuk memodelkan data, pilih jenis fungsi yang pola perubahannya cocok dengan data, lalu nyatakan asumsi dan daerah asal tempat model itu masuk akal.

Sebuah bola dilempar ke atas; tingginya diukur setiap detik (data hipotetis):

t (s)	0	1	2	3	4
h (m)	1	16	21	16	1
change	15	5	−5	−15
perubahan dari perubahan	−10	−10	−10

Selisih pertama tidak konstan, jadi model linear salah: garis putus-putus melalui dua titik pertama memprediksi 61 m pada t = 4, padahal hasil ukurnya 1 m. Selisih kedua konstan, −10, sehingga model kuadrat cocok persis:

h(t) = -5t^2 + 20t + 1

linear: laju perubahan kurang lebih konstan;
kuadrat: laju yang berubah dengan laju kurang lebih konstan, atau data yang naik lalu turun secara simetris terhadap satu nilai ekstrem;
kubik atau lebih tinggi: lebih banyak titik balik, atau laju yang lajunya sendiri berubah;
sepotong-sepotong: pola berbeda pada rentang masukan yang berbeda;
rasional: besaran yang berbanding terbalik, atau yang mendatar menuju suatu nilai.

Asumsi. Model ini mengabaikan hambatan udara dan hanya berlaku selama bola berada di udara: dari saat dilempar sampai h(t) = 0, 0 ≤ t ≤ 4.05. Di luar daerah asal itu, keluarannya (tinggi negatif) tidak bermakna.

1.14 · Penyusunan dan penerapan model fungsi

dari suatu situasi ke fungsi, dan kembali

Membangun model berarti menamai masukan, menulis keluaran dalam bentuk masukan itu dari geometri atau aturan situasinya, dan mencari daerah asal yang diizinkan situasi itu. Setelah itu model dapat menjawab pertanyaan.

Potong persegi x × x dari setiap sudut selembar kertas 12 × 8 inci, lalu lipat sisi-sisinya ke atas. Kotaknya sedalam x, sepanjang 12 − 2x, dan selebar 8 − 2x:

\begin{gathered} V(x) = x(12 - 2x)(8 - 2x) \\ 0 < x < 4 \end{gathered}

Daerah asalnya berasal dari situasi: potongan harus berukuran positif, dan sisi 8 inci habis pada x = 4. Perilaku lain fungsi kubik itu (volume negatif sesudahnya) berada di luar model.

Kotak terbesar: dari grafik (atau kalkulator), maksimum terjadi pada x ≈ 1.57 in, V ≈ 67.6 in³.
Kotak 60 in³: selesaikan V(x) = 60. Satu penyelesaian tepat, x = 1: 1 · 10 · 6 = 60. Yang lain x ≈ 2.21.

Model lain dibangun dengan cara yang sama. Polinomial berderajat n dapat dicocokkan melalui n + 1 titik dengan masukan berbeda; model rasional cocok untuk rasio, seperti biaya rata-rata $C(n) = \dfrac{500 + 3n}{n}$ dolar per barang, yang asimtot mendatarnya, 3, adalah biaya per barang ketika $500 biaya tetap sudah tersebar tipis. Selalu laporkan jawaban dalam satuan situasinya, dan periksa terhadap batas-batasnya.