Fungsi eksponensial dan logaritma · AP Precalculus

Bab 2 · Fungsi eksponensial dan logaritma

tumbuh dengan perkalian

Ada besaran yang tumbuh dengan menambahkan jumlah yang sama pada setiap langkah. Ada pula yang tumbuh dengan mengalikan faktor yang sama. Jenis kedua mulai lambat, lalu melampaui setiap garis lurus.

Kurva biru adalah $y = 2^x$ : setiap langkah 1 ke kanan menggandakan tingginya, dari 0.25 pada x = −2 menjadi 8 pada x = 3. Kurva merah membatalkannya. $y = \log_2 x$ menanyakan pangkat 2 berapa yang menghasilkan x, sehingga mengubah 8 kembali menjadi 3.

2^3 = 8 \iff \log_2 8 = 3

Kedua kurva saling mencerminkan terhadap garis putus-putus $y = x$ : titik (x, 2^x) pada kurva yang satu adalah (2^x, x) pada kurva yang lain.

Bab ini bergerak dari barisan ke fungsi eksponensial dan modelnya, lalu melalui komposisi dan invers menuju logaritma, persamaan yang diselesaikannya, dan plot semi-log yang mengubah data eksponensial menjadi garis lurus. Ini adalah Unit 2 AP Precalculus.

2.1 · Barisan aritmetika dan geometri

menambah, atau mengalikan

Sebuah barisan adalah fungsi yang masukannya bilangan bulat n. Pada barisan aritmetika, setiap suku menambahkan beda d yang sama; pada barisan geometri, setiap suku dikalikan dengan rasio r yang sama.

a_n = a_0 + dn \qquad\qquad g_n = g_0\, r^n

Titik-titik biru adalah $a_n = 2 + 3n$ dan titik-titik merah $g_n = 2(1.5)^n$ . Keduanya mulai dari 2. Barisan aritmetika naik sebesar 3 pada setiap langkah; barisan geometri naik lebih banyak setiap kali, dan pada n = 6 ia sudah unggul.

n	0	1	2	3	4	5	6
a_n	2	5	8	11	14	17	20
g_n	2	3	4.5	6.75	10.13	15.19	22.78

Suku mana pun yang diketahui bisa menjadi titik awal: $a_n = a_k + d(n - k)$ dan $g_n = g_k\, r^{\,n-k}$ . Contoh. Jika $a_2 = 8$ dan $a_5 = 17$ , bedanya adalah $d = \frac{17 - 8}{5 - 2} = 3$ . Jika $g_1 = 3$ dan $g_4 = 10.125$ , maka $r^3 = 3.375$ , sehingga r = 1.5.

Dua pola yang sama, untuk setiap masukan bilangan real dan bukan hanya langkah bulat, adalah fungsi linear dan eksponensial.

2.2 · Perubahan linear dan eksponensial

langkah masukan yang sama, beda atau rasio keluaran yang sama

Pada interval masukan yang sama panjang, fungsi linear berubah dengan selisih yang sama; fungsi eksponensial berubah dengan rasio yang sama. Perubahan linear bersifat aditif, perubahan eksponensial bersifat multiplikatif.

Geser jendela [x, x + 1] di sepanjang kedua kurva. Pada $f(x) = 2 + 3x$ kenaikannya selalu 3. Pada $g(x) = 2(1.5)^x$ kenaikannya makin besar, tetapi rasio kedua tingginya selalu 1.5:

\begin{gathered} f(x + 1) - f(x) = 3 \\ \frac{g(x + 1)}{g(x)} = 1.5 \end{gathered}

Kedua bentuk itu mengatakan hal yang sama. $f(x) = b + mx$ mulai dari b dan menambah m per satuan; $g(x) = a r^x$ mulai dari a dan mengalikan r per satuan. Barisan aritmetika adalah fungsi linear pada bilangan bulat, dan barisan geometri adalah fungsi eksponensial.

Pada interval sepanjang 2, fungsi linear menambah 6, dua kali 3, sedangkan fungsi eksponensial mengalikan dengan $1.5^2 = 2.25$ . Diberikan dua titik, model linearnya adalah $f(x) = y_i + m(x - x_i)$ dan model eksponensialnya $g(x) = y_i\, r^{\,x - x_i}$ .

2.3 · Fungsi eksponensial

a·bˣ, dan apa yang ditentukan oleh b

Fungsi eksponensial berbentuk $f(x) = a b^x$ dengan nilai awal a ≠ 0 dan basis b > 0, b ≠ 1. Grafiknya melalui (0, a).

Kurva merah adalah $y = b^x$ saat b bergerak dari 2 turun melewati 1 ke $\tfrac{1}{2}$ lalu kembali. Untuk a > 0:

b > 1: pertumbuhan eksponensial, selalu naik; $f(x) \to \infty$ saat $x \to \infty$ dan $f(x) \to 0$ saat $x \to -\infty$ .
0 < b < 1: peluruhan eksponensial, selalu turun; perilaku ujungnya berbalik.
Daerah asal: semua bilangan real. Daerah hasil: y > 0. Garis y = 0 adalah asimtot mendatar.
Selalu cekung ke atas, tanpa titik ekstrem dan tanpa titik belok.

Pada b = 1 kurvanya adalah garis datar y = 1, itulah sebabnya 1 tidak boleh menjadi basis. Jika a < 0, grafiknya terbalik ke bawah sumbu dan kecekungannya berbalik.

Contoh. $f(x) = 3\left(\tfrac{1}{2}\right)^x$ mulai dari 3 dan menjadi separuh pada setiap satuan: $f(2) = 3 \cdot \tfrac{1}{4} = 0.75$ . Saat x bertambah, nilainya mendekati 0 tetapi tidak pernah mencapainya.

2.4 · Memanipulasi eksponensial

pergeseran adalah regangan

Sifat-sifat eksponen menuliskan ulang fungsi eksponensial dalam bentuk yang setara, dan setiap bentuk memperlihatkan hal yang berbeda tentang grafiknya.

perkalian	$b^m b^n = b^{m+n}$
pangkat	$(b^m)^n = b^{mn}$
eksponen negatif	$b^{-n} = \dfrac{1}{b^n}$
eksponen rasional	$b^{1/k} = \sqrt[k]{b}$

Menurut sifat perkalian, $2^{x+k} = 2^k \cdot 2^x$ . Jadi menggeser $y = 2^x$ ke kiri sejauh k (biru) menghasilkan kurva yang persis sama dengan meregangkannya secara vertikal dengan faktor $2^k$ (merah). Gambar menyapu k dari 0 sampai 2: titik (1, 2) meluncur ke kiri menuju (1 − k, 2) dan naik ke (1, $2^{1+k}$ ), dan keduanya mendarat pada kurva merah.

2^{x+3} = 2^3 \cdot 2^x = 8 \cdot 2^x

Translasi horizontal pada fungsi eksponensial selalu merupakan dilatasi vertikal. Sifat-sifat lainnya memberi lebih banyak: $\left(\tfrac{1}{2}\right)^x = 2^{-x}$ adalah pencerminan $2^x$ terhadap sumbu-y, dan $8^{x/3} = (8^{1/3})^x = 2^x$ . Setiap fungsi eksponensial bisa ditulis dengan basis positif mana pun selain 1, termasuk basis natural e ≈ 2.7183.

2.5 · Model eksponensial

perubahan persen yang konstan

Model eksponensial cocok untuk besaran yang berubah dengan proporsi yang sama dalam waktu yang sama: populasi, investasi, sampel radioaktif.

Karbon-14 memiliki waktu paruh 5,730 tahun: setiap 5,730 tahun, separuh dari yang tersisa meluruh. Dengan t dalam tahun, persen yang tersisa adalah

C(t) = 100\left(\tfrac{1}{2}\right)^{t/5730}

Penulisan ulang per satuan memberi faktor tahunan: $\left(\tfrac{1}{2}\right)^{1/5730} \approx 0.999879$ . Sampel dengan sisa 30% berumur sekitar 9,953 tahun, di antara satu dan dua waktu paruh (2.13 menunjukkan cara menyelesaikan t).

Bentuk lain muncul dari konteksnya:

Laju persen r: $f(t) = a(1 + r)^t$ (pertumbuhan) atau $a(1 - r)^t$ (peluruhan).
Bunga majemuk n kali setahun: $1,000 dengan 6% per bulan selama 10 tahun menjadi $1000\left(1 + \tfrac{0.06}{12}\right)^{120} \approx 1819.40$ ; dengan bunga majemuk kontinu, $1000e^{0.06(10)} \approx 1822.12$ .
Dua titik menentukan model $y = y_i\, b^{\,x - x_i}$ . Sebuah kota hipotetis berpenduduk 1,200 yang mencapai 1,500 dalam 4 tahun memiliki $b = \left(\tfrac{1500}{1200}\right)^{1/4} \approx 1.0574$ : pertumbuhan 5.74% per tahun.
Data: regresi eksponensial pada kalkulator mencari a dan b yang paling cocok dengan diagram pencar.

Sebuah model hanya sebaik asumsinya: model bisa berhenti cocok di luar data, atau begitu batas nyata (makanan, ruang) tercapai.

2.6 · Memilih model: residu

apa yang terlewat oleh model

Residu adalah nilai sebenarnya dikurangi nilai yang diprediksi model. Sebuah model sesuai bila plot residunya tidak menunjukkan pola.

\text{residual} = y - \hat y

Jumlahnya hipotetis: biakan bakteri yang dihitung setiap jam. Dua model dicocokkan pada data itu, garis kuadrat terkecil $\hat y = -62.18 + 123.11x$ (biru) dan fungsi eksponensial $\hat y = 50.39(1.596)^x$ (merah).

hour	0	1	2	3	4	5	6
count	52	77	131	202	322	532	834
residu linear	114	16	−53	−105	−108	−21	158
residu eksponensial	2	−3	3	−3	−5	10	1

Residu garis itu positif, negatif, lalu positif lagi: berbentuk U, tanda kelengkungan yang tidak bisa diikuti garis. Residu fungsi eksponensial tersebar di atas dan di bawah 0 tanpa pola, jadi model eksponensial adalah pilihan yang lebih baik.

Tandanya langsung terbaca: residu positif berarti model menaksir terlalu rendah di titik itu, residu negatif berarti model menaksir terlalu tinggi. Pada jam ke-3 garis memprediksi 307 sedangkan nilai sebenarnya 202, taksiran terlalu tinggi sebesar 105.

2.7 · Komposisi fungsi

keluaran satu fungsi menjadi masukan fungsi berikutnya

Komposisi $f(g(x))$ , juga ditulis $(f \circ g)(x)$ , menerapkan g terlebih dahulu lalu f pada hasilnya.

Di sini $g(x) = x - 1$ dan $f(x) = 2^x$ . Ikuti titik-titik ke bawah: x di garis atas, lalu g(x), yaitu kurang satu, lalu 2 dipangkatkan dengan nilai itu.

x = 3 \;\xrightarrow{\;g\;}\; 2 \;\xrightarrow{\;f\;}\; 2^{2} = 4

Jadi $f(g(x)) = 2^{x-1}$ . Urutan sebaliknya adalah fungsi yang berbeda: $g(f(x)) = 2^x - 1$ , dan $g(f(3)) = 7$ , bukan 4. Secara umum $f(g(x)) \ne g(f(x))$ .

Daerah asal $f(g(x))$ adalah masukan g yang keluarannya berada di daerah asal f.
Fungsi identitas $I(x) = x$ tidak mengubah apa pun: $f(I(x)) = I(f(x)) = f(x)$ .
Transformasi adalah komposisi: $f(x - 1)$ mengomposisikan f dengan pergeseran aditif pada masukan, $3f(x)$ mengomposisikan perkalian dengan 3 setelah f.
Menguraikan sebuah fungsi mencari bagian-bagian yang dikomposisikan: $h(x) = (x^2 + 1)^3$ adalah $f(g(x))$ dengan $g(x) = x^2 + 1$ dan $f(x) = x^3$ .

Komposisi juga bisa dibaca dari tabel atau grafik: cari g(x), lalu cari nilai itu sebagai masukan f.

2.8 · Fungsi invers

membatalkan sebuah fungsi

Invers $f^{-1}$ dari sebuah fungsi membalikkannya: jika $f(a) = b$ maka $f^{-1}(b) = a$ , dan $f^{-1}(f(x)) = f(f^{-1}(x)) = x$ .

Menukar masukan dan keluaran mencerminkan grafik terhadap $y = x$ : titik (a, b) pada f menjadi (b, a) pada $f^{-1}$ . Daerah asal f menjadi daerah hasil $f^{-1}$ , dan daerah hasilnya menjadi daerah asal.

Fungsi invers hanya ada jika f satu-satu: setiap keluaran berasal dari satu masukan saja. Garis biru $y = c$ memotong seluruh parabola $y = x^2$ dua kali, di $x = \pm\sqrt{c}$ , sehingga $x^2$ tidak punya invers pada seluruh bilangan real. Membatasi daerah asal pada x ≥ 0 mempertahankan bagian yang satu-satu, dan di sana inversnya adalah $f^{-1}(x) = \sqrt{x}$ (merah).

Mencari invers. Tulis $y = 3x - 4$ , tukar x dan y, lalu selesaikan untuk y:

x = 3y - 4 \implies f^{-1}(x) = \frac{x + 4}{3}

Periksa: $f(3) = 5$ dan $f^{-1}(5) = \frac{5 + 4}{3} = 3$ . Invers membatalkan f langkah demi langkah dalam urutan terbalik: tambahkan 4, lalu bagi dengan 3.

2.9 · Ekspresi logaritma

eksponen yang dicari

Logaritma $\log_b c$ adalah eksponen a yang mengubah basis b menjadi c, untuk b > 0, b ≠ 1 dan c > 0:

\log_b c = a \iff b^a = c

ekspresi	$\log_{5} 125$	$\log_{2} \tfrac{1}{16}$	$\log_{10} 1000$	$\log_{3} 1$
karena	$5^{3} = 125$	$2^{-4} = \tfrac{1}{16}$	$10^{3} = 1000$	$3^{0} = 1$
nilai	3	−4	3	0

Dua basis punya nama sendiri: logaritma biasa $\log x$ berbasis 10, dan logaritma natural $\ln x$ berbasis e. Selalu $\log_b 1 = 0$ dan $\log_b b = 1$ .

Gambar meletakkan nilai-nilai $c = 10^u$ pada skala logaritmik (merah), di bawah eksponennya $u = \log_{10} c$ (biru). Panjang yang sama pada skala berarti rasio yang sama: 1 ke 10, 10 ke 100, dan 100 ke 1000 berjarak sama. Begitulah skala logaritmik memuat nilai-nilai yang ukurannya sangat berbeda pada satu garis.

Taksiran diperoleh dari pangkat-pangkat di dekatnya: 50 berada di antara 10 dan 100, jadi $\log_{10} 50$ berada di antara 1 dan 2; nilainya 1.699.

2.10 · Invers fungsi eksponensial

logaritma membatalkan bˣ

$f(x) = b^x$ adalah fungsi satu-satu, sehingga punya invers, dan inversnya adalah logaritma $f^{-1}(x) = \log_b x$ .

Tukar setiap baris tabel $y = 2^x$ dan kamu mendapat tabel $y = \log_2 x$ . Titik-titik merah pada gambar melakukan persis itu: setiap (x, 2^x) terbang melintasi $y = x$ menjadi (2^x, x).

x	−2	−1	0	1	2	3
2^x	0.25	0.5	1	2	4	8

x	0.25	0.5	1	2	4	8
log₂ x	−2	−1	0	1	2	3

Jadi kedua fungsi saling menukar cirinya. $b^x$ berdaerah asal semua bilangan real, daerah hasil y > 0 dan asimtot mendatar y = 0; $\log_b x$ berdaerah asal x > 0, daerah hasil semua bilangan real dan asimtot tegak x = 0. Masing-masing membatalkan yang lain:

\log_b\left(b^x\right) = x \quad\text{for all } x, \qquad b^{\log_b x} = x \quad\text{for } x > 0

Untuk basis e, $e^x$ dan $\ln x$ saling invers: $\ln e^{3} = 3$ dan $e^{\ln 50} = 50$ .

2.11 · Fungsi logaritma

kalikan masukan, tambahkan ke keluaran

Fungsi logaritma berbentuk $f(x) = a \log_b x$ dengan a ≠ 0, b > 0 dan b ≠ 1. Fungsi ini mengubah perubahan multiplikatif menjadi perubahan aditif.

Pada $y = \log_2 x$ , setiap penggandaan masukan menambah 1 pada keluaran: tangga biru berjalan dari (1, 0) ke (2, 1), (4, 2), (8, 3), (16, 4). Pada interval masukan dengan rasio yang sama, keluarannya berubah dengan selisih yang sama: persis kebalikan dari fungsi eksponensial.

x	1	2	4	8	16
log₂ x	0	1	2	3	4

Untuk a > 0 dan b > 1:

Daerah asal x > 0, daerah hasil semua bilangan real; titik potong sumbu-x adalah (1, 0).
Sumbu-y adalah asimtot tegak: $\log_b x \to -\infty$ saat $x \to 0^+$ .
Selalu naik dan selalu cekung ke bawah; $\log_b x \to \infty$ saat $x \to \infty$ , tetapi lebih lambat daripada pangkat positif mana pun dari x.
Tanpa titik ekstrem dan tanpa titik belok. Untuk 0 < b < 1 fungsinya selalu turun (dan cekung ke atas).

Kelambatannya adalah ciri khasnya: keluaran naik 1 setiap kali masukan berlipat dua, sehingga $\log_2 x$ baru mencapai 10 pada x = 1024.

2.12 · Memanipulasi logaritma

regangan adalah pergeseran

Setiap sifat eksponen punya kembaran dalam logaritma, karena logaritma adalah eksponen.

perkalian	$\log_b(xy) = \log_b x + \log_b y$
pembagian	$\log_b \dfrac{x}{y} = \log_b x - \log_b y$
pangkat	$\log_b x^n = n \log_b x$
perubahan basis	$\log_b x = \dfrac{\log_a x}{\log_a b}$

Menurut sifat perkalian, $\log_2(kx) = \log_2 k + \log_2 x$ . Menekan $y = \log_2 x$ ke arah sumbu-y dengan faktor 1/k (biru) menghasilkan kurva yang sama dengan mengangkatnya sebesar $\log_2 k$ (merah). Saat k bergerak dari 1 sampai 4, titik (2, 1) bergerak masuk ke (2/k, 1) dan naik ke (2, 1 + $\log_2 k$ ), keduanya pada kurva merah.

Jadi dilatasi horizontal pada logaritma adalah translasi vertikal, kembaran dari 2.4. Sifat pangkat membuat $\log_b x^n$ menjadi dilatasi vertikal dengan faktor n, dan $\log_b \tfrac{1}{x} = -\log_b x$ menjadi pencerminan terhadap sumbu-x.

Contoh. $\log_2 40 = \log_2 8 + \log_2 5 \approx 3 + 2.3219 = 5.3219$ ; $\log_2 24 - \log_2 3 = \log_2 8 = 3$ ; dan dengan perubahan basis, $\log_3 20 = \dfrac{\ln 20}{\ln 3} \approx 2.7268$ . Setiap fungsi logaritma adalah kelipatan konstan dari $\ln x$ .

2.13 · Persamaan dan pertidaksamaan eksponensial dan logaritma

batalkan, lalu periksa

Untuk menyelesaikan persamaan eksponensial, pisahkan pangkatnya lalu ambil logaritma; untuk menyelesaikan persamaan logaritma, pisahkan lognya lalu eksponenkan. Invers membatalkan fungsinya.

Gambar menyelesaikan $3 \cdot 2^x = c$ untuk setiap taraf c sekaligus: kurva memotong garis biru di $x = \log_2 \tfrac{c}{3}$ . Pada $c = 24$ :

\begin{aligned} 3 \cdot 2^x &= 24 \\ 2^x &= 8 \\ x &= \log_2 8 = 3 \end{aligned}

Pertidaksamaan $3 \cdot 2^x > 24$ hanya membutuhkan arahnya: $2^x$ naik, sehingga berlaku untuk x > 3, bagian sumbu yang merah. Fungsi turun (basis di antara 0 dan 1) membalik tanda pertidaksamaan.

Dengan basis e. $5e^{0.2t} = 20$ memberi $e^{0.2t} = 4$ , sehingga $t = \frac{\ln 4}{0.2} \approx 6.931$ .

Persamaan logaritma. $\log_2 x + \log_2(x - 2) = 3$ digabung menjadi $\log_2\big(x(x - 2)\big) = 3$ , sehingga $x^2 - 2x = 8$ dan x = 4 atau x = −2. Namun −2 berada di luar daerah asal $\log_2 x$ : ia adalah akar palsu. Satu-satunya penyelesaian adalah x = 4. Selalu periksa penyelesaian pada persamaan semula.

Langkah yang sama mencari invers: $y = 3 \cdot 2^x$ memiliki $f^{-1}(x) = \log_2 \tfrac{x}{3}$ .

2.14 · Model logaritma

naik cepat dulu, lalu melambat

Model logaritma $y = a + b\ln x$ cocok untuk besaran yang tumbuh cepat pada awalnya lalu makin lambat, atau besaran yang rasio masukan yang sama menghasilkan selisih keluaran yang sama.

Datanya hipotetis: kecepatan mengetik seorang juru ketik, dalam kata per menit, setelah tiap minggu berlatih. Regresi logaritmik memberi

\hat y = 20.52 + 14.70\ln x

Setiap penggandaan jumlah minggu menambah $14.70 \ln 2 \approx 10.19$ kata per menit: dari minggu 1 ke 2 sebanyak dari minggu 4 ke 8. Prediksi pada minggu ke-10, $\hat y \approx 54.4$ , adalah ekstrapolasi di luar data, yang kurang bisa dipercaya.

Skala logaritmik mengukur banyak besaran nyata, karena nilainya mencakup banyak pangkat 10:

Tingkat bunyi dalam desibel: $L = 10 \log_{10} \tfrac{I}{I_0}$ . Menggandakan intensitas menambah $10\log_{10} 2 \approx 3.01$ dB; mengalikannya dengan 10 menambah 10 dB.
Keasaman: $\text{pH} = -\log_{10}[\text{H}^+]$ . Larutan dengan $[\text{H}^+] = 10^{-3}$ memiliki pH 3; konsentrasi sepuluh kali lipat menurunkan pH sebesar 1.

Model logaritma dan eksponensial saling invers: jika y tumbuh secara eksponensial terhadap x, maka x tumbuh secara logaritmik terhadap y.

2.15 · Plot semi-log

data eksponensial, diluruskan

Plot semi-log mempertahankan sumbu-x linear dan menempatkan y pada skala logaritmik. Di dalamnya, data eksponensial jatuh pada garis lurus.

Ambil logaritma dari model eksponensial $y = a b^x$ :

\log_{10} y = \log_{10} a + x \log_{10} b

Itu adalah garis dalam $\log_{10} y$ , dengan gradien $\log_{10} b$ dan titik potong vertikal $\log_{10} a$ . Basis n > 1 mana pun bekerja dengan cara yang sama.

Jumlah bakteri pada 2.6 (hipotetis) melengkung ke atas pada kertas biasa dan sejajar pada kertas semi-log. Garis yang paling cocok adalah $\log_{10}\hat y = 1.7023 + 0.2030x$ , sehingga

\begin{aligned} a &= 10^{1.7023} \approx 50.39 \\ b &= 10^{0.2030} \approx 1.596 \end{aligned}

Modelnya $\hat y = 50.39(1.596)^x$ : sekitar 60% bakteri lebih banyak setiap jam.

Plot semi-log adalah alat sekaligus uji: data yang membentuk garis lurus bersifat eksponensial; data yang tetap melengkung tidak, dan memerlukan model lain.