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Precalculus · AP Precalculus

बहुपद और परिमेय फलन

अध्याय 1 · बहुपद और परिमेय फलन

निविष्ट बदलने पर निर्गत कैसे बदलते हैं

फलन हर निविष्ट को एक निर्गत से जोड़ता है। पूर्व-कलन पूछता है कि निविष्ट बदलने पर निर्गत कैसे बदलते हैं: कहाँ वे चढ़ते और गिरते हैं, कितनी तेज़ी से, और दूर जाने पर क्या होता है।

आलेख घन फलन $p(x) = \tfrac{1}{2}(x + 2)(x - 1)(x - 3)$ का है। इसके गुणनखंड इसके शून्यक −2, 1, 3 दिखाते हैं, जहाँ यह x-अक्ष से मिलता है। लाल छेदक रेखा इस पर सरकती है; उसकी ढाल अपने अंतराल पर औसत परिवर्तन दर है। [0, 2] पर:

\frac{p(2) - p(0)}{2 - 0} = \frac{-2 - 3}{2} = -2.5

यह अध्याय AP Precalculus की इकाई 1 है, जो परीक्षा की सबसे बड़ी इकाई है (लगभग 30–40%)। यह बहुपद फलनों (x की घातों के योग) और परिमेय फलनों (एक बहुपद दूसरे बहुपद पर) के औज़ार बनाता है: परिवर्तन दरें, शून्यक, अंतिम व्यवहार, अनंतस्पर्शी और छिद्र, रूपांतरण, और अंत में वास्तविक आँकड़ों के मॉडल के लिए कोई फलन चुनना और बनाना।

1.1 · साथ-साथ परिवर्तन

निविष्ट और निर्गत, एक साथ बदलते हुए

फलन f हर निविष्ट x को एक निर्गत f(x) पर भेजता है। निविष्ट बदलने पर निर्गत उसके साथ बदलता है, साथ-साथ। आलेख दोनों एक साथ दिखाता है: निविष्ट x-अक्ष के अनुदिश, निर्गत ऊँचाई के रूप में।

x के चलने पर $f(x) = x^3 - 3x$ पर बिंदु का अनुसरण करें। इसकी धूसर मार्गदर्शक रेखाएँ निविष्ट को नीचे x-अक्ष तक और निर्गत को बगल में y-अक्ष तक ले जाती हैं।

x	−2	−1	0	1	2
f(x)	−2	2	0	−2	2

किसी अंतराल पर f वर्धमान है यदि निविष्टों के बढ़ने पर निर्गत हमेशा बढ़ते हैं: उसमें सभी a < b के लिए, f(a) < f(b)। यह ह्रासमान है यदि निर्गत हमेशा घटते हैं। यहाँ f x < -1 के लिए बढ़ता है (लाल), -1 और 1 के बीच घटता है (नीला), और 1 के बाद फिर बढ़ता है।

निर्गत वहाँ धनात्मक है जहाँ आलेख x-अक्ष के ऊपर है और वहाँ ऋणात्मक है जहाँ वह नीचे है। यह शून्यकों पर चिह्न बदलता है, वे निविष्ट जिनके लिए f(x) = 0 है: यहाँ 0 और ±√3 ≈ ±1.73।

संदर्भ में यही शब्द लागू होते हैं: जब किसी फूलदान में पानी एक स्थिर दर से डाला जाता है, तो गहराई बढ़ती है, जहाँ फूलदान संकरा है वहाँ तेज़ी से और जहाँ चौड़ा है वहाँ धीरे। आयतन के विरुद्ध गहराई का आलेख इस बात की तस्वीर है कि दोनों राशियाँ साथ-साथ कैसे बदलती हैं।

1.2 · परिवर्तन की दरें

छेदक रेखा की ढाल, और किसी बिंदु पर ढाल

[a, b] पर f की औसत परिवर्तन दर निर्गत में परिवर्तन को निविष्ट में परिवर्तन से भाग देने पर मिलती है: (a, f(a)) से (b, f(b)) तक छेदक रेखा की ढाल।

\frac{f(b) - f(a)}{b - a}

किसी बिंदु पर परिवर्तन दर का आसन्न मान उसके आसपास के छोटे-से-छोटे अंतरालों पर औसत परिवर्तन दरों से मिलता है। x = 2 पर $f(x) = \tfrac{1}{2}x^2$ के लिए, [2 − h, 2] (नीला) और [2, 2 + h] (लाल) पर छेदक रेखाएँ लें:

h	1	0.5	0.1	0.01
left	1.5	1.75	1.95	1.995
right	2.5	2.25	2.05	2.005

दोनों स्तंभ दोनों ओर से 2 के निकट आते हैं: x = 2 पर परिवर्तन दर 2 है, बिंदुदार स्पर्श रेखा की ढाल। x = 1 पर यही काम 1 देता है।

दोनों की तुलना: 2 पर दर 1 पर दर से अधिक है, इसलिए x के बढ़ने पर आलेख अधिक तीखा होता जाता है। याद रखने के लिए दो संबंध:

धनात्मक परिवर्तन दर का अर्थ है कि f वहाँ वर्धमान है; ऋणात्मक का अर्थ, ह्रासमान;
जहाँ परिवर्तन दर बढ़ रही हो वहाँ आलेख ऊपर की ओर अवतल होता है (ऊपर की ओर मुड़ता है, जैसे यह); जहाँ घट रही हो, वहाँ नीचे की ओर अवतल।

1.3 · रैखिक और द्विघात फलनों में परिवर्तन दरें

स्थिर परिवर्तन, और ऐसा परिवर्तन जो एकसमान रूप से बदलता है

निविष्ट को बराबर मात्राओं से बढ़ाएँ और निर्गत देखें। परिवर्तनों का पैटर्न रैखिक फलन को द्विघात फलन से अलग पहचानता है।

x	0	1	2	3	4
2x + 1	1	3	5	7	9
change	+2	+2	+2	+2
x² − 4x + 5	5	2	1	2	5
change	−3	−1	+1	+3
परिवर्तन का परिवर्तन	+2	+2	+2

रैखिक: औसत परिवर्तन दर हर अंतराल पर समान है, ढाल, 2। बराबर निविष्ट कदम बराबर निर्गत परिवर्तन देते हैं।

द्विघात: समान लंबाई के क्रमागत अंतरालों पर औसत परिवर्तन दरें −3, −1, 1, 3 हैं। वे स्थिर नहीं हैं, पर वे एक स्थिर दर से बदलती हैं, प्रति कदम 2। 1 के कदमों के साथ $ax^2 + bx + c$ के लिए वह स्थिरांक 2a है।

दरें शीर्ष का स्थान भी बताती हैं। वे x = 2 तक ऋणात्मक हैं (फलन ह्रासमान है) और उसके बाद धनात्मक (वर्धमान), इसलिए निम्नतम बिंदु x = 2 पर है। दरें बढ़ती हैं, इसलिए परवलय ऊपर की ओर अवतल है; a < 0 होने पर वे घटतीं और वह नीचे की ओर अवतल होता।

1.4 · बहुपद फलन और परिवर्तन दरें

मोड़ बिंदु, नति-परिवर्तन बिंदु, वैश्विक चरम

बहुपद फलन $p(x) = a_n x^n + a_{n-1}x^{n-1} + \dots + a_1 x + a_0$ है, जिसमें वास्तविक गुणांक और a_n ≠ 0 है। इसकी घात n है, और a_n प्रमुख गुणांक है। कोई अशून्य अचर घात 0 का बहुपद है।

आलेख $p(x) = \tfrac{1}{4}x^4 - 2x^2 + 1$ का है। लाल रेखा वक्र की ढाल के साथ चलती है, यानी उसकी परिवर्तन दर:

स्थानीय उच्चिष्ठ वहाँ है जहाँ परिवर्तन दर धनात्मक से ऋणात्मक होती है: (0, 1);
स्थानीय निम्निष्ठ, ऋणात्मक से धनात्मक: (−2, −3) और (2, −3);
नति-परिवर्तन बिंदु वहाँ है जहाँ परिवर्तन दर बढ़ने से घटने में या उलटा बदलती है, इसलिए अवतलता बदलती है: x = ±2/√3 ≈ ±1.15 पर।

फलन जो सबसे छोटा मान कभी लेता है, −3, उसका वैश्विक निम्निष्ठ है। सम घात के बहुपद का वैश्विक उच्चिष्ठ या वैश्विक निम्निष्ठ हमेशा होता है (निम्निष्ठ जब a_n > 0, जैसा यहाँ); विषम घात वाले के पास दोनों में से कोई नहीं होता, क्योंकि उसके निर्गत ∞ और −∞ दोनों की ओर भागते हैं।

इसके शून्यक ±(√3 − 1) ≈ ±0.73 और ±(√3 + 1) ≈ ±2.73 हैं। किसी अचर-भिन्न बहुपद के हर दो भिन्न वास्तविक शून्यकों के बीच एक स्थानीय उच्चिष्ठ या निम्निष्ठ होता है: यहाँ −2 पर निम्निष्ठ, 0 पर उच्चिष्ठ, 2 पर निम्निष्ठ।

1.5 · बहुपद फलन और सम्मिश्र शून्यक

घात n के लिए n शून्यक, बहुलता सहित गिने हुए

घात n के बहुपद के बहुलता सहित गिने हुए ठीक n सम्मिश्र शून्यक होते हैं। कुछ वास्तविक हो सकते हैं, कुछ नहीं।

$p(x) = \tfrac{1}{10}(x + 2)^2(x - 1)(x^2 + 1)$ लें, जिसकी घात 2 + 1 + 2 = 5 है। इसके शून्यक:

zero	multiplicity	आलेख पर
−2	2	x-अक्ष को छूता है, काटता नहीं
1	1	x-अक्ष को काटता है
i, −i	प्रत्येक में 1	कोई x-अंतःखंड नहीं: वास्तविक नहीं

a, p का शून्यक तभी है जब (x − a), p(x) का गुणनखंड हो; जब a वास्तविक हो, तब (a, 0) एक x-अंतःखंड है।
यदि (x − a) k बार आता है, तो a की बहुलता k है। सम बहुलता के वास्तविक शून्यक पर आलेख अक्ष को छूकर लौट जाता है; विषम बहुलता पर वह उसे काटता है।
वास्तविक गुणांकों के साथ, अवास्तविक शून्यक संयुग्मी युग्मों में आते हैं: यदि a + bi शून्यक है, तो a − bi भी है।

आकृति अंतिम गुणनखंड को $x^2 + q$ से बदल देती है और q को सरकाती है। q < 0 के लिए इसके शून्यक ±√(−q) वास्तविक हैं, दो लाल x-अंतःखंड; वे q = 0 पर मिलते हैं और फिर साथ-साथ वास्तविक अक्ष से निकल जाते हैं, काल्पनिक अक्ष पर ऊपर और नीचे ±i√q के रूप में। घात, और शून्यकों की संख्या, कभी नहीं बदलती।

सम और विषम फलन। f सम है यदि हर x के लिए f(−x) = f(x) (y-अक्ष के प्रति सममित), जैसे 1.4 का $\tfrac{1}{4}x^4 - 2x^2 + 1$ ; विषम है यदि f(−x) = −f(x) (मूलबिंदु के प्रति सममित), जैसे 1.1 का $x^3 - 3x$ । केवल सम घातों वाला बहुपद सम होता है; केवल विषम घातों वाला, विषम।

1.6 · बहुपद फलन और अंतिम व्यवहार

दूर जाने पर, केवल प्रमुख पद मायने रखता है

किसी फलन का अंतिम व्यवहार यह है कि x → ∞ और x → −∞ पर उसके निर्गत क्या करते हैं। बहुपद के लिए यह केवल प्रमुख पद से तय होता है।

लाल वक्र $p(x) = -x^3 + 3x^2 + x - 3 = -(x + 1)(x - 1)(x - 3)$ है। जिस खिड़की में वह रखा है, वह अपने आकार के 12 गुना तक बढ़ती है और वापस आती है: अक्षों की संख्याएँ देखें। दूर करने पर शून्यक मूलबिंदु में सिमट जाते हैं, लहरें गायब हो जाती हैं, और वक्र अपने प्रमुख पद $-x^3$ (नीला) पर आ बैठता है। x = 48 पर, p(x), −x³ का 0.937 गुना है।

\begin{aligned} \lim_{x\to\infty} p(x) &= -\infty \\ \lim_{x\to -\infty} p(x) &= \infty \end{aligned}

	a_n > 0	a_n < 0
n सम	दोनों सिरों पर ऊपर	दोनों सिरों पर नीचे
n विषम	बाईं ओर नीचे, दाईं ओर ऊपर	बाईं ओर ऊपर, दाईं ओर नीचे

कारण: $p(x) = -x^3\left(1 - \tfrac{3}{x} - \tfrac{1}{x^2} + \tfrac{3}{x^3}\right)$ , और कोष्ठक में 1 के बाद का हर पद |x| के बढ़ने पर 0 की ओर घटता है। सीमा संकेतन को ऐसे पढ़ें: “जैसे-जैसे x बिना किसी सीमा के बढ़ता है, p(x) बिना किसी सीमा के घटता है।”

1.7 · परिमेय फलन और अंतिम व्यवहार

प्रमुख पदों का अनुपात

परिमेय फलन बहुपदों का अनुपात है, $r(x) = \dfrac{p(x)}{q(x)}$ , जिसमें q शून्य बहुपद नहीं है। दूर जाने पर हर बहुपद अपने प्रमुख पद की तरह व्यवहार करता है, इसलिए r दोनों के अनुपात की तरह व्यवहार करता है।

degrees	क्षैतिज अनंतस्पर्शी	दूर जाने पर
अंश < हर	y = 0	3x/(x² + 1) ≈ 3/x → 0
अंश = हर	y = प्रमुख गुणांकों का अनुपात	(2x² − 1)/(x² + 2) ≈ 2x²/x² = 2
अंश > हर	कोई नहीं; बहुपद की तरह व्यवहार करता है	(x² + x + 1)/(x − 1) ≈ x²/x = x

हर पत्रक में लाल और नीले बिंदु −∞ और ∞ की ओर दौड़ते हैं, और लाल बिंदुदार रेखा के अनुदिश बस जाते हैं। समान घातों के साथ, $r(100) = 1.9995$ : 2 के निकट, नीचे से कभी ठीक वहाँ नहीं पहुँचता।

\lim_{x\to\pm\infty} \frac{2x^2 - 1}{x^2 + 2} = 2

जब अंश की घात हर की घात से ठीक एक अधिक हो, तो आलेख एक तिर्यक अनंतस्पर्शी के निकट पहुँचता है, भाग देकर पाई गई रेखा y = mx + b (1.11)। यहाँ यह y = x + 2 है। आलेख क्षैतिज या तिर्यक अनंतस्पर्शी को काट सकता है; अनंतस्पर्शी केवल सिरों का वर्णन करता है।

1.8 · परिमेय फलन और शून्यक

जहाँ अंश शून्य है और हर नहीं

$r(x) = \dfrac{p(x)}{q(x)}$ के वास्तविक शून्यक अंश p के वे वास्तविक शून्यक हैं जो r के प्रांत में हैं: वे निविष्ट जहाँ p 0 है और q नहीं।

$r(x) = \dfrac{(x + 2)(x - 1)}{(x + 1)(x - 3)}$ के लिए शून्यक −2 and 1 हैं। निविष्ट −1 and 3 प्रांत में नहीं हैं: वहाँ हर 0 है, और आलेख में ऊर्ध्वाधर अनंतस्पर्शी हैं (1.9)।

निर्गत का चिह्न केवल शून्यक पर या वहाँ बदल सकता है जहाँ r अपरिभाषित है। इसलिए वे चार निविष्ट संख्या रेखा को अंतरालों में काट देते हैं, और हर में एक परीक्षण निविष्ट पूरे अंतराल का चिह्न बता देता है:

interval	x < −2	−2 < x < −1	−1 < x < 1	1 < x < 3	x > 3
परीक्षण x	−3	−1.5	0	2	4
r(x)	0.33	−0.56	0.67	−1.33	3.6
sign	+	−	+	−	+

इससे असमिकाएँ हल होती हैं। $r(x) \ge 0$ वहाँ जहाँ आलेख अक्ष पर या उसके ऊपर है, लाल: x ≤ −2, या −1 < x ≤ 1, या x > 3। शून्यक शामिल हैं (वहाँ r = 0); अनंतस्पर्शी कभी नहीं।

अंश का वह शून्यक जो हर का भी शून्यक हो, r का शून्यक नहीं होता। वह एक छिद्र या अनंतस्पर्शी होता है (1.10)।

1.9 · परिमेय फलन और ऊर्ध्वाधर अनंतस्पर्शी

जहाँ हर शून्य है, और शून्य ही रहता है

यदि a हर का वास्तविक शून्यक है और अंश का नहीं, या हर का शून्यक है जिसकी बहुलता अधिक है, तो रेखा x = a, r का ऊर्ध्वाधर अनंतस्पर्शी है। उसके निकट निर्गत बिना किसी सीमा के बढ़ते हैं।

$r(x) = \dfrac{4}{(x + 1)(x - 2)^2}$ के लिए हर −1 and 2 पर 0 है, और अंश कभी नहीं:

x	−1.01	−0.99	1.99	2.01
r(x)	−44	45	13378	13289

\begin{aligned} \lim_{x\to -1^-} r(x) &= -\infty \\ \lim_{x\to -1^+} r(x) &= \infty \\ \lim_{x\to 2^\pm} r(x) &= \infty \end{aligned}

हर ओर का चिह्न गुणनखंडों से आता है। x = −1 के निकट गुणनखंड x + 1 चिह्न बदलता है, इसलिए दोनों पक्ष उलटी दिशाओं में जाते हैं। x = 2 के निकट गुणनखंड का वर्ग है, दोनों ओर धनात्मक, इसलिए दोनों पक्ष ऊपर जाते हैं। विषम बहुलता: उलटी दिशाएँ; सम: वही दिशा।

$\lim_{x\to a^+}$ का अर्थ है कि x, a से बड़े मानों से होकर, दाईं ओर से a के निकट आता है; $\lim_{x\to a^-}$ , बाईं ओर से।

1.10 · परिमेय फलन और छिद्र

एक गुणनखंड जो कट जाता है

यदि a अंश और हर दोनों का शून्यक है, और अंश में उसकी बहुलता हर में बहुलता से कम नहीं है, तो आलेख में x = a पर एक छिद्र होता है: एक अकेला गायब बिंदु।

\begin{aligned} r(x) &= \frac{x^2 + x - 6}{x^2 - x - 2} \\ &= \frac{(x - 2)(x + 3)}{(x - 2)(x + 1)} \\ &= \frac{x + 3}{x + 1}, \quad x \ne 2 \end{aligned}

गुणनखंड x − 2 कट जाता है, एक बार ऊपर और एक बार नीचे, इसलिए x = 2 एक छिद्र है। इसकी ऊँचाई वह मान है जो सरल रूप वहाँ देता है, जो वही सीमा भी है जिसके निकट दोनों पक्ष पहुँचते हैं:

\lim_{x\to 2} r(x) = \frac{2 + 3}{2 + 1} = \frac{5}{3}

गुणनखंड x + 1 नहीं कटता, इसलिए x = -1 एक ऊर्ध्वाधर अनंतस्पर्शी है; x + 3 ऊपर बचता है, इसलिए x = -3 ही एकमात्र शून्यक है। ध्यान दें कि 2 शून्यक नहीं है, भले ही वह अंश को 0 बनाता है।

यदि हर में बहुलता अधिक हो, तो काटने के बाद नीचे एक गुणनखंड बच जाता है, और परिणाम छिद्र नहीं, अनंतस्पर्शी होता है: $\dfrac{x - 2}{(x - 2)^2} = \dfrac{1}{x - 2}$ का x = 2 पर ऊर्ध्वाधर अनंतस्पर्शी है।

1.11 · बहुपद और परिमेय व्यंजकों के तुल्य निरूपण

गुणनखंडित, मानक, भाग किया हुआ, प्रसारित

एक ही फलन को कई तरह से लिखा जा सकता है। हर रूप कुछ ऐसा दिखाता है जो बाकी छिपा लेते हैं।

मानक रूप $x^3 - 2x^2 - 5x + 6$ प्रमुख पद (अंतिम व्यवहार) और y-अंतःखंड, 6, दिखाता है।
गुणनखंडित रूप $(x + 2)(x - 1)(x - 3)$ शून्यक दिखाता है, और परिमेय फलन में अनंतस्पर्शी और छिद्र।

बहुपद दीर्घ विभाजन परिमेय फलन को एक बहुपद और शेषफल भिन्न के योग के रूप में लिखता है। $x^2 + x + 1$ को $x - 1$ से भाग दें: x(x − 1) से x² − x घटता है, शेष 2x + 1 रहता है; 2(x − 1) से 2x − 2 घटता है, शेष 3 रहता है।

\begin{gathered} x^2 + x + 1 = (x - 1)(x + 2) + 3 \\ \frac{x^2 + x + 1}{x - 1} = x + 2 + \frac{3}{x - 1} \end{gathered}

|x| के बढ़ने पर शेषफल पद (नीला अंतर) 0 की ओर घटता है, इसलिए भागफल y = x + 2 तिर्यक अनंतस्पर्शी है। सामान्यतः, यदि p = q·s + t है, तो p/q = s + t/q। शेषफल 0 होने का अर्थ है कि भाजक एक गुणनखंड है।

द्विपद प्रमेय $(a + b)^n$ को पास्कल त्रिभुज की पंक्ति n की संख्याओं से प्रसारित करता है, जिनमें से हर एक अपने ऊपर की दो संख्याओं का योग है:

(a + b)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} a^{n-k} b^k

पंक्ति 3 1, 3, 3, 1 है, इसलिए $(x + 2)^3 = x^3 + 3x^2(2) + 3x(2)^2 + 2^3 = x^3 + 6x^2 + 12x + 8$ ।

1.12 · फलनों के रूपांतरण

खिसकाव, खिंचाव और परावर्तन

मूल फलन f के आलेख को खिसकाकर और खींचकर नया फलन बनाया जा सकता है। लाल आलेख $g(x) = a\,f\big(b(x - h)\big) + k$ है, जो [−2, 2] पर धूसर $f(x) = x^3 - 3x$ से बना है; आकृति h, k, a और b को एक-एक करके बदलती है।

form	f का आलेख है
f(x) + k	k से ऊर्ध्वाधर स्थानांतरित (k > 0 हो तो ऊपर)
f(x − h)	h से क्षैतिज स्थानांतरित (h > 0 हो तो दाईं ओर); f(x + h) उसे बाईं ओर ले जाता है
a·f(x)	\|a\| से ऊर्ध्वाधर प्रसारित; a < 0 हो तो x-अक्ष में परावर्तित
f(bx)	1/\|b\| से क्षैतिज प्रसारित; b < 0 हो तो y-अक्ष में परावर्तित

योगात्मक परिवर्तन स्थानांतरित करते हैं; गुणात्मक परिवर्तन प्रसारित करते हैं। f के बाहर के परिवर्तन निर्गतों पर काम करते हैं और वही करते हैं जो वे कहते हैं; भीतर के परिवर्तन निविष्टों पर काम करते हैं और उलटा करते हैं: x − 1.5 दाईं ओर खिसकाता है, और b = 2 आलेख को उसकी आधी चौड़ाई तक दबा देता है।

प्रांत और परिसर आलेख के साथ खिसकते हैं। आकृति के चलने के अंत में, h = 1.5, k = 1, a = 1.5, b = 2:

g(x) = 1.5\,f\big(2(x - 1.5)\big) + 1

प्रांत [−2, 2] को 1/2 से दबाया और 1.5 खिसकाया गया है: [0.5, 2.5]। परिसर [−2, 2] को 1.5 से खींचा और 1 ऊपर खिसकाया गया है: [−2, 4]। अक्षों पर नीली पट्टियाँ दोनों दिखाती हैं।

1.13 · फलन मॉडल का चयन और मान्यताओं का कथन

कौन-सा फलन बैठता है, और किस प्रांत पर

आँकड़ों का मॉडल बनाने के लिए वह फलन चुनें जिसके परिवर्तन का पैटर्न आँकड़ों से मेल खाता हो, फिर मान्यताएँ और वह प्रांत बताएँ जिस पर मॉडल का अर्थ बनता है।

एक गेंद ऊपर की ओर फेंकी जाती है; उसकी ऊँचाई हर सेकंड मापी जाती है (काल्पनिक आँकड़े):

t (s)	0	1	2	3	4
h (m)	1	16	21	16	1
change	15	5	−5	−15
परिवर्तन का परिवर्तन	−10	−10	−10

प्रथम अंतर स्थिर नहीं हैं, इसलिए रैखिक मॉडल गलत है: पहले दो बिंदुओं से गुज़रती बिंदुदार रेखा t = 4 पर 61 m का अनुमान देती है जबकि मापा गया 1 m है। द्वितीय अंतर स्थिर हैं, −10, इसलिए द्विघात ठीक बैठता है:

h(t) = -5t^2 + 20t + 1

रैखिक: लगभग स्थिर परिवर्तन दर;
द्विघात: दरें लगभग स्थिर दर से बदलती हुई, या आँकड़े जो चढ़कर एक चरम मान के प्रति सममित रूप से गिरते हैं;
घन या उच्चतर: अधिक मोड़, या ऐसी दरें जिनकी अपनी दर बदलती है;
खंडशः: निविष्ट के अलग-अलग खंडों पर अलग पैटर्न;
परिमेय: ऐसी राशियाँ जो व्युत्क्रमानुपाती हैं, या किसी मान की ओर समतल होती जाती हैं।

मान्यताएँ। यह मॉडल वायु प्रतिरोध की उपेक्षा करता है और केवल तब तक मान्य है जब तक गेंद हवा में है: फेंकने से लेकर h(t) = 0 होने तक, 0 ≤ t ≤ 4.05। उस प्रांत के बाहर इसके निर्गतों (ऋणात्मक ऊँचाइयों) का कोई अर्थ नहीं।

1.14 · फलन मॉडल का निर्माण और अनुप्रयोग

स्थिति से फलन तक, और वापस

मॉडल बनाने का अर्थ है निविष्ट का नाम तय करना, स्थिति की ज्यामिति या नियमों से निर्गत को उसके पदों में लिखना, और वह प्रांत खोजना जो स्थिति की अनुमति देती है। फिर मॉडल प्रश्नों के उत्तर देता है।

12 × 8 इंच की एक शीट के हर कोने से x × x का वर्ग काटें और किनारे मोड़ दें। डिब्बे की गहराई x, लंबाई 12 − 2x और चौड़ाई 8 − 2x है:

\begin{gathered} V(x) = x(12 - 2x)(8 - 2x) \\ 0 < x < 4 \end{gathered}

प्रांत स्थिति से आता है: कटाव का आकार धनात्मक होना चाहिए, और 8-इंच वाला किनारा x = 4 पर समाप्त हो जाता है। घन फलन का अन्य व्यवहार (उसके आगे ऋणात्मक आयतन) मॉडल के बाहर है।

सबसे बड़ा डिब्बा: आलेख (या कैलकुलेटर) से, उच्चिष्ठ x ≈ 1.57 in पर है, V ≈ 67.6 in³।
60 in³ का डिब्बा: V(x) = 60 हल करें। एक हल यथार्थ है, x = 1: 1 · 10 · 6 = 60। दूसरा x ≈ 2.21 है।

अन्य मॉडल इसी तरह बनते हैं। घात n का बहुपद भिन्न निविष्टों वाले n + 1 बिंदुओं से गुज़ारा जा सकता है; परिमेय मॉडल अनुपात के लिए उपयुक्त है, जैसे औसत लागत $C(n) = \dfrac{500 + 3n}{n}$ डॉलर प्रति वस्तु, जिसका क्षैतिज अनंतस्पर्शी, 3, वह प्रति वस्तु लागत है जब स्थिर $500 बहुत पतला बँट जाए। उत्तर हमेशा स्थिति की इकाइयों में बताएँ, और उन्हें उसकी सीमाओं से जाँचें।

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