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Precalculus · AP Precalculus

चरघातांकी और लघुगणकीय फलन

अध्याय 2 · चरघातांकी और लघुगणकीय फलन

गुणा करके बढ़ना

कुछ राशियाँ हर चरण में एक ही मात्रा जोड़ने से बढ़ती हैं। कुछ अन्य राशियाँ हर चरण में एक ही गुणक से गुणा होने से बढ़ती हैं। दूसरी तरह की राशि धीरे शुरू होती है और फिर हर सरल रेखा को पीछे छोड़ देती है।

नीला वक्र $y = 2^x$ है: दाईं ओर 1 का हर कदम ऊँचाई को दोगुना कर देता है, x = −2 पर 0.25 से x = 3 पर 8 तक। लाल वक्र इसे उलट देता है। $y = \log_2 x$ पूछता है कि 2 की कौन-सी घात x देती है, इसलिए यह 8 को वापस 3 बना देता है।

2^3 = 8 \iff \log_2 8 = 3

दोनों वक्र बिंदुदार रेखा $y = x$ के आर-पार एक-दूसरे के दर्पण प्रतिबिंब हैं: एक पर बिंदु (x, 2^x) दूसरे पर (2^x, x) है।

यह अध्याय अनुक्रमों से चरघातांकी फलनों और उनके मॉडलों तक जाता है, फिर संयोजन और प्रतिलोम के रास्ते लघुगणकों, उनसे हल होने वाले समीकरणों और उन अर्ध-लघुगणकीय आलेखों तक पहुँचता है जो चरघातांकी आँकड़ों को सीधी रेखा में बदल देते हैं। यह AP Precalculus की इकाई 2 है।

2.1 · समांतर और गुणोत्तर अनुक्रम

जोड़ना, या गुणा करना

अनुक्रम एक ऐसा फलन है जिसके निविष्ट पूर्ण संख्याएँ n हैं। समांतर अनुक्रम में हर पद एक ही सार्व अंतर d जोड़ता है; गुणोत्तर अनुक्रम में हर पद एक ही सार्व अनुपात r से गुणा होता है।

a_n = a_0 + dn \qquad\qquad g_n = g_0\, r^n

नीले बिंदु $a_n = 2 + 3n$ हैं और लाल बिंदु $g_n = 2(1.5)^n$ । दोनों 2 से शुरू होते हैं। समांतर अनुक्रम हर चरण में 3 चढ़ता है; गुणोत्तर अनुक्रम हर बार और अधिक चढ़ता है, और n = 6 तक यह आगे निकल जाता है।

n	0	1	2	3	4	5	6
a_n	2	5	8	11	14	17	20
g_n	2	3	4.5	6.75	10.13	15.19	22.78

कोई भी ज्ञात पद आरंभ बिंदु का काम कर सकता है: $a_n = a_k + d(n - k)$ और $g_n = g_k\, r^{\,n-k}$ । उदाहरण। यदि $a_2 = 8$ और $a_5 = 17$ हैं, तो अंतर $d = \frac{17 - 8}{5 - 2} = 3$ है। यदि $g_1 = 3$ और $g_4 = 10.125$ हैं, तो $r^3 = 3.375$ , अतः r = 1.5।

यही दोनों पैटर्न, पूर्ण चरणों की जगह हर वास्तविक निविष्ट के लिए, रैखिक और चरघातांकी फलन हैं।

2.2 · रैखिक और चरघातांकी परिवर्तन

समान चरण निविष्ट पर, समान अंतर या समान अनुपात निर्गत पर

समान लंबाई के निविष्ट अंतरालों पर रैखिक फलन समान अंतर से बदलता है; चरघातांकी फलन समान अनुपात से बदलता है। रैखिक परिवर्तन योगात्मक होता है, चरघातांकी परिवर्तन गुणात्मक।

खिड़की [x, x + 1] को दोनों वक्रों पर सरकाएँ। $f(x) = 2 + 3x$ पर उत्थान हमेशा 3 रहता है। $g(x) = 2(1.5)^x$ पर उत्थान बढ़ता जाता है, पर दोनों ऊँचाइयों का अनुपात हमेशा 1.5 रहता है:

\begin{gathered} f(x + 1) - f(x) = 3 \\ \frac{g(x + 1)}{g(x)} = 1.5 \end{gathered}

ये रूप एक ही बात कहते हैं। $f(x) = b + mx$ b से शुरू होकर प्रति इकाई m जोड़ता है; $g(x) = a r^x$ a से शुरू होकर प्रति इकाई r से गुणा करता है। समांतर अनुक्रम पूर्ण संख्याओं पर रैखिक फलन हैं, और गुणोत्तर अनुक्रम चरघातांकी फलन।

लंबाई 2 के अंतराल पर रैखिक फलन 6 जोड़ता है, जो 3 का दोगुना है, जबकि चरघातांकी फलन $1.5^2 = 2.25$ से गुणा करता है। दो बिंदु दिए होने पर रैखिक मॉडल $f(x) = y_i + m(x - x_i)$ होता है और चरघातांकी मॉडल $g(x) = y_i\, r^{\,x - x_i}$ ।

2.3 · चरघातांकी फलन

a·bˣ, और b क्या तय करता है

चरघातांकी फलन का रूप $f(x) = a b^x$ होता है, जिसमें प्रारंभिक मान a ≠ 0 और आधार b > 0, b ≠ 1 है। इसका आलेख (0, a) से गुज़रता है।

लाल वक्र $y = b^x$ है, जब b 2 से घटकर 1 से होता हुआ $\tfrac{1}{2}$ तक जाता है और वापस आता है। a > 0 के लिए:

b > 1: चरघातांकी वृद्धि, हमेशा बढ़ता हुआ; $x \to \infty$ पर $f(x) \to \infty$ और $x \to -\infty$ पर $f(x) \to 0$ ।
0 < b < 1: चरघातांकी ह्रास, हमेशा घटता हुआ; अंतिम व्यवहार उलट जाता है।
प्रांत: सभी वास्तविक संख्याएँ। परिसर: y > 0। रेखा y = 0 एक क्षैतिज अनंतस्पर्शी है।
हमेशा ऊपर की ओर अवतल, कोई चरम बिंदु नहीं और कोई नति-परिवर्तन बिंदु नहीं।

b = 1 पर वक्र समतल रेखा y = 1 बन जाता है, इसीलिए 1 को आधार के रूप में नहीं लिया जाता। यदि a < 0 हो, तो आलेख अक्ष के नीचे पलट जाता है और उसकी अवतलता उलट जाती है।

उदाहरण। $f(x) = 3\left(\tfrac{1}{2}\right)^x$ , 3 से शुरू होता है और हर इकाई पर आधा हो जाता है: $f(2) = 3 \cdot \tfrac{1}{4} = 0.75$ । जैसे-जैसे x बढ़ता है, यह 0 के निकट पहुँचता है पर उसे कभी छूता नहीं।

2.4 · चरघातांकी व्यंजकों में हेर-फेर

खिसकाना भी खींचना है

घातांक के नियम किसी चरघातांकी फलन को तुल्य रूपों में लिखते हैं, और हर रूप आलेख के बारे में कुछ अलग दिखाता है।

गुणनफल	$b^m b^n = b^{m+n}$
घात	$(b^m)^n = b^{mn}$
ऋणात्मक घातांक	$b^{-n} = \dfrac{1}{b^n}$
परिमेय घातांक	$b^{1/k} = \sqrt[k]{b}$

गुणनफल नियम से, $2^{x+k} = 2^k \cdot 2^x$ । इसलिए $y = 2^x$ को बाईं ओर k खिसकाने (नीला) पर ठीक वही वक्र मिलता है जो उसे ऊर्ध्वाधर दिशा में $2^k$ से खींचने (लाल) पर। आकृति में k 0 से 2 तक बदलता है: बिंदु (1, 2) बाईं ओर सरककर (1 − k, 2) पर पहुँचता है और ऊपर उठकर (1, $2^{1+k}$ ) हो जाता है, और दोनों लाल वक्र पर आ जाते हैं।

2^{x+3} = 2^3 \cdot 2^x = 8 \cdot 2^x

किसी चरघातांकी फलन का क्षैतिज स्थानांतरण हमेशा ऊर्ध्वाधर प्रसरण होता है। अन्य नियम और भी बताते हैं: $\left(\tfrac{1}{2}\right)^x = 2^{-x}$ , $2^x$ का y-अक्ष में परावर्तन है, और $8^{x/3} = (8^{1/3})^x = 2^x$ । हर चरघातांकी फलन को 1 के अतिरिक्त किसी भी धनात्मक आधार में लिखा जा सकता है, प्राकृतिक आधार e ≈ 2.7183 सहित।

2.5 · चरघातांकी मॉडल

स्थिर प्रतिशत परिवर्तन

चरघातांकी मॉडल उस राशि पर बैठता है जो समान समय में एक ही अनुपात से बदलती है: कोई जनसंख्या, कोई निवेश, कोई रेडियोधर्मी नमूना।

कार्बन-14 की अर्ध-आयु 5,730 वर्ष है: हर 5,730 वर्ष में बचे हुए का आधा क्षय हो जाता है। t को वर्षों में लेने पर शेष प्रतिशत है

C(t) = 100\left(\tfrac{1}{2}\right)^{t/5730}

प्रति-इकाई रूप में लिखने पर वार्षिक गुणक मिलता है: $\left(\tfrac{1}{2}\right)^{1/5730} \approx 0.999879$ । जिस नमूने में 30% बचा हो, वह लगभग 9,953 वर्ष पुराना है, यानी एक और दो अर्ध-आयु के बीच (2.13 में दिखाया गया है कि t कैसे हल करें)।

संदर्भ से अन्य रूप मिलते हैं:

प्रतिशत दर r: $f(t) = a(1 + r)^t$ (वृद्धि) या $a(1 - r)^t$ (ह्रास)।
चक्रवृद्धि साल में n बार: 6% मासिक पर 10 वर्ष के लिए $1,000 बढ़कर $1000\left(1 + \tfrac{0.06}{12}\right)^{120} \approx 1819.40$ होता है; सतत चक्रवृद्धि पर $1000e^{0.06(10)} \approx 1822.12$ ।
दो बिंदु मॉडल $y = y_i\, b^{\,x - x_i}$ तय कर देते हैं। 1,200 की एक काल्पनिक बस्ती जो 4 वर्ष में 1,500 हो जाती है, उसमें $b = \left(\tfrac{1500}{1200}\right)^{1/4} \approx 1.0574$ होता है: प्रति वर्ष 5.74% वृद्धि।
आँकड़े: कैलकुलेटर पर चरघातांकी समाश्रयण वे a और b खोजता है जो प्रकीर्ण आलेख में सबसे अच्छा बैठते हैं।

मॉडल उतना ही अच्छा होता है जितनी उसकी मान्यताएँ: वह आँकड़ों के बाहर बैठना बंद कर सकता है, या तब जब कोई वास्तविक सीमा (भोजन, स्थान) आ जाए।

2.6 · मॉडल चुनना: अवशिष्ट

मॉडल ने क्या छोड़ दिया

अवशिष्ट वास्तविक मान में से मॉडल द्वारा अनुमानित मान घटाने पर मिलता है। मॉडल तब उपयुक्त होता है जब उसके अवशिष्ट आलेख में कोई पैटर्न न दिखे।

\text{residual} = y - \hat y

गणनाएँ काल्पनिक हैं: हर घंटे गिनी गई एक जीवाणु संवर्धन की संख्या। उन पर दो मॉडल बैठाए गए हैं: न्यूनतम वर्ग रेखा $\hat y = -62.18 + 123.11x$ (नीला) और चरघातांकी $\hat y = 50.39(1.596)^x$ (लाल)।

hour	0	1	2	3	4	5	6
count	52	77	131	202	322	532	834
रैखिक अवशिष्ट	114	16	−53	−105	−108	−21	158
चरघातांकी अवशिष्ट	2	−3	3	−3	−5	10	1

रेखा के अवशिष्ट धनात्मक, ऋणात्मक, फिर दोबारा धनात्मक चलते हैं: U आकार, यानी वक्रता का वह चिह्न जिसे रेखा नहीं पकड़ सकती। चरघातांकी के अवशिष्ट 0 के ऊपर-नीचे बिना किसी पैटर्न के बिखरे हैं, इसलिए चरघातांकी मॉडल बेहतर विकल्प है।

चिह्न सीधे पढ़ा जाता है: धनात्मक अवशिष्ट का अर्थ है कि मॉडल वहाँ कम आँकता है, ऋणात्मक का अर्थ है कि वह अधिक आँकता है। घंटा 3 पर रेखा 307 अनुमान लगाती है जबकि वास्तविक 202 है, यानी 105 का अधिक आकलन।

2.7 · फलनों का संयोजन

एक फलन का निर्गत, अगले का निविष्ट

संयोजन $f(g(x))$ , जिसे $(f \circ g)(x)$ भी लिखा जाता है, पहले g और फिर उसके परिणाम पर f लगाता है।

यहाँ $g(x) = x - 1$ और $f(x) = 2^x$ हैं। बिंदुओं का अनुसरण नीचे की ओर करें: ऊपर की रेखा पर x, फिर g(x), यानी एक कम, फिर 2 की वह घात।

x = 3 \;\xrightarrow{\;g\;}\; 2 \;\xrightarrow{\;f\;}\; 2^{2} = 4

अतः $f(g(x)) = 2^{x-1}$ । दूसरा क्रम एक अलग फलन है: $g(f(x)) = 2^x - 1$ , और $g(f(3)) = 7$ , न कि 4। सामान्यतः $f(g(x)) \ne g(f(x))$ ।

$f(g(x))$ का प्रांत g के उन निविष्टों का समुच्चय है जिनके निर्गत f के प्रांत में हों।
तत्समक फलन $I(x) = x$ कुछ नहीं बदलता: $f(I(x)) = I(f(x)) = f(x)$ ।
रूपांतरण संयोजन ही हैं: $f(x - 1)$ निविष्ट के योगात्मक विस्थापन के साथ f का संयोजन है, $3f(x)$ f के बाद 3 से गुणा का संयोजन है।
किसी फलन का वियोजन उन खंडों को खोजता है जिन्हें संयोजित करना है: $h(x) = (x^2 + 1)^3$ , $g(x) = x^2 + 1$ और $f(x) = x^3$ के साथ $f(g(x))$ है।

संयोजन सारणियों या आलेखों से भी पढ़े जा सकते हैं: g(x) खोजें, फिर उस मान को f के निविष्ट के रूप में देखें।

2.8 · प्रतिलोम फलन

किसी फलन को पलटना

किसी फलन का प्रतिलोम $f^{-1}$ उसे उलट देता है: यदि $f(a) = b$ तो $f^{-1}(b) = a$ , और $f^{-1}(f(x)) = f(f^{-1}(x)) = x$ ।

निविष्ट और निर्गत की अदला-बदली आलेख को $y = x$ के आर-पार परावर्तित करती है: f पर बिंदु (a, b) $f^{-1}$ पर (b, a) बन जाता है। f का प्रांत $f^{-1}$ का परिसर बन जाता है, और परिसर उसका प्रांत।

प्रतिलोम फलन तभी होता है जब f एकैकी हो: हर निर्गत केवल एक निविष्ट से आए। नीली रेखा $y = c$ पूरे परवलय $y = x^2$ को $x = \pm\sqrt{c}$ पर दो बार काटती है, इसलिए $x^2$ का सभी वास्तविक संख्याओं पर कोई प्रतिलोम नहीं है। प्रांत को सीमित करने पर x ≥ 0 में वह आधा भाग बचता है जहाँ वह एकैकी है, और वहाँ प्रतिलोम $f^{-1}(x) = \sqrt{x}$ (लाल) है।

प्रतिलोम खोजना। $y = 3x - 4$ लिखें, x और y की अदला-बदली करें, और y के लिए हल करें:

x = 3y - 4 \implies f^{-1}(x) = \frac{x + 4}{3}

जाँच: $f(3) = 5$ और $f^{-1}(5) = \frac{5 + 4}{3} = 3$ । प्रतिलोम f को चरण-दर-चरण उलटे क्रम में पलटता है: 4 जोड़ें, फिर 3 से भाग दें।

2.9 · लघुगणकीय व्यंजक

वह घातांक जो पूछा गया है

लघुगणक $\log_b c$ वह घातांक a है जो आधार b को c बना देता है, b > 0, b ≠ 1 और c > 0 के लिए:

\log_b c = a \iff b^a = c

व्यंजक	$\log_{5} 125$	$\log_{2} \tfrac{1}{16}$	$\log_{10} 1000$	$\log_{3} 1$
क्योंकि	$5^{3} = 125$	$2^{-4} = \tfrac{1}{16}$	$10^{3} = 1000$	$3^{0} = 1$
मान	3	−4	3	0

दो आधारों के अपने नाम हैं: साधारण लघुगणक $\log x$ का आधार 10 है, और प्राकृतिक लघुगणक $\ln x$ का आधार e है। हमेशा $\log_b 1 = 0$ और $\log_b b = 1$ ।

आकृति में मान $c = 10^u$ लघुगणकीय पैमाने (लाल) पर रखे गए हैं, अपने घातांकों $u = \log_{10} c$ (नीला) के नीचे। पैमाने पर समान लंबाइयाँ समान अनुपात होती हैं: 1 से 10, 10 से 100 और 100 से 1000 तक की दूरी समान है। इसी तरह लघुगणकीय पैमाना बहुत भिन्न आकार के मानों को एक रेखा पर समेट लेता है।

अनुमान पास की घातों से मिलते हैं: 50 10 और 100 के बीच है, इसलिए $\log_{10} 50$ 1 और 2 के बीच है; यह 1.699 है।

2.10 · चरघातांकी फलनों के प्रतिलोम

लघुगणक bˣ को पलट देता है

$f(x) = b^x$ एकैकी है, इसलिए उसका प्रतिलोम है, और वह प्रतिलोम लघुगणक $f^{-1}(x) = \log_b x$ है।

$y = 2^x$ की सारणी की हर पंक्ति की अदला-बदली करें तो $y = \log_2 x$ की सारणी बन जाती है। आकृति में लाल बिंदु ठीक यही करते हैं: हर (x, 2^x) $y = x$ के आर-पार उड़कर (2^x, x) पर पहुँचता है।

x	−2	−1	0	1	2	3
2^x	0.25	0.5	1	2	4	8

x	0.25	0.5	1	2	4	8
log₂ x	−2	−1	0	1	2	3

इस तरह दोनों फलन अपनी विशेषताएँ आपस में बदल लेते हैं। $b^x$ का प्रांत सभी वास्तविक संख्याएँ, परिसर y > 0 और क्षैतिज अनंतस्पर्शी y = 0 है; $\log_b x$ का प्रांत x > 0, परिसर सभी वास्तविक संख्याएँ और ऊर्ध्वाधर अनंतस्पर्शी x = 0 है। हर एक दूसरे को पलट देता है:

\log_b\left(b^x\right) = x \quad\text{for all } x, \qquad b^{\log_b x} = x \quad\text{for } x > 0

आधार e के लिए $e^x$ और $\ln x$ प्रतिलोम हैं: $\ln e^{3} = 3$ और $e^{\ln 50} = 50$ ।

2.11 · लघुगणकीय फलन

निविष्ट को गुणा करें, निर्गत में जोड़ें

लघुगणकीय फलन का रूप $f(x) = a \log_b x$ होता है, जिसमें a ≠ 0, b > 0 और b ≠ 1 है। यह गुणात्मक परिवर्तन को योगात्मक परिवर्तन में बदल देता है।

$y = \log_2 x$ पर निविष्ट के हर दोगुना होने पर निर्गत में 1 जुड़ता है: नीली सीढ़ी (1, 0) से (2, 1), (4, 2), (8, 3), (16, 4) तक चलती है। समान अनुपात वाले निविष्ट अंतरालों पर निर्गत समान अंतर से बदलते हैं: ठीक चरघातांकी का उलटा।

x	1	2	4	8	16
log₂ x	0	1	2	3	4

a > 0 और b > 1 के लिए:

प्रांत x > 0, परिसर सभी वास्तविक संख्याएँ; x-अंतःखंड (1, 0) है।
y-अक्ष एक ऊर्ध्वाधर अनंतस्पर्शी है: $x \to 0^+$ पर $\log_b x \to -\infty$ ।
हमेशा बढ़ता हुआ और हमेशा नीचे की ओर अवतल; $x \to \infty$ पर $\log_b x \to \infty$ , पर x की किसी भी धनात्मक घात से अधिक धीरे।
कोई चरम बिंदु और कोई नति-परिवर्तन बिंदु नहीं। 0 < b < 1 के लिए यह हमेशा घटता है (और ऊपर की ओर अवतल होता है)।

इसकी धीमी गति एक विशेषता है: निविष्ट के हर बार दोगुना होने पर निर्गत 1 बढ़ता है, इसलिए $\log_2 x$ केवल x = 1024 पर 10 तक पहुँचता है।

2.12 · लघुगणकों में हेर-फेर

खींचना भी खिसकाना है

घातांक के हर नियम का एक लघुगणकीय जोड़ीदार है, क्योंकि लघुगणक एक घातांक है।

गुणनफल	$\log_b(xy) = \log_b x + \log_b y$
भागफल	$\log_b \dfrac{x}{y} = \log_b x - \log_b y$
घात	$\log_b x^n = n \log_b x$
आधार परिवर्तन	$\log_b x = \dfrac{\log_a x}{\log_a b}$

गुणनफल नियम से, $\log_2(kx) = \log_2 k + \log_2 x$ । $y = \log_2 x$ को y-अक्ष की ओर गुणक 1/k से दबाने (नीला) पर वही वक्र मिलता है जो उसे $\log_2 k$ से ऊपर उठाने (लाल) पर। जैसे-जैसे k 1 से 4 तक बढ़ता है, बिंदु (2, 1) भीतर की ओर (2/k, 1) तक आता है और ऊपर (2, 1 + $\log_2 k$ ) तक जाता है, दोनों लाल वक्र पर।

अतः लघुगणक का क्षैतिज प्रसरण एक ऊर्ध्वाधर स्थानांतरण है, जो 2.4 का जोड़ीदार है। घात नियम $\log_b x^n$ को n से ऊर्ध्वाधर प्रसरण बनाता है, और $\log_b \tfrac{1}{x} = -\log_b x$ को x-अक्ष में परावर्तन।

उदाहरण। $\log_2 40 = \log_2 8 + \log_2 5 \approx 3 + 2.3219 = 5.3219$ ; $\log_2 24 - \log_2 3 = \log_2 8 = 3$ ; और आधार परिवर्तन से, $\log_3 20 = \dfrac{\ln 20}{\ln 3} \approx 2.7268$ । हर लघुगणकीय फलन $\ln x$ का एक अचर गुणज है।

2.13 · चरघातांकी और लघुगणकीय समीकरण तथा असमिकाएँ

पलटें, फिर जाँचें

चरघातांकी समीकरण हल करने के लिए घात को अलग करें और लघुगणक लें; लघुगणकीय समीकरण हल करने के लिए लघुगणक को अलग करें और चरघातांकी रूप में लिखें। प्रतिलोम फलन को पलट देता है।

आकृति $3 \cdot 2^x = c$ को हर स्तर c के लिए एक साथ हल करती है: वक्र नीली रेखा को $x = \log_2 \tfrac{c}{3}$ पर काटता है। $c = 24$ पर:

\begin{aligned} 3 \cdot 2^x &= 24 \\ 2^x &= 8 \\ x &= \log_2 8 = 3 \end{aligned}

असमिका $3 \cdot 2^x > 24$ को केवल दिशा चाहिए: $2^x$ बढ़ता हुआ है, इसलिए यह x > 3 के लिए सत्य है, अक्ष का लाल खंड। घटता हुआ फलन (0 और 1 के बीच का आधार) असमिका को उलट देता है।

आधार e के साथ। $5e^{0.2t} = 20$ से $e^{0.2t} = 4$ मिलता है, इसलिए $t = \frac{\ln 4}{0.2} \approx 6.931$ ।

एक लघुगणकीय समीकरण। $\log_2 x + \log_2(x - 2) = 3$ मिलकर $\log_2\big(x(x - 2)\big) = 3$ देता है, इसलिए $x^2 - 2x = 8$ और x = 4 या x = −2। पर −2, $\log_2 x$ के प्रांत से बाहर है: यह अप्रासंगिक है। एकमात्र हल x = 4 है। हल को हमेशा मूल समीकरण में जाँचें।

यही चरण प्रतिलोम भी खोजते हैं: $y = 3 \cdot 2^x$ का $f^{-1}(x) = \log_2 \tfrac{x}{3}$ है।

2.14 · लघुगणकीय मॉडल

शुरू में तेज़ लाभ, फिर धीमे

लघुगणकीय मॉडल $y = a + b\ln x$ उस राशि पर बैठता है जो शुरू में तेज़ी से और फिर और भी धीरे बढ़ती है, या जहाँ निविष्ट के समान अनुपात निर्गत में समान अंतर देते हैं।

आँकड़े काल्पनिक हैं: एक टाइपिस्ट की गति, शब्द प्रति मिनट में, अभ्यास के हर सप्ताह के बाद। लघुगणकीय समाश्रयण देता है

\hat y = 20.52 + 14.70\ln x

सप्ताहों के हर दोगुना होने पर शब्द प्रति मिनट में $14.70 \ln 2 \approx 10.19$ जुड़ता है: सप्ताह 1 से 2 में उतना ही जितना सप्ताह 4 से 8 में। सप्ताह 10 पर अनुमान $\hat y \approx 54.4$ है, जो आँकड़ों के परे बहिर्वेशन है, जिस पर कम भरोसा करना चाहिए।

लघुगणकीय पैमाने कई वास्तविक राशियाँ मापते हैं, क्योंकि मान 10 की कई घातों में फैले होते हैं:

डेसिबल में ध्वनि स्तर: $L = 10 \log_{10} \tfrac{I}{I_0}$ । तीव्रता दोगुनी करने पर $10\log_{10} 2 \approx 3.01$ dB जुड़ता है; 10 से गुणा करने पर 10 dB जुड़ता है।
अम्लता: $\text{pH} = -\log_{10}[\text{H}^+]$ । $[\text{H}^+] = 10^{-3}$ वाले विलयन का pH 3 है; सांद्रता दस गुनी होने पर pH 1 घट जाता है।

लघुगणकीय और चरघातांकी मॉडल एक-दूसरे के प्रतिलोम हैं: यदि y अपने x के साथ चरघातांकी रूप से बढ़ता है, तो x अपने y के साथ लघुगणकीय रूप से बढ़ता है।

2.15 · अर्ध-लघुगणकीय आलेख

चरघातांकी आँकड़े, सीधे किए हुए

अर्ध-लघुगणकीय आलेख में x-अक्ष रैखिक रहता है और y को लघुगणकीय पैमाने पर रखा जाता है। उस पर चरघातांकी आँकड़े एक सीधी रेखा पर आ जाते हैं।

चरघातांकी मॉडल $y = a b^x$ का लघुगणक लें:

\log_{10} y = \log_{10} a + x \log_{10} b

यह $\log_{10} y$ में एक रेखा है, जिसकी ढाल $\log_{10} b$ और ऊर्ध्वाधर अंतःखंड $\log_{10} a$ है। कोई भी आधार n > 1 इसी तरह काम करता है।

2.6 की जीवाणु संख्याएँ (काल्पनिक) साधारण कागज़ पर ऊपर की ओर मुड़ती हैं और अर्ध-लघुगणकीय कागज़ पर एक रेखा में आ जाती हैं। उनकी सबसे उपयुक्त रेखा $\log_{10}\hat y = 1.7023 + 0.2030x$ है, इसलिए

\begin{aligned} a &= 10^{1.7023} \approx 50.39 \\ b &= 10^{0.2030} \approx 1.596 \end{aligned}

मॉडल $\hat y = 50.39(1.596)^x$ है: हर घंटे लगभग 60% अधिक जीवाणु।

अर्ध-लघुगणकीय आलेख एक औज़ार के साथ-साथ एक परीक्षण भी है: जो आँकड़े एक रेखा में आ जाएँ वे चरघातांकी हैं; जो फिर भी मुड़े रहें वे नहीं हैं, और उन्हें किसी दूसरे मॉडल की ज़रूरत है।

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