Fig. 1
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Precalculus · AP Precalculus
cómo cambian las salidas con las entradas
Una función asocia a cada entrada una salida. El precálculo pregunta cómo cambian las salidas al cambiar las entradas: dónde suben y bajan, con qué rapidez, y qué pasa muy lejos.
La gráfica es la cúbica . Sus factores muestran sus ceros, −2, 1, 3, donde corta al eje x. La secante roja se desliza sobre ella; su pendiente es la tasa de cambio promedio en su intervalo. En [0, 2]:
Este capítulo es la Unidad 1 de AP Precalculus, la más grande del examen (cerca de 30–40%). Construye las herramientas para las funciones polinomiales (sumas de potencias de x) y las funciones racionales (un polinomio entre otro): tasas de cambio, ceros, comportamiento en los extremos, asíntotas y huecos, transformaciones y, por último, elegir y construir una función para modelar datos reales.
entradas y salidas, variando juntas
Una función f envía cada entrada x a una salida f(x). Al cambiar la entrada, la salida cambia con ella, en conjunto. Una gráfica muestra ambas a la vez: la entrada sobre el eje x, la salida como altura.
Sigue el punto sobre mientras x se mueve. Sus guías grises llevan la entrada hacia abajo hasta el eje x y la salida hacia el lado hasta el eje y.
| x | −2 | −1 | 0 | 1 | 2 |
|---|---|---|---|---|---|
| f(x) | −2 | 2 | 0 | −2 | 2 |
f es creciente en un intervalo si, al aumentar las entradas, las salidas siempre aumentan: para todo a < b en él, f(a) < f(b). Es decreciente si las salidas siempre disminuyen. Aquí f crece para x < -1 (roja), decrece entre -1 y 1 (azul) y vuelve a crecer después de 1.
La salida es positiva donde la gráfica está por encima del eje x y negativa donde está por debajo. Cambia de signo en los ceros, las entradas con f(x) = 0: aquí 0 y ±√3 ≈ ±1.73.
En un contexto, las mismas palabras se aplican: si se vierte agua en un florero a un ritmo constante, la profundidad aumenta, rápido donde el florero es angosto y despacio donde es ancho. Una gráfica de la profundidad contra el volumen es una imagen de cómo cambian juntas las dos cantidades.
la pendiente de una secante y la pendiente en un punto
La tasa de cambio promedio de f en [a, b] es el cambio en la salida entre el cambio en la entrada: la pendiente de la recta secante de (a, f(a)) a (b, f(b)).
La tasa de cambio en un punto se aproxima con tasas de cambio promedio en intervalos cada vez más pequeños a su alrededor. Para en x = 2, toma secantes en [2 − h, 2] (azul) y [2, 2 + h] (roja):
| h | 1 | 0.5 | 0.1 | 0.01 |
|---|---|---|---|---|
| left | 1.5 | 1.75 | 1.95 | 1.995 |
| right | 2.5 | 2.25 | 2.05 | 2.005 |
Las dos columnas se acercan por ambos lados a 2: la tasa de cambio en x = 2 es 2, la pendiente de la recta tangente discontinua. El mismo trabajo en x = 1 da 1.
Al compararlas: la tasa en 2 es mayor que la tasa en 1, así que la gráfica se vuelve más empinada al crecer x. Dos vínculos para recordar:
cambio constante, y cambio que cambia de forma constante
Avanza la entrada en cantidades iguales y observa la salida. El patrón de los cambios distingue una función lineal de una cuadrática.
| x | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
|---|---|---|---|---|---|
| 2x + 1 | 1 | 3 | 5 | 7 | 9 |
| change | +2 | +2 | +2 | +2 | |
| x² − 4x + 5 | 5 | 2 | 1 | 2 | 5 |
| change | −3 | −1 | +1 | +3 | |
| cambio del cambio | +2 | +2 | +2 |
Lineal: la tasa de cambio promedio es la misma en todos los intervalos, la pendiente, 2. Pasos de entrada iguales dan cambios de salida iguales.
Cuadrática: en intervalos consecutivos de la misma longitud, las tasas de cambio promedio son −3, −1, 1, 3. No son constantes, pero cambian a una tasa constante, 2 por paso. Para con pasos de 1, esa constante es 2a.
Las tasas también ubican el vértice. Son negativas hasta x = 2 (la función es decreciente) y positivas después (creciente), así que el mínimo está en x = 2. Como las tasas aumentan, la parábola es cóncava hacia arriba; con a < 0 disminuirían, y sería cóncava hacia abajo.
puntos de giro, puntos de inflexión, extremos globales
Una función polinomial es , con coeficientes reales y an ≠ 0. Su grado es n, y an es el coeficiente principal. Una constante distinta de cero es un polinomio de grado 0.
La gráfica es . La recta roja acompaña la pendiente de la curva, su tasa de cambio:
El valor más bajo que toma la función, −3, es su mínimo global. Un polinomio de grado par siempre tiene un máximo global o un mínimo global (un mínimo cuando an > 0, como aquí); uno de grado impar no tiene ninguno, pues sus salidas se van tanto a ∞ como a −∞.
Sus ceros son ±(√3 − 1) ≈ ±0.73 y ±(√3 + 1) ≈ ±2.73. Entre dos ceros reales distintos de un polinomio no constante siempre hay un máximo o un mínimo local: aquí el mínimo en −2, el máximo en 0, el mínimo en 2.
n ceros para el grado n, contados con multiplicidad
Un polinomio de grado n tiene exactamente n ceros complejos, contados con multiplicidad. Algunos pueden ser reales y otros no.
Toma , de grado 2 + 1 + 2 = 5. Sus ceros:
| zero | multiplicity | en la gráfica |
|---|---|---|
| −2 | 2 | toca el eje x, no lo cruza |
| 1 | 1 | cruza el eje x |
| i, −i | 1 cada uno | sin intersección con el eje x: no es real |
La figura cambia el último factor por y desliza q. Para q < 0, sus ceros ±√(−q) son reales, dos intersecciones rojas con el eje x; se juntan en q = 0 y luego salen juntos del eje real, hacia arriba y hacia abajo por el eje imaginario como ±i√q. El grado, y la cantidad de ceros, nunca cambia.
Funciones pares e impares. f es par si f(−x) = f(x) para todo x (simétrica respecto al eje y), como de 1.4; impar si f(−x) = −f(x) (simétrica respecto al origen), como de 1.1. Un polinomio con solo potencias pares es par; con solo potencias impares, impar.
muy lejos, el término principal es lo único que importa
El comportamiento en los extremos de una función es lo que hacen sus salidas cuando x → ∞ y x → −∞. En un polinomio, lo decide solo el término principal.
La curva roja es . La ventana en la que está crece hasta 12 veces su tamaño y regresa: observa los números de los ejes. Al alejar la vista, los ceros se amontonan en el origen, las ondulaciones desaparecen y la curva se pega a su término principal (azul). En x = 48, p(x) es 0.937 veces −x³.
| an > 0 | an < 0 | |
|---|---|---|
| n par | hacia arriba en ambos extremos | hacia abajo en ambos extremos |
| n impar | hacia abajo a la izquierda, hacia arriba a la derecha | hacia arriba a la izquierda, hacia abajo a la derecha |
La razón: , y todo término del corchete después del 1 se reduce a 0 al crecer |x|. Lee la notación de límite como “cuando x aumenta sin cota, p(x) disminuye sin cota”.
el cociente de los términos principales
Una función racional es un cociente de polinomios, con q distinto del polinomio cero. Muy lejos, cada polinomio se comporta como su término principal, así que r se comporta como el cociente de los dos.
| degrees | asíntota horizontal | muy lejos |
|---|---|---|
| numerador < denominador | y = 0 | 3x/(x² + 1) ≈ 3/x → 0 |
| numerador = denominador | y = cociente de los coeficientes principales | (2x² − 1)/(x² + 2) ≈ 2x²/x² = 2 |
| numerador > denominador | ninguna; se comporta como un polinomio | (x² + x + 1)/(x − 1) ≈ x²/x = x |
En cada hoja, puntos rojos y azules corren hacia −∞ y ∞, y se acomodan a lo largo de la recta roja discontinua. Con grados iguales, : cerca de 2, sin llegar nunca por debajo.
Cuando el grado del numerador es exactamente uno más que el del denominador, la gráfica se acerca a una asíntota oblicua, una recta y = mx + b que se halla dividiendo (1.11). Aquí es y = x + 2. Una gráfica puede cruzar una asíntota horizontal u oblicua; la asíntota solo describe los extremos.
donde el numerador es cero y el denominador no
Los ceros reales de son los ceros reales del numerador p que están en el dominio de r: entradas donde p es 0 y q no.
Para , los ceros son −2 and 1. Las entradas −1 and 3 no están en el dominio: ahí el denominador es 0, y la gráfica tiene asíntotas verticales (1.9).
La salida solo puede cambiar de signo en un cero o donde r no está definida. Así que esas cuatro entradas dividen la recta numérica en intervalos, y una entrada de prueba en cada uno da el signo en todo el intervalo:
| interval | x < −2 | −2 < x < −1 | −1 < x < 1 | 1 < x < 3 | x > 3 |
|---|---|---|---|---|---|
| x de prueba | −3 | −1.5 | 0 | 2 | 4 |
| r(x) | 0.33 | −0.56 | 0.67 | −1.33 | 3.6 |
| sign | + | − | + | − | + |
Eso resuelve inecuaciones. donde la gráfica está sobre el eje o por encima, en rojo: x ≤ −2, o −1 < x ≤ 1, o x > 3. Los ceros se incluyen (ahí r = 0); las asíntotas nunca.
Un cero del numerador que también es cero del denominador no es un cero de r. Eso es un hueco o una asíntota (1.10).
donde el denominador es cero, y sigue siendo cero
Si a es un cero real del denominador y no del numerador, o es un cero del denominador con mayor multiplicidad, entonces la recta x = a es una asíntota vertical de r. Cerca de ella, las salidas crecen sin cota.
Para el denominador es 0 en −1 and 2, y el numerador nunca lo es:
| x | −1.01 | −0.99 | 1.99 | 2.01 |
|---|---|---|---|---|
| r(x) | −44 | 45 | 13378 | 13289 |
El signo a cada lado sale de los factores. Cerca de x = −1 el factor x + 1 cambia de signo, así que los dos lados van en sentidos opuestos. Cerca de x = 2 el factor está al cuadrado, positivo a ambos lados, así que ambos lados suben. Multiplicidad impar: direcciones opuestas; par: la misma dirección.
significa que x se acerca a a por la derecha, con valores mayores que a; , por la izquierda.
un factor que se cancela
Si a es un cero tanto del numerador como del denominador, con multiplicidad en el numerador al menos tan grande como en el denominador, la gráfica tiene un hueco en x = a: un solo punto faltante.
El factor x − 2 se cancela, una vez arriba y una vez abajo, así que x = 2 es un hueco. Su altura es el valor que da ahí la forma simplificada, que también es el límite al que se acercan ambos lados:
El factor x + 1 no se cancela, así que x = -1 es una asíntota vertical; queda x + 3 arriba, así que x = -3 es el único cero. Observa que 2 no es un cero, aunque hace 0 el numerador.
Si la multiplicidad es mayor en el denominador, al cancelar queda un factor abajo, y el resultado es una asíntota, no un hueco: tiene una asíntota vertical en x = 2.
factorizada, estándar, dividida, desarrollada
Una misma función se puede escribir de varias maneras. Cada forma muestra algo que las otras ocultan.
La división larga de polinomios reescribe una función racional como un polinomio más una fracción residual. Divide entre : x(x − 1) quita x² − x, y deja 2x + 1; 2(x − 1) quita 2x − 2, y deja 3.
Al crecer |x| el término residual (la brecha azul) se reduce a 0, así que el cociente y = x + 2 es la asíntota oblicua. En general, si p = q·s + t, entonces p/q = s + t/q. Un residuo de 0 significa que el divisor es un factor.
El teorema del binomio desarrolla con los números de la fila n del triángulo de Pascal, cada uno la suma de los dos que tiene encima:
La fila 3 es 1, 3, 3, 1, así que .
desplazamientos, estiramientos y reflexiones
Se puede construir una función nueva a partir de una función madre f desplazando y estirando su gráfica. La gráfica roja es , construida a partir de la gris en [−2, 2]; la figura cambia h, k, a y b de uno en uno.
| form | la gráfica de f está |
|---|---|
| f(x) + k | trasladada verticalmente k unidades (hacia arriba si k > 0) |
| f(x − h) | trasladada horizontalmente h unidades (hacia la derecha si h > 0); f(x + h) la mueve a la izquierda |
| a·f(x) | dilatada verticalmente por |a|; reflejada respecto al eje x si a < 0 |
| f(bx) | dilatada horizontalmente por 1/|b|; reflejada respecto al eje y si b < 0 |
Los cambios aditivos trasladan; los multiplicativos dilatan. Los cambios fuera de f actúan sobre las salidas y hacen lo que dicen; los de dentro actúan sobre las entradas y hacen lo contrario: x − 1.5 mueve a la derecha, y b = 2 comprime la gráfica a la mitad de su ancho.
El dominio y el rango se mueven con la gráfica. Al final de la animación de la figura, h = 1.5, k = 1, a = 1.5, b = 2:
El dominio [−2, 2] se comprime por 1/2 y se desplaza 1.5: [0.5, 2.5]. El rango [−2, 2] se estira por 1.5 y se desplaza hacia arriba 1: [−2, 4]. Las barras azules de los ejes muestran ambos.
qué tipo de función se ajusta, y en qué dominio
Para modelar datos, elige el tipo de función cuyo patrón de cambio coincida con el de los datos, y luego enuncia los supuestos y el dominio en el que el modelo tiene sentido.
Se lanza una pelota hacia arriba; su altura se mide cada segundo (datos hipotéticos):
| t (s) | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
|---|---|---|---|---|---|
| h (m) | 1 | 16 | 21 | 16 | 1 |
| change | 15 | 5 | −5 | −15 | |
| cambio del cambio | −10 | −10 | −10 |
Las primeras diferencias no son constantes, así que un modelo lineal es incorrecto: la recta discontinua por los dos primeros puntos predice 61 m en t = 4, frente a los 1 m medidos. Las segundas diferencias son constantes, −10, así que una cuadrática se ajusta exactamente:
Supuestos. Este modelo ignora la resistencia del aire y vale solo mientras la pelota está en el aire: desde el lanzamiento hasta que h(t) = 0, 0 ≤ t ≤ 4.05. Fuera de ese dominio, sus salidas (alturas negativas) no significan nada.
de una situación a una función, y de vuelta
Construir un modelo significa nombrar la entrada, escribir la salida en términos de ella a partir de la geometría o las reglas de la situación, y hallar el dominio que la situación permite. Entonces el modelo responde preguntas.
Corta un cuadrado de x × x en cada esquina de una hoja de 12 × 8 pulgadas y dobla los lados hacia arriba. La caja tiene x de profundidad, 12 − 2x de largo y 8 − 2x de ancho:
El dominio sale de la situación: un corte debe tener tamaño positivo, y el lado de 8 pulgadas se agota en x = 4. El resto del comportamiento de la cúbica (volúmenes negativos más allá) queda fuera del modelo.
Otros modelos se construyen de la misma manera. Un polinomio de grado n se puede ajustar a n + 1 puntos con entradas distintas; un modelo racional sirve para un cociente, como un costo promedio dólares por artículo, cuya asíntota horizontal, 3, es el costo por artículo una vez que los $500 fijos se reparten entre muchos. Da siempre las respuestas en las unidades de la situación, y compruébalas con sus límites.