Funciones exponenciales y logarítmicas · AP Precalculus

Capítulo 2 · Funciones exponenciales y logarítmicas

crecer multiplicando

Algunas cantidades crecen sumando la misma cantidad en cada paso. Otras crecen multiplicando por el mismo factor. El segundo tipo empieza lento y luego supera a cualquier recta.

La curva azul es $y = 2^x$ : cada paso de 1 hacia la derecha duplica la altura, de 0.25 en x = −2 a 8 en x = 3. La curva roja la deshace. $y = \log_2 x$ pregunta qué potencia de 2 da x, así que convierte 8 otra vez en 3.

2^3 = 8 \iff \log_2 8 = 3

Las dos curvas son imágenes especulares respecto a la recta discontinua $y = x$ : el punto (x, 2^x) de una es (2^x, x) en la otra.

Este capítulo va de las sucesiones a las funciones exponenciales y sus modelos, y luego, pasando por la composición y las inversas, llega a los logaritmos, las ecuaciones que resuelven y las gráficas semilogarítmicas que convierten datos exponenciales en una recta. Es la Unidad 2 de AP Precalculus.

2.1 · Sucesiones aritméticas y geométricas

sumar o multiplicar

Una sucesión es una función cuyas entradas son los números enteros n. En una sucesión aritmética cada término suma la misma diferencia común d; en una sucesión geométrica cada término se multiplica por la misma razón común r.

a_n = a_0 + dn \qquad\qquad g_n = g_0\, r^n

Los puntos azules son $a_n = 2 + 3n$ y los rojos $g_n = 2(1.5)^n$ . Ambas empiezan en 2. La aritmética sube 3 en cada paso; la geométrica sube más cada vez, y para n = 6 ya va adelante.

n	0	1	2	3	4	5	6
a_n	2	5	8	11	14	17	20
g_n	2	3	4.5	6.75	10.13	15.19	22.78

Cualquier término conocido puede servir como punto de partida: $a_n = a_k + d(n - k)$ y $g_n = g_k\, r^{\,n-k}$ . Ejemplo. Si $a_2 = 8$ y $a_5 = 17$ , la diferencia es $d = \frac{17 - 8}{5 - 2} = 3$ . Si $g_1 = 3$ y $g_4 = 10.125$ , entonces $r^3 = 3.375$ , así que r = 1.5.

Los mismos dos patrones, para cualquier entrada real en lugar de pasos enteros, son las funciones lineales y exponenciales.

2.2 · Cambio lineal y exponencial

pasos iguales de entrada, diferencias iguales o razones iguales de salida

En intervalos de entrada de la misma longitud, una función lineal cambia en diferencias iguales; una función exponencial cambia en razones iguales. El cambio lineal es aditivo; el exponencial, multiplicativo.

Desliza la ventana [x, x + 1] a lo largo de ambas curvas. En $f(x) = 2 + 3x$ el aumento es siempre 3. En $g(x) = 2(1.5)^x$ el aumento crece, pero la razón entre las dos alturas es siempre 1.5:

\begin{gathered} f(x + 1) - f(x) = 3 \\ \frac{g(x + 1)}{g(x)} = 1.5 \end{gathered}

Las formas dicen lo mismo. $f(x) = b + mx$ empieza en b y suma m por unidad; $g(x) = a r^x$ empieza en a y multiplica por r por unidad. Las sucesiones aritméticas son funciones lineales sobre los números enteros, y las geométricas, exponenciales.

En un intervalo de longitud 2, la función lineal suma 6, el doble de 3, mientras que la exponencial multiplica por $1.5^2 = 2.25$ . Dados dos puntos, un modelo lineal es $f(x) = y_i + m(x - x_i)$ y uno exponencial es $g(x) = y_i\, r^{\,x - x_i}$ .

2.3 · Funciones exponenciales

a·bˣ, y lo que decide b

Una función exponencial tiene la forma $f(x) = a b^x$ con valor inicial a ≠ 0 y base b > 0, b ≠ 1. Su gráfica pasa por (0, a).

La curva roja es $y = b^x$ mientras b baja de 2, pasa por 1 y llega a $\tfrac{1}{2}$ , y luego regresa. Para a > 0:

b > 1: crecimiento exponencial, siempre creciente; $f(x) \to \infty$ cuando $x \to \infty$ y $f(x) \to 0$ cuando $x \to -\infty$ .
0 < b < 1: decaimiento exponencial, siempre decreciente; el comportamiento en los extremos se invierte.
Dominio: todos los números reales. Rango: y > 0. La recta y = 0 es una asíntota horizontal.
Siempre cóncava hacia arriba, sin extremos ni puntos de inflexión.

Con b = 1 la curva es la recta horizontal y = 1, y por eso se excluye el 1 como base. Si a < 0, la gráfica se voltea debajo del eje y su concavidad se invierte.

Ejemplo. $f(x) = 3\left(\tfrac{1}{2}\right)^x$ empieza en 3 y se reduce a la mitad con cada unidad: $f(2) = 3 \cdot \tfrac{1}{4} = 0.75$ . Al crecer x se acerca a 0 pero nunca lo alcanza.

2.4 · Manipulación de exponenciales

un desplazamiento es un estiramiento

Las leyes de los exponentes reescriben una función exponencial en formas equivalentes, y cada forma muestra algo distinto de la gráfica.

producto	$b^m b^n = b^{m+n}$
potencia	$(b^m)^n = b^{mn}$
exponente negativo	$b^{-n} = \dfrac{1}{b^n}$
exponente racional	$b^{1/k} = \sqrt[k]{b}$

Por la ley del producto, $2^{x+k} = 2^k \cdot 2^x$ . Así que desplazar $y = 2^x$ a la izquierda k unidades (azul) da exactamente la misma curva que estirarla verticalmente por un factor $2^k$ (roja). La figura barre k de 0 a 2: el punto (1, 2) se desliza a la izquierda hasta (1 − k, 2) y sube hasta (1, $2^{1+k}$ ), y ambos caen sobre la curva roja.

2^{x+3} = 2^3 \cdot 2^x = 8 \cdot 2^x

Una traslación horizontal de una exponencial es siempre una dilatación vertical. Las otras leyes dan más: $\left(\tfrac{1}{2}\right)^x = 2^{-x}$ es una reflexión de $2^x$ respecto al eje y, y $8^{x/3} = (8^{1/3})^x = 2^x$ . Toda exponencial se puede escribir con cualquier base positiva distinta de 1, incluida la base natural e ≈ 2.7183.

2.5 · Modelos exponenciales

un cambio porcentual constante

Un modelo exponencial se ajusta a una cantidad que cambia en la misma proporción en tiempos iguales: una población, una inversión, una muestra radiactiva.

El carbono-14 tiene una vida media de 5,730 años: cada 5,730 años, se desintegra la mitad de lo que queda. Con t en años, el porcentaje restante es

C(t) = 100\left(\tfrac{1}{2}\right)^{t/5730}

Reescribir por unidad da el factor anual: $\left(\tfrac{1}{2}\right)^{1/5730} \approx 0.999879$ . Una muestra con 30% restante tiene unos 9,953 años, entre una y dos vidas medias (en 2.13 se muestra cómo despejar t).

Otras formas surgen del contexto:

Tasa porcentual r: $f(t) = a(1 + r)^t$ (crecimiento) o $a(1 - r)^t$ (decaimiento).
Capitalización n veces al año: $1,000 al 6% mensual durante 10 años es $1000\left(1 + \tfrac{0.06}{12}\right)^{120} \approx 1819.40$ ; con capitalización continua, $1000e^{0.06(10)} \approx 1822.12$ .
Dos puntos determinan un modelo $y = y_i\, b^{\,x - x_i}$ . Un pueblo hipotético de 1,200 habitantes que llega a 1,500 en 4 años tiene $b = \left(\tfrac{1500}{1200}\right)^{1/4} \approx 1.0574$ : un crecimiento de 5.74% al año.
Datos: la regresión exponencial en una calculadora encuentra las a y b que mejor se ajustan a un diagrama de dispersión.

Un modelo vale lo que valgan sus supuestos: puede dejar de ajustarse fuera de los datos, o cuando se alcanza un límite real (alimento, espacio).

2.6 · Elegir un modelo: residuos

lo que el modelo no captó

Un residuo es el valor real menos el valor que predice el modelo. Un modelo es adecuado cuando su gráfica de residuos no muestra ningún patrón.

\text{residual} = y - \hat y

Los conteos son hipotéticos: un cultivo de bacterias contado cada hora. Se ajustan dos modelos: la recta de mínimos cuadrados $\hat y = -62.18 + 123.11x$ (azul) y la exponencial $\hat y = 50.39(1.596)^x$ (roja).

hour	0	1	2	3	4	5	6
count	52	77	131	202	322	532	834
residuo lineal	114	16	−53	−105	−108	−21	158
residuo exponencial	2	−3	3	−3	−5	10	1

Los residuos de la recta son positivos, negativos y luego otra vez positivos: una forma de U, señal de una curvatura que la recta no puede seguir. Los residuos de la exponencial se reparten por encima y por debajo de 0 sin ningún patrón, así que el modelo exponencial es la mejor opción.

El signo se lee directamente: un residuo positivo significa que el modelo subestima ahí; uno negativo, que sobrestima. En la hora 3 la recta predice 307 frente a un valor real de 202, una sobrestimación de 105.

2.7 · Composición de funciones

la salida de una función es la entrada de la siguiente

La composición $f(g(x))$ , que también se escribe $(f \circ g)(x)$ , aplica primero g y luego f al resultado.

Aquí $g(x) = x - 1$ y $f(x) = 2^x$ . Sigue los puntos hacia abajo: x en la recta de arriba, luego g(x), uno menos, y después 2 elevado a esa potencia.

x = 3 \;\xrightarrow{\;g\;}\; 2 \;\xrightarrow{\;f\;}\; 2^{2} = 4

Así que $f(g(x)) = 2^{x-1}$ . El otro orden es una función distinta: $g(f(x)) = 2^x - 1$ , y $g(f(3)) = 7$ , no 4. En general $f(g(x)) \ne g(f(x))$ .

El dominio de $f(g(x))$ son las entradas de g cuyas salidas están en el dominio de f.
La función identidad $I(x) = x$ no cambia nada: $f(I(x)) = I(f(x)) = f(x)$ .
Las transformaciones son composiciones: $f(x - 1)$ compone f con un desplazamiento aditivo de la entrada, $3f(x)$ compone una multiplicación por 3 después de f.
Descomponer una función es hallar piezas para componer: $h(x) = (x^2 + 1)^3$ es $f(g(x))$ con $g(x) = x^2 + 1$ y $f(x) = x^3$ .

Las composiciones también se pueden leer en tablas o gráficas: halla g(x) y busca ese valor como entrada de f.

2.8 · Funciones inversas

deshacer una función

La inversa $f^{-1}$ de una función la revierte: si $f(a) = b$ , entonces $f^{-1}(b) = a$ , y $f^{-1}(f(x)) = f(f^{-1}(x)) = x$ .

Intercambiar entrada y salida refleja la gráfica respecto a $y = x$ : el punto (a, b) de f se convierte en (b, a) en $f^{-1}$ . El dominio de f pasa a ser el rango de $f^{-1}$ , y el rango, su dominio.

Una función inversa existe solo si f es uno a uno: cada salida proviene de una sola entrada. La recta azul $y = c$ corta dos veces a toda la parábola $y = x^2$ , en $x = \pm\sqrt{c}$ , así que $x^2$ no tiene inversa en todos los reales. Restringir el dominio a x ≥ 0 conserva la mitad donde es uno a uno, y ahí la inversa es $f^{-1}(x) = \sqrt{x}$ (roja).

Cómo hallar una inversa. Escribe $y = 3x - 4$ , intercambia x y y, y despeja y:

x = 3y - 4 \implies f^{-1}(x) = \frac{x + 4}{3}

Comprobación: $f(3) = 5$ y $f^{-1}(5) = \frac{5 + 4}{3} = 3$ . La inversa deshace f paso a paso en orden inverso: suma 4, luego divide entre 3.

2.9 · Expresiones logarítmicas

el exponente, buscado

El logaritmo $\log_b c$ es el exponente a que convierte la base b en c, para b > 0, b ≠ 1 y c > 0:

\log_b c = a \iff b^a = c

expresión	$\log_{5} 125$	$\log_{2} \tfrac{1}{16}$	$\log_{10} 1000$	$\log_{3} 1$
porque	$5^{3} = 125$	$2^{-4} = \tfrac{1}{16}$	$10^{3} = 1000$	$3^{0} = 1$
valor	3	−4	3	0

Dos bases tienen nombre propio: el logaritmo común $\log x$ tiene base 10, y el logaritmo natural $\ln x$ tiene base e. Siempre $\log_b 1 = 0$ y $\log_b b = 1$ .

La figura coloca los valores $c = 10^u$ en una escala logarítmica (roja), debajo de sus exponentes $u = \log_{10} c$ (azul). Longitudes iguales en la escala son razones iguales: de 1 a 10, de 10 a 100 y de 100 a 1000 hay la misma distancia. Así una escala logarítmica acomoda en una sola recta valores de tamaños muy distintos.

Las estimaciones salen de las potencias vecinas: 50 está entre 10 y 100, así que $\log_{10} 50$ está entre 1 y 2; es 1.699.

2.10 · Inversas de funciones exponenciales

el logaritmo deshace bˣ

$f(x) = b^x$ es uno a uno, así que tiene inversa, y esa inversa es el logaritmo $f^{-1}(x) = \log_b x$ .

Si intercambias todas las filas de una tabla de $y = 2^x$ , obtienes una tabla de $y = \log_2 x$ . Los puntos rojos de la figura hacen justamente eso: cada (x, 2^x) vuela a través de $y = x$ hasta (2^x, x).

x	−2	−1	0	1	2	3
2^x	0.25	0.5	1	2	4	8

x	0.25	0.5	1	2	4	8
log₂ x	−2	−1	0	1	2	3

Así que las dos funciones intercambian sus características. $b^x$ tiene dominio todos los reales, rango y > 0 y la asíntota horizontal y = 0; $\log_b x$ tiene dominio x > 0, rango todos los reales y la asíntota vertical x = 0. Cada una deshace a la otra:

\log_b\left(b^x\right) = x \quad\text{for all } x, \qquad b^{\log_b x} = x \quad\text{for } x > 0

Para la base e, $e^x$ y $\ln x$ son inversas: $\ln e^{3} = 3$ y $e^{\ln 50} = 50$ .

2.11 · Funciones logarítmicas

multiplica la entrada, suma a la salida

Una función logarítmica tiene la forma $f(x) = a \log_b x$ con a ≠ 0, b > 0 y b ≠ 1. Convierte el cambio multiplicativo en cambio aditivo.

En $y = \log_2 x$ , cada duplicación de la entrada suma 1 a la salida: la escalera azul va de (1, 0) a (2, 1), (4, 2), (8, 3), (16, 4). En intervalos de entrada con la misma razón, las salidas cambian en la misma diferencia: justo lo contrario de una exponencial.

x	1	2	4	8	16
log₂ x	0	1	2	3	4

Para a > 0 y b > 1:

Dominio x > 0, rango todos los números reales; la intersección con el eje x es (1, 0).
El eje y es una asíntota vertical: $\log_b x \to -\infty$ cuando $x \to 0^+$ .
Siempre creciente y siempre cóncava hacia abajo; $\log_b x \to \infty$ cuando $x \to \infty$ , pero más lentamente que cualquier potencia positiva de x.
Sin extremos ni puntos de inflexión. Para 0 < b < 1 es siempre decreciente (y cóncava hacia arriba).

Su lentitud es una característica: la salida sube 1 cada vez que la entrada se duplica, así que $\log_2 x$ solo llega a 10 en x = 1024.

2.12 · Manipulación de logaritmos

un estiramiento es un desplazamiento

Cada ley de los exponentes tiene su gemela logarítmica, porque un logaritmo es un exponente.

producto	$\log_b(xy) = \log_b x + \log_b y$
cociente	$\log_b \dfrac{x}{y} = \log_b x - \log_b y$
potencia	$\log_b x^n = n \log_b x$
cambio de base	$\log_b x = \dfrac{\log_a x}{\log_a b}$

Por la ley del producto, $\log_2(kx) = \log_2 k + \log_2 x$ . Comprimir $y = \log_2 x$ hacia el eje y por un factor 1/k (azul) da la misma curva que subirla $\log_2 k$ (roja). Mientras k recorre de 1 a 4, el punto (2, 1) se mueve hacia dentro hasta (2/k, 1) y hacia arriba hasta (2, 1 + $\log_2 k$ ), ambos sobre la curva roja.

Así que una dilatación horizontal de un logaritmo es una traslación vertical, la gemela de 2.4. La ley de la potencia hace de $\log_b x^n$ una dilatación vertical por n, y de $\log_b \tfrac{1}{x} = -\log_b x$ una reflexión respecto al eje x.

Ejemplos. $\log_2 40 = \log_2 8 + \log_2 5 \approx 3 + 2.3219 = 5.3219$ ; $\log_2 24 - \log_2 3 = \log_2 8 = 3$ ; y por cambio de base, $\log_3 20 = \dfrac{\ln 20}{\ln 3} \approx 2.7268$ . Toda función logarítmica es un múltiplo constante de $\ln x$ .

2.13 · Ecuaciones e inecuaciones exponenciales y logarítmicas

deshacer y luego comprobar

Para resolver una ecuación exponencial, aísla la potencia y aplica un logaritmo; para resolver una logarítmica, aísla el logaritmo y exponencia. La inversa deshace la función.

La figura resuelve $3 \cdot 2^x = c$ para todos los niveles c a la vez: la curva cruza la recta azul en $x = \log_2 \tfrac{c}{3}$ . En $c = 24$ :

\begin{aligned} 3 \cdot 2^x &= 24 \\ 2^x &= 8 \\ x &= \log_2 8 = 3 \end{aligned}

La inecuación $3 \cdot 2^x > 24$ solo necesita la dirección: $2^x$ es creciente, así que se cumple para x > 3, el tramo rojo del eje. Una función decreciente (base entre 0 y 1) invierte la desigualdad.

Con base e. $5e^{0.2t} = 20$ da $e^{0.2t} = 4$ , así que $t = \frac{\ln 4}{0.2} \approx 6.931$ .

Una ecuación logarítmica. $\log_2 x + \log_2(x - 2) = 3$ se combina en $\log_2\big(x(x - 2)\big) = 3$ , así que $x^2 - 2x = 8$ y x = 4 o x = −2. Pero −2 queda fuera del dominio de $\log_2 x$ : es una solución extraña. La única solución es x = 4. Comprueba siempre las soluciones en la ecuación original.

Los mismos pasos hallan inversas: $y = 3 \cdot 2^x$ tiene $f^{-1}(x) = \log_2 \tfrac{x}{3}$ .

2.14 · Modelos logarítmicos

avances rápidos, luego más lentos

Un modelo logarítmico $y = a + b\ln x$ se ajusta a una cantidad que crece rápido al principio y luego cada vez más despacio, o a una en la que razones iguales de la entrada dan diferencias iguales en la salida.

Los datos son hipotéticos: la velocidad de una mecanógrafa, en palabras por minuto, tras cada semana de práctica. La regresión logarítmica da

\hat y = 20.52 + 14.70\ln x

Cada duplicación de las semanas suma $14.70 \ln 2 \approx 10.19$ palabras por minuto: de la semana 1 a la 2 lo mismo que de la 4 a la 8. La predicción en la semana 10, $\hat y \approx 54.4$ , es una extrapolación fuera de los datos, y merece menos confianza.

Las escalas logarítmicas miden muchas cantidades reales, porque sus valores abarcan muchas potencias de 10:

Nivel de sonido en decibeles: $L = 10 \log_{10} \tfrac{I}{I_0}$ . Duplicar la intensidad suma $10\log_{10} 2 \approx 3.01$ dB; multiplicarla por 10 suma 10 dB.
Acidez: $\text{pH} = -\log_{10}[\text{H}^+]$ . Una disolución con $[\text{H}^+] = 10^{-3}$ tiene pH 3; diez veces la concentración baja el pH en 1.

Los modelos logarítmicos y exponenciales son inversos: si y crece exponencialmente con x, entonces x crece logarítmicamente con y.

2.15 · Gráficas semilogarítmicas

datos exponenciales, enderezados

Una gráfica semilogarítmica conserva un eje x lineal y pone y en una escala logarítmica. En ella, los datos exponenciales caen sobre una recta.

Aplica el logaritmo a un modelo exponencial $y = a b^x$ :

\log_{10} y = \log_{10} a + x \log_{10} b

Eso es una recta en $\log_{10} y$ , con pendiente $\log_{10} b$ y ordenada al origen $\log_{10} a$ . Cualquier base n > 1 funciona igual.

Los conteos de bacterias de 2.6 (hipotéticos) se curvan hacia arriba en papel ordinario y se alinean en papel semilogarítmico. Su recta de mejor ajuste es $\log_{10}\hat y = 1.7023 + 0.2030x$ , así que

\begin{aligned} a &= 10^{1.7023} \approx 50.39 \\ b &= 10^{0.2030} \approx 1.596 \end{aligned}

El modelo es $\hat y = 50.39(1.596)^x$ : cerca de 60% más bacterias cada hora.

Una gráfica semilogarítmica es una prueba además de una herramienta: los datos que se alinean son exponenciales; los que siguen curvándose no lo son y necesitan otro modelo.