Suy luận về trung bình · AP Statistics

Chương 7 · Suy luận về trung bình

Các thủ tục t cho μ

A sample mean is a good estimate of a population mean, but only an estimate. Inference for means says how good, using nothing but the sample.

The figure is a simulation, so for once the truth is known: a population with mean μ = 250 and standard deviation 5. Again and again a random sample of 10 is drawn, and from each sample alone an interval is built, x̄ ± t*·s/√n.

The intervals move about with their samples. 19 of these 20 capture μ; the one that misses is red. In the long run 95% of them capture it, and that is what “95% confident” means.

This chapter: why t and not z (7.1); confidence intervals and significance tests for one mean (7.2–7.5), including paired data; the same for the difference of two means (7.6–7.9); and how to choose a procedure (7.10).

7.1 · Các phân phối t

có cần lo về sai số không?

Để chuẩn hóa x̄ ta cần σ, nhưng hầu như không bao giờ biết nó. Thay s của mẫu vào chỗ đó cho ta một thống kê biến thiên nhiều hơn z: nó có phân phối t.

Với một mẫu ngẫu nhiên, x̄ có trung bình μ và độ lệch chuẩn σ/√n. Dùng s thay cho σ, sai số chuẩn của x̄ là s/√n, và

t = \frac{\bar{x} - \mu}{s/\sqrt{n}}, \qquad df = n - 1

s cũng thay đổi từ mẫu này sang mẫu khác, và trong mẫu nhỏ nó thường quá nhỏ, nên t rơi xa 0 thường xuyên hơn z. Phân phối t có tâm ở 0, đối xứng và hình chuông, với đuôi nặng hơn phân phối chuẩn tắc. Bậc tự do quyết định hình dạng của nó: khi df tăng, s xác định σ tốt hơn và đường cong tiến gần đến phân phối chuẩn.

df	2	5	10	15	30	100	∞ (z)
t* cho 95%	4.303	2.571	2.228	2.131	2.042	1.984	1.960

Trong hình: với df = 4, P(|t| > 2) = 0.116, so với 0.046 của z. Nếu dùng z* = 1.96 với mẫu nhỏ, các khoảng sẽ quá hẹp: chúng chứa μ ít thường xuyên hơn mức chúng tuyên bố. t* sửa lại điều đó.

Sai sót luôn có thể xảy ra. Một khoảng tin cậy có thể trượt μ; một kiểm định có thể bác bỏ một giả thuyết không đúng (sai lầm loại I) hoặc không bác bỏ một giả thuyết không sai (loại II). Các phương pháp cho biết tần suất sai, chứ không cho biết lần này có sai hay không.

7.2 · Khoảng tin cậy cho μ

thống kê ± (giá trị tới hạn)(sai số chuẩn)

Khoảng tin cậy t một mẫu ước lượng trung bình tổng thể μ từ một mẫu ngẫu nhiên.

Một máy pha cà phê được cài đặt để rót 250 mL. Một mẫu ngẫu nhiên gồm 16 cốc (mL):

244.3	248.9	253.8	247.8	246.1	248.6	247.2	243.3
250.6	248.3	245.3	243.7	254.8	251.9	243.4	245.6

x̄ = 247.73 mL, s = 3.60 mL. Với df = 15, t* = 2.131 cho độ tin cậy 95%.

\begin{aligned}\bar{x} \pm t^*\frac{s}{\sqrt{n}} &= 247.73 \pm 2.131\cdot\frac{3.60}{\sqrt{16}} \\ &= 247.73 \pm 1.92 \\ &= (245.81,\ 249.64)\ \text{mL}\end{aligned}

Trong hình, quả cầu xanh là x̄, thanh sẫm dài một sai số chuẩn về mỗi phía, thanh đỏ là cả khoảng tin cậy: t* sai số chuẩn về mỗi phía.

Diễn giải trong ngữ cảnh: ta tin cậy 95% rằng khoảng từ 245.81 đến 249.64 mL chứa thể tích trung bình thật của tất cả các cốc mà máy này rót.

Sai số biên, t*·s/√n, tăng theo mức tin cậy (90%: ±1.58; 99%: ±2.65) và giảm khi n tăng, theo tỉ lệ 1/√n: mẫu lớn gấp bốn thì sai số biên giảm một nửa.

7.2 · Kiểm tra các điều kiện

ngẫu nhiên, 10%, và phân phối chuẩn hoặc mẫu lớn

Khoảng tin cậy hoặc kiểm định t chỉ đáng tin khi ba điều kiện được thỏa mãn. Hãy nêu từng điều kiện, trong ngữ cảnh, trước khi tính.

Ngẫu nhiên. Dữ liệu đến từ một mẫu ngẫu nhiên hoặc một thí nghiệm có phân nhóm ngẫu nhiên.

10%. Khi lấy mẫu không hoàn lại, n ≤ 10% tổng thể, để các quan sát gần như độc lập.

Chuẩn/Mẫu lớn. Tổng thể xấp xỉ phân phối chuẩn, hoặc n ≥ 30. Nếu n < 30 và không biết dạng của tổng thể, hãy vẽ đồ thị mẫu: không được lệch mạnh và không có giá trị ngoại lai.

Hình có ba mẫu trên cùng một thang đo.

	n	mẫu	Chuẩn/Mẫu lớn?
A	12	gần đối xứng, không có giá trị ngoại lai	có
B	12	lệch phải mạnh, 1 giá trị ngoại lai	không
C	40	lệch phải	có, n ≥ 30

Ở B, Q₁ = 2.40 và Q₃ = 6.15, nên mọi giá trị lớn hơn 6.15 + 1.5(3.75) = 11.78 là ngoại lai: 13.7 là một giá trị như vậy. Chỉ với 12 giá trị, x̄ và s bị nó kéo lệch, và thủ tục t không an toàn. C cũng lệch, nhưng với 40 giá trị, định lí giới hạn trung tâm làm cho phân phối mẫu của x̄ gần với phân phối chuẩn.

Với các cốc cà phê, 16 < 30, nhưng biểu đồ chấm cho thấy không lệch mạnh và không có giá trị ngoại lai, nên khoảng tin cậy ở 7.2 vẫn hợp lệ.

7.3 · Biện luận một nhận định bằng khoảng tin cậy

các giá trị hợp lí của μ

Khoảng tin cậy cho các giá trị hợp lí của μ. Giá trị được tuyên bố nằm ngoài khoảng là không hợp lí; giá trị nằm trong khoảng là hợp lí, nhưng chưa được chứng minh.

Nhà sản xuất máy tuyên bố máy rót trung bình 250 mL. Khoảng tin cậy 95%, từ 245.81 đến 249.64 mL, không chứa 250 (đường xanh). Mọi giá trị hợp lí đều nhỏ hơn giá trị này: khoảng tin cậy cho bằng chứng thuyết phục rằng máy rót trung bình ít hơn 250 mL.

Ở độ tin cậy 99%, khoảng là từ 245.07 đến 250.38 mL. Khoảng này chứa 250, nên ở mức này tuyên bố đó là hợp lí. Độ tin cậy cao hơn nghĩa là khoảng rộng hơn và loại bỏ được ít giá trị hơn.

“Tin cậy 95%” nghĩa là gì. Phương pháp này chứa μ trong 95% tất cả các mẫu ngẫu nhiên có thể có, như trong hình mở đầu. Một khoảng cụ thể này hoặc chứa μ hoặc không; ta không biết là trường hợp nào.

Những sai lầm thường gặp.

“Có xác suất 95% để μ nằm giữa 245.81 và 249.64.” Sai: μ là cố định; xác suất thuộc về phương pháp.
“95% số cốc chứa từ 245.81 đến 249.64 mL.” Sai: khoảng này dành cho trung bình, không phải cho từng cốc, vốn biến thiên nhiều hơn nhiều.
“250 nằm trong khoảng tin cậy 99%, nên trung bình là 250.” Sai: đó chỉ là một trong nhiều giá trị hợp lí.

7.4 · Thiết lập kiểm định cho μ

các giả thuyết về trung bình tổng thể

Một kiểm định t một mẫu cho biết mẫu có đưa ra bằng chứng thuyết phục chống lại giá trị μ₀ được khẳng định của trung bình tổng thể hay không.

Một người kiểm tra chất lượng xem máy có bị lệch khỏi mức chuẩn hay không, theo cả hai hướng:

H_0\!: \mu = 250 \qquad H_a\!: \mu \ne 250

trong đó μ là thể tích trung bình thực, tính bằng mL, của tất cả các cốc mà máy rót. Các giả thuyết là về tham số μ, không bao giờ về x̄, và được chọn trước khi xem dữ liệu. Nếu chỉ quan tâm đến việc rót thiếu, thì H_a: μ < 250 sẽ là giả thuyết một phía.

Mức ý nghĩa, α = 0.05, cũng được chọn trước: đó là xác suất mắc sai lầm loại I, tức bác bỏ H₀ khi nó đúng.

Các điều kiện giống như với khoảng tin cậy: mẫu ngẫu nhiên; 16 cốc ít hơn 10% tổng số cốc được rót; không có độ lệch mạnh hay giá trị ngoại lai trong mẫu, vì 16 < 30.

Câu hỏi mà kiểm định trả lời: trung bình mẫu, 247.73 mL (màu xanh), thấp hơn 250. Nó có thấp hơn đủ xa, tính theo số sai số chuẩn, để ngẫu nhiên khó có thể là lời giải thích không?

7.5 · Thực hiện kiểm định cho μ

thống kê t và giá trị p

Thống kê kiểm định đếm xem x̄ cách μ₀ bao nhiêu sai số chuẩn. Giá trị p là xác suất thu được kết quả ít nhất cực đoan như vậy nếu H₀ đúng.

\begin{aligned}t &= \frac{\bar{x} - \mu_0}{s/\sqrt{n}} = \frac{247.73 - 250}{3.60/\sqrt{16}} \\ &= -2.53, \quad df = 15\end{aligned}

Với H_a: μ ≠ 250, cả hai phía đều được tính (màu đỏ): giá trị p = 2P(t ≤ −2.53) = 0.023.

Kết luận trong ngữ cảnh. Vì 0.023 < α = 0.05, ta bác bỏ H₀. Có bằng chứng thuyết phục rằng thể tích trung bình thực của tất cả các cốc mà máy này rót không phải là 250 mL.

Diễn giải giá trị p: giả sử trung bình thực là 250 mL, thì có xác suất 0.023 thu được một trung bình mẫu cách 250 ít nhất 247.73 mL, theo cả hai hướng, chỉ do ngẫu nhiên trong một mẫu ngẫu nhiên gồm 16 cốc.

Kiểm định này phù hợp với khoảng tin cậy 95% của 7.3, khoảng đó loại 250 ra: một kiểm định hai phía ở mức α = 0.05 bác bỏ đúng những giá trị mà khoảng tin cậy 95% loại ra. Ở mức α = 0.01 ta sẽ không bác bỏ, vì 250 nằm trong khoảng tin cậy 99%.

Không bác bỏ không bao giờ chứng tỏ H₀ đúng; nó chỉ cho biết bằng chứng chưa đủ thuyết phục.

7.5 · Dữ liệu ghép cặp

một mẫu gồm các hiệu

Khi mỗi cá thể được đo hai lần, hoặc các cá thể đi theo cặp ghép, hãy phân tích các hiệu: chúng tạo thành một mẫu, và các phương pháp t một mẫu áp dụng cho chúng.

12 học sinh được chọn ngẫu nhiên làm bài kiểm tra tốc độ đọc (từ mỗi phút) trước và sau một khóa học ngắn. Trên hình, mỗi học sinh là một thanh nối giá trị trước (màu xám) với giá trị sau (màu đen). Các thanh trượt về để bắt đầu từ 0, và độ dài của chúng là các hiệu d = sau − trước:

trước	208	135	209	170	169	245	195	160	230	207	212	195
sau	213	133	229	183	177	260	203	171	226	231	223	205
d	5	−2	20	13	8	15	8	11	−4	24	11	10

x̄_d = 9.92, s_d = 8.01. Kiểm định H₀: μ_d = 0 với H_a: μ_d > 0, trong đó μ_d là mức tăng trung bình thực của những học sinh như thế này.

\begin{aligned}t &= \frac{\bar{x}_d - 0}{s_d/\sqrt{n}} = \frac{9.92}{8.01/\sqrt{12}} \\ &= 4.29, \quad df = 11\end{aligned}

giá trị p = 0.0006: có bằng chứng thuyết phục rằng khóa học làm tăng tốc độ đọc trung bình. Khoảng tin cậy 95% cho μ_d là từ 4.83 đến 15.00 từ mỗi phút (màu đỏ).

Các điều kiện được kiểm tra trên các hiệu: mẫu ngẫu nhiên, 12 < 10% tổng số học sinh như vậy, và vì 12 < 30, biểu đồ chấm của các hiệu không có độ lệch mạnh hay giá trị ngoại lai.

7.6 · Khoảng tin cậy cho μ₁ − μ₂

hai mẫu độc lập

Để so sánh trung bình của hai tổng thể (hoặc hai phương pháp xử lí), dùng khoảng tin cậy t hai mẫu cho μ₁ − μ₂.

Một người đánh giá thử các mẫu ngẫu nhiên của hai nhãn hiệu pin trong cùng một chiếc đèn pin (số giờ phát sáng):

	n	x̄ (h)	s (h)
nhãn hiệu A	14	11.94	1.27
nhãn hiệu B	12	10.68	1.07

\begin{aligned}SE &= \sqrt{\frac{s_1^2}{n_1} + \frac{s_2^2}{n_2}} \\ &= \sqrt{\frac{1.27^2}{14} + \frac{1.07^2}{12}} = 0.460 \\[4pt] &(\bar{x}_1 - \bar{x}_2) \pm t^*\,SE \\ &= 1.26 \pm 2.064(0.460) \\ &= (0.31,\ 2.21)\ \text{h}\end{aligned}

Bậc tự do. Công nghệ dùng một công thức cho df = 24.0 ở đây, nên t* = 2.064. Nếu không có công nghệ, lựa chọn thận trọng là giá trị nhỏ hơn của n − 1 = 11, t* = 2.201: khoảng rộng hơn một chút, (0.25, 2.27). Hãy nêu rõ bạn dùng cách nào.

Điều kiện: hai mẫu ngẫu nhiên độc lập (hoặc hai nhóm được lập bằng phân công ngẫu nhiên); mỗi n ≤ 10% tổng thể của nó; mỗi n ≥ 30, hoặc cả hai mẫu đều không có độ lệch mạnh hay giá trị ngoại lai.

Diễn giải: chúng ta tin tưởng 95% rằng khoảng từ 0.31 đến 2.21 giờ chứa hiệu thật của thời lượng pin trung bình, nhãn hiệu A trừ nhãn hiệu B.

7.7 · Biện luận một nhận định về μ₁ − μ₂

số 0 nằm ở đâu?

Với hiệu của hai trung bình, giá trị cần tìm thường là 0: không có sự khác biệt. Nếu 0 nằm ngoài khoảng tin cậy, khoảng tin cậy đó cho bằng chứng thuyết phục về sự khác biệt.

Nhận định 1: nhãn hiệu A dùng được lâu hơn trung bình. Mọi giá trị từ 0.31 đến 2.21 giờ đều dương, nên 0 không hợp lí: có bằng chứng thuyết phục rằng μ_A − μ_B > 0, tức là nhãn hiệu A dùng được lâu hơn trung bình.

Nhận định 2: nhãn hiệu A dùng được lâu hơn trung bình ít nhất 2 giờ. 2 nằm trong khoảng tin cậy, nên nó hợp lí, nhưng các giá trị thấp hơn nhiều cũng vậy, xuống tới 0.31. Khoảng tin cậy không cho bằng chứng thuyết phục ủng hộ nhận định này (cũng không chống lại nó).

Hãy đọc dấu theo thứ tự phép trừ. A − B từ 0.31 đến 2.21 là cùng một phát biểu với B − A từ −2.21 đến −0.31.

Kết luận là về trung bình của các tổng thể được lấy mẫu. Nếu dữ liệu đến từ một thí nghiệm ngẫu nhiên hóa, kết luận còn nói về quan hệ nhân quả; với các mẫu ngẫu nhiên thì không.

7.8 · Thiết lập kiểm định cho μ₁ − μ₂

ghép cặp hay hai mẫu?

Trước hết hãy xác định dữ liệu được thu thập như thế nào. Hai phép đo trên mỗi cá thể, hay các cặp dữ liệu ghép cặp, cần dùng kiểm định t ghép cặp trên các hiệu; hai nhóm độc lập cần dùng kiểm định t hai mẫu.

Với hai nhóm độc lập:

\begin{aligned}&H_0\!: \mu_1 - \mu_2 = 0 \\ &H_a\!: \mu_1 - \mu_2 > 0,\ < 0 \text{ or } \ne 0\end{aligned}

trong đó cần xác định μ₁ và μ₂ theo ngữ cảnh và nói rõ số nào trừ số nào. Với dữ liệu ghép cặp, tham số là hiệu trung bình duy nhất μ_d.

Vì sao điều này quan trọng. Tốc độ đọc của 7.5, bị xử lí sai như hai mẫu độc lập:

	SE	t	giá trị p
ghép cặp (đúng)	2.31	4.29	0.0006
hai mẫu (sai)	13.30	0.75	0.232

Cùng các trung bình, cùng hiệu 9.92. Nhưng các học sinh khác nhau nhiều hơn hẳn (s ≈ 31 từ mỗi phút) so với mức thay đổi của từng học sinh (s_d = 8.01). Phép phân tích hai mẫu coi toàn bộ độ phân tán giữa các học sinh là nhiễu; ghép cặp loại bỏ nó. Trong hình, khoảng màu xanh là phép phân tích sai, khoảng màu đỏ là phép phân tích đúng.

Thủ tục hai mẫu cũng đòi hỏi các nhóm phải độc lập, mà điểm trước và sau của cùng một học sinh thì không độc lập.

7.9 · Thực hiện kiểm định cho μ₁ − μ₂

kiểm định t hai mẫu

Thống kê kiểm định là hiệu của các trung bình mẫu, trừ đi giá trị của nó dưới H₀, tính theo số sai số chuẩn.

Người đánh giá ở 7.6 đã hỏi trước xem nhãn hiệu A có dùng được lâu hơn không. H₀: μ_A − μ_B = 0, H_a: μ_A − μ_B > 0, trong đó mỗi μ là tuổi thọ trung bình thực của nhãn hiệu đó trong chiếc đèn pin này, ở mức α = 0.05.

\begin{aligned}t &= \frac{(\bar{x}_A - \bar{x}_B) - 0}{\sqrt{\dfrac{s_A^2}{n_A} + \dfrac{s_B^2}{n_B}}} \\ &= \frac{11.94 - 10.68}{0.460} = 2.74\end{aligned}

Với df = 24.0 (công nghệ), giá trị p là P(t ≥ 2.74) = 0.0057, phần đuôi màu đỏ (được phóng to ở góc); với df = 11 thận trọng thì là 0.0096. Dù thế nào nó cũng nhỏ hơn 0.05.

Kết luận: bác bỏ H₀. Có bằng chứng thuyết phục rằng pin nhãn hiệu A dùng được lâu hơn pin nhãn hiệu B trung bình trong chiếc đèn pin này.

Đừng gộp hai độ lệch chuẩn: chương trình AP dùng sai số chuẩn không gộp ở trên. Và đừng chạy hai kiểm định một mẫu rồi so sánh chúng: câu hỏi là về hiệu, nên phương pháp cũng phải như vậy.

7.10 · Chọn thủ tục

lựa chọn, thực hiện và trình bày

Phần lớn công việc nằm ở việc chọn đúng quy trình. Hãy hỏi theo thứ tự: tham số thuộc loại nào, có bao nhiêu mẫu, và cần ước lượng hay kiểm định?

Trung bình hay tỉ lệ? Dữ liệu định lượng (mỗi cá thể có một số đo) dẫn đến trung bình μ và t. Dữ liệu định tính (có hoặc không) dẫn đến tỉ lệ p và z (Chương 6). Với trung bình ta dùng t vì σ được ước lượng bằng s.

Một mẫu, mẫu cặp hay hai mẫu? Dữ liệu cặp là một mẫu gồm các hiệu. Hai mẫu độc lập, hoặc hai nhóm xử lí, dùng các quy trình hai mẫu.

Khoảng tin cậy hay kiểm định? “Ước lượng” hoặc “bao nhiêu” cần một khoảng tin cậy; “có bằng chứng thuyết phục không” cần một kiểm định.

quy trình	sai số chuẩn	df
t một mẫu	s/√n	n − 1
t mẫu cặp	s_d/√n	n − 1 (số cặp)
t hai mẫu	√(s₁²/n₁ + s₂²/n₂)	dùng công nghệ, hoặc lấy n − 1 nhỏ hơn

Sau đó trình bày, theo bốn bước: Nêu tham số và các giả thuyết (hoặc mức tin cậy) trong ngữ cảnh; Lập kế hoạch: gọi tên quy trình và kiểm tra các điều kiện ngẫu nhiên, 10% và chuẩn/mẫu lớn; Thực hiện: thống kê kiểm định, df và giá trị p hoặc khoảng tin cậy; Kết luận trong ngữ cảnh, gắn với α, không khẳng định vượt quá những gì thiết kế cho phép.