Statistics · AP Statistics
Inferência para inclinações
a tendência é real?
Uma reta de mínimos quadrados descreve uma amostra. A inferência pergunta o que essa reta diz sobre a reta de toda a população.
Um professor sorteia 18 alunos e anota quantas horas cada um estudou para uma prova e a nota que cada um tirou. Quanto mais horas, maior a nota, em geral. Mas a tendência é real, ou uma amostra tão pequena poderia mostrá-la por acaso?
A figura constrói uma população em que a resposta é conhecida. A reta preta é a sua reta de regressão populacional: a nota média para cada número de horas. Em cada x, as notas se distribuem normalmente em torno da reta (as curvas azuis). A nota de cada aluno é sorteada da curva correspondente às suas horas.
A reta vermelha é ajustada à amostra: inclinação b = 2.247, enquanto a inclinação da população é β = 2.5. Na prática, β nunca é conhecida, e b é tudo o que temos.
Este capítulo apresenta o modelo, mostra como b varia de amostra para amostra, verifica as condições, constrói um intervalo de confiança para β, testa se β = 0, lê tudo isso na saída do computador e termina com a escolha do procedimento certo entre todos os do curso.
uma distribuição normal de y em cada x
A inferência para uma inclinação pressupõe um modelo: para cada valor de x, as respostas y são normais, centradas em uma reta, com a mesma dispersão.
α, β e σ são parâmetros: o intercepto e a inclinação da reta de regressão populacional, e o desvio padrão de y em torno dela, o mesmo para todo x. Uma amostra estima cada um com uma estatística:
| parâmetro | estatística | na figura |
|---|
| α (intercepto) | a | 50 → 49.783 |
| β (inclinação) | b | 2.5 → 2.247 |
| σ (DP em torno da reta) | s | 9 → 9.834 |
| μy (média de y em x) | ŷ | α + βx → a + bx |
β é a variação na nota média para cada hora extra, entre todos os alunos da escola. Aqui β = 2.5: com 3 horas a média é 57.5, com 5 horas 62.5.
s estima σ a partir dos resíduos, dividindo por n − 2 porque dois números (a e b) foram estimados antes:
A pergunta por trás de todo teste deste capítulo: os pontos realmente se alinham, ou uma inclinação como b apareceria por acaso mesmo se β fosse 0?
a distribuição amostral de b
Outra amostra da mesma população dá outra reta e outra inclinação. As inclinações de todas as amostras possíveis formam a distribuição amostral de b.
Na figura, mantêm-se as mesmas 18 horas e sorteiam-se novas notas, 100 vezes. Cada reta ajustada (vermelha, depois cinza) se inclina um pouco diferente em torno da reta verdadeira, e cada inclinação cai no gráfico de pontos.
Quando o modelo vale, a distribuição amostral de b é normal, centrada em β (b é um estimador não viesado), com desvio padrão
em que σx é o desvio padrão dos valores de x (dividindo por n). As 100 inclinações têm média 2.47 e desvio padrão 0.83, próximos de 2.5 e 0.81.
O que torna b menos variável: menos dispersão em torno da reta (σ menor), mais dispersão em x (σx maior) e uma amostra maior. Espalhar os valores de x fixa melhor uma reta do que agrupá-los.
σ é desconhecido, então é substituído por s, e σx√n por sx√(n − 1). Isso dá o erro padrão da inclinação, e padronizar com ele dá uma distribuição t com n − 2 graus de liberdade:
LINER: linear, independent, normal, equal SD, random
O intervalo e o teste só são confiáveis quando o modelo se ajusta. Verifique cinco condições, cada uma com os dados, antes de qualquer conta.
| condição | como verificar |
|---|
| Linear | diagrama de dispersão aproximadamente reto; o gráfico de resíduos não mostra curva |
| Independente | amostragem sem reposição: n ≤ 10% da população |
| Normal | histograma ou gráfico de pontos dos resíduos: sem assimetria forte nem valores atípicos |
| Equal SD (DP igual) | gráfico de resíduos: sem formato de leque, mesma dispersão em todo x |
| Random (aleatória) | uma amostra aleatória ou um experimento aleatorizado |
Para os 18 alunos: o gráfico de resíduos (centro) é uma faixa sem padrão em torno de 0, sem curva e sem leque, então as condições de linearidade e de DP igual são atendidas. O histograma dos resíduos (direita) tem um pico e nenhuma assimetria forte; o maior resíduo é 21.2, cerca de 2.2 s, não é um valor atípico extremo. Os alunos formaram uma amostra aleatória, e 18 ≤ 10% dos 950 alunos da escola.
Erros comuns. Verifique a normalidade nos resíduos, não em x ou y. Não existe aqui uma regra “n ≥ 30” que perdoe um gráfico de resíduos assimétrico. Um gráfico de resíduos curvo significa que a inclinação é o resumo errado: nenhum intervalo resolve isso.
Coef, SE Coef, T, P, S e R-Sq
O software imprime a regressão em uma tabela padrão. Todo número de que este capítulo precisa está nela.
| Preditor | Coef | EP Coef | T | P |
|---|
| Constante | 49.783 | 4.749 | 10.48 | 0.000 |
| Horas | 2.247 | 0.883 | 2.55 | 0.022 |
| S = 9.834 R-Sq = 28.8% R-Sq(adj) = 24.4% |
Coef. A linha Constant dá o intercepto a; a linha com o nome da variável explicativa dá a inclinação b:
EP Coef de Hours é EPb = 0.883. T = Coef/EP Coef = 2.55: a estatística de teste para H0: β = 0. P = 0.022 é o seu valor-P bilateral.
S = s = 9.834: as notas reais costumam diferir da nota prevista em cerca de 9.8 pontos. R-Sq = r2: 28.8% da variação na nota é explicada pelo modelo linear com as horas. Então r = +√0.288 = 0.537, positivo como a inclinação.
Interpretando a inclinação: para cada hora adicional de estudo, a nota prevista aumenta cerca de 2.247 pontos.
Erros comuns. O T e o P da linha Constant testam α = 0, o que raramente vale a pena perguntar. S não é EPb. R-Sq(adj) não é necessário neste curso.
b ± t*·EPb, com n − 2 graus de liberdade
Um intervalo de confiança para β é a inclinação amostral mais ou menos uma margem de erro.
Calcule. Com n = 18, df = 16 e, para 95% de confiança, t* = 2.120. A partir da saída do software:
Conclua. Temos 95% de confiança de que o intervalo de 0.375 a 4.119 contém a inclinação da reta de regressão populacional que relaciona a nota no teste com as horas estudadas pelos alunos desta escola. Ou seja, a nota média aumenta entre 0.38 e 4.12 pontos para cada hora extra.
O nível de confiança diz respeito ao método: em amostras repetidas, cerca de 95% dos intervalos construídos assim contêm β. À direita, 24 de 25 intervalos de 25 amostras contêm. Um intervalo em particular contém β ou não contém.
A figura varia o nível de 80% a 99%: um nível maior exige um t* maior e dá um intervalo mais largo. Com 99%, t* = 2.921 e o intervalo é (−0.332, 4.826).
Uma resposta completa nomeia o procedimento (um intervalo t para a inclinação), verifica as condições, faz as contas e conclui no contexto.
a inclinação alegada está entre os valores plausíveis?
Os valores dentro de um intervalo de confiança são os valores plausíveis de β. Um valor alegado fora dele é evidência contra a alegação.
Existe uma relação? Se β = 0, a nota média não muda com as horas: não há relação linear. O 0 não está no intervalo de 95% (0.375, 4.119), e todos os valores dele são positivos. Assim, os dados dão evidência convincente de que β > 0: na população, mais horas estão associadas a notas médias maiores.
Com 99%, o intervalo é (−0.332, 4.826). Ele contém 0, então, nesse nível, 0 é plausível: a evidência não é forte o bastante para descartar a ausência de relação.
Uma alegação. Uma empresa de aulas particulares diz que cada hora extra de estudo vale 5 pontos em média. 5 está acima dos dois intervalos, então os dados dão evidência convincente contra a alegação: a verdadeira inclinação parece ser menor.
Um intervalo de C% e um teste bilateral com α = 1 − C concordam: o teste rejeita β = β0 exatamente quando β0 está fora do intervalo. O intervalo diz mais: quão grande a inclinação plausivelmente é.
Erros comuns. Um valor dentro do intervalo é plausível, não comprovado: “0 está no intervalo, então não há relação” está errado. E “há 95% de probabilidade de β estar no intervalo” também está errado: β é fixo; os 95% são a taxa de acerto do método.
H0: β = 0, contra a alternativa que você pretende mostrar
Um teste de significância para a inclinação pergunta se a inclinação amostral está longe demais de um valor hipotético, em geral 0, para ser atribuída ao acaso.
As hipóteses são sobre a inclinação populacional β, nunca sobre b:
H0: β = 0 diz que não há relação linear: a média de y é a mesma para todo x. Defina β no contexto: “a inclinação da reta de regressão populacional que relaciona a nota no teste com as horas estudadas por todos os alunos da escola”. Escolha Ha a partir da pergunta, antes de ver os dados.
O professor quer saber se nota e horas têm alguma relação linear, então Ha: β ≠ 0, com α = 0.05. O procedimento é um teste t para a inclinação, com as mesmas condições LINER, verificadas em 9.2.
Por que é preciso um teste. À direita está o mundo de H0: a reta verdadeira é horizontal, e as amostras são tiradas dela com as mesmas horas e a mesma dispersão que as nossas. Mesmo assim, as retas ajustadas se inclinam, por acaso. De 200 amostras assim, 3 tiveram uma inclinação tão acentuada quanto a nossa, 2.247, em qualquer direção. Nossa inclinação seria incomum se H0 fosse verdadeira.
H0 pode citar outro valor, β = β0, como uma inclinação alegada; o teste é o mesmo, com β0 no lugar de 0.
t = (b − β0)/SEb, e P a partir da distribuição t
A estatística de teste conta quantos erros-padrão a inclinação amostral está da inclinação hipotética.
com df = n − 2 = 16. A saída mostra T = 2.55, calculado a partir de b e SEb sem arredondar; qualquer um dos dois serve.
O valor P é a probabilidade, se H0 for verdadeira, de obter um t pelo menos tão distante. Ha é bilateral, então as duas caudas contam: P = 2P(t ≥ 2.55) = 0.022, como a saída mostra. Na figura, as amostras nulas de 9.4 lançam seus valores de t sobre a curva t; 4 de 200, 0.020, caem nas caudas vermelhas.
Interpretação. Supondo que não haja relação linear entre horas e nota na população, há uma probabilidade de 0.022 de obter, só por acaso, uma inclinação amostral pelo menos tão distante de 0 quanto 2.247.
Conclua. Como P = 0.022 < α = 0.05, rejeitamos H0. Há evidência convincente de uma relação linear entre as horas estudadas e a nota no teste para os alunos desta escola.
Erros comuns. Nunca “aceite H0”: não a rejeitamos. O valor P não é a probabilidade de H0 ser verdadeira. E esses alunos escolheram o próprio tempo de estudo: foi um estudo observacional, que mostra uma associação, não que estudar mais causa notas maiores. Só um experimento aleatorizado sustenta causa.
quando o P impresso não é a resposta
O T e o P da saída respondem a uma pergunta: um teste bilateral de β = 0. Outras perguntas exigem um pequeno passo a mais.
Unilateral. Para Ha: β > 0, o valor P é uma cauda. Quando b está do lado previsto por Ha, divida o P impresso por 2: 0.022/2 = 0.0110. Quando b está do outro lado, o valor P é 1 menos isso, e não há evidência a favor de Ha.
Outro β0. Para testar a alegação da empresa de aulas particulares, H0: β = 5 contra Ha: β < 5, calcule t à mão:
Com df = 16: há forte evidência de que a verdadeira inclinação é menor que 5, como o intervalo em 9.3 mostrou.
Teste e intervalo concordam. P = 0.022 < 0.05, e o intervalo de 95% deixa o 0 de fora. P = 0.022 > 0.01, e o intervalo de 99% inclui o 0.
Erros. Um erro do tipo I aqui seria concluir que horas e nota têm relação linear quando, na população, não têm; sua probabilidade é α. Um erro do tipo II seria deixar de perceber uma relação que existe. Amostras maiores, mais dispersão em x e um α maior tornam o erro do tipo II menos provável.
relacione o procedimento à pergunta
Cada procedimento do curso responde a um tipo de pergunta. Três perguntas sobre os dados indicam qual usar.
1. O que foi medido? Uma categoria para cada indivíduo (proporções, contagens), um número (médias) ou dois números para cada indivíduo (uma inclinação). 2. Quantas amostras ou grupos há, e eles são pareados? 3. Estimar ou testar? “Qual o tamanho…” ou “estime…” pede um intervalo; “há evidência convincente…” pede um teste.
| procedimento | quando |
|---|
| z para 1 proporção | uma variável categórica, uma amostra: p |
| z para 2 proporções | uma variável categórica, dois grupos: p1 − p2 |
| χ² de aderência | uma variável categórica, toda a sua distribuição contra uma alegação |
| t para 1 amostra | uma variável quantitativa, uma amostra: μ |
| t pareado | duas medidas em cada indivíduo: μdif |
| t para 2 amostras | uma variável quantitativa, dois grupos independentes: μ1 − μ2 |
| χ² de homogeneidade | uma variável categórica, várias amostras ou tratamentos separados |
| χ² de independência | duas variáveis categóricas em uma amostra |
| t para a inclinação | duas variáveis quantitativas, uma relação linear: β |
Pistas no enunciado: “proporção”, “porcentagem” → z; “média” → t; “relação” entre variáveis categóricas → χ²; entre variáveis quantitativas → a inclinação.
Erros comuns. Dados pareados analisados como duas amostras (as mesmas pessoas medidas duas vezes são pareadas). Confundir homogeneidade e independência: depende do planejamento, várias amostras ou uma. Uma pergunta sobre correlação pede o teste da inclinação, não um teste χ².
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