Inferência para médias · AP Statistics

Capítulo 7 · Inferência para médias

Procedimentos t para μ

Uma média amostral é uma boa estimativa da média populacional, mas só uma estimativa. A inferência para médias diz quão boa ela é, usando apenas a amostra.

A figura é uma simulação, então, desta vez, a verdade é conhecida: uma população com média μ = 250 e desvio padrão 5. Repetidamente, sorteia-se uma amostra aleatória de 10 e, só a partir de cada amostra, constrói-se um intervalo, x̄ ± t*·s/√n.

Os intervalos se movem junto com suas amostras. 19 desses 20 capturam μ; o que erra é vermelho. A longo prazo, 95% deles a capturam, e é isso que significa “95% de confiança”.

Neste capítulo: por que t e não z (7.1); intervalos de confiança e testes de significância para uma média (7.2–7.5), incluindo dados pareados; o mesmo para a diferença de duas médias (7.6–7.9); e como escolher um procedimento (7.10).

7.1 · As distribuições t

devo me preocupar com o erro?

Para padronizar x̄ precisamos de σ, que quase nunca conhecemos. Colocar o s da amostra no lugar dele dá uma estatística que varia mais que z: ela tem uma distribuição t.

Para uma amostra aleatória, x̄ tem média μ e desvio padrão σ/√n. Com s no lugar de σ, o erro padrão de x̄ é s/√n, e

t = \frac{\bar{x} - \mu}{s/\sqrt{n}}, \qquad df = n - 1

s também muda de amostra para amostra e, em uma amostra pequena, costuma ser pequeno demais; por isso t cai longe de 0 com mais frequência do que z cairia. Uma distribuição t é centrada em 0, simétrica e em forma de sino, com caudas mais pesadas que a normal padrão. Seus graus de liberdade definem sua forma: quando df cresce, s estima σ melhor e a curva se aproxima da normal.

df	2	5	10	15	30	100	∞ (z)
t* para 95%	4.303	2.571	2.228	2.131	2.042	1.984	1.960

Na figura: com df = 4, P(|t| > 2) = 0.116, contra 0.046 para z. Se usarmos z* = 1.96 com uma amostra pequena, os intervalos saem estreitos demais: eles capturam μ com menos frequência do que afirmam. O t* corrige isso.

O erro é sempre possível. Um intervalo pode não conter μ; um teste pode rejeitar uma hipótese nula verdadeira (erro do Tipo I) ou deixar de rejeitar uma falsa (Tipo II). Os métodos dizem com que frequência isso ocorre, nunca se ocorreu desta vez.

7.2 · Um intervalo de confiança para μ

estatística ± (valor crítico)(erro padrão)

Um intervalo t para uma amostra estima a média populacional μ a partir de uma amostra aleatória.

Uma máquina de café é regulada para servir 250 mL. Uma amostra aleatória de 16 copos (mL):

244.3	248.9	253.8	247.8	246.1	248.6	247.2	243.3
250.6	248.3	245.3	243.7	254.8	251.9	243.4	245.6

x̄ = 247.73 mL, s = 3.60 mL. Com df = 15, t* = 2.131 para 95% de confiança.

\begin{aligned}\bar{x} \pm t^*\frac{s}{\sqrt{n}} &= 247.73 \pm 2.131\cdot\frac{3.60}{\sqrt{16}} \\ &= 247.73 \pm 1.92 \\ &= (245.81,\ 249.64)\ \text{mL}\end{aligned}

Na figura, a bola azul é x̄, a haste escura é um erro padrão para cada lado e a haste vermelha é o intervalo inteiro: t* erros padrão para cada lado.

Interprete no contexto: temos 95% de confiança de que o intervalo de 245.81 a 249.64 mL captura o volume médio verdadeiro de todos os copos que esta máquina serve.

A margem de erro, t*·s/√n, cresce com o nível de confiança (90%: ±1.58; 99%: ±2.65) e diminui quando n cresce, como 1/√n: com quatro vezes a amostra, a margem cai pela metade.

7.2 · Verificando as condições

aleatoriedade, 10% e distribuição normal ou amostra grande

Um intervalo ou teste t só é confiável quando três condições são satisfeitas. Enuncie cada uma, no contexto, antes de calcular.

Aleatoriedade. Os dados vêm de uma amostra aleatória ou de um experimento aleatorizado.

10%. Na amostragem sem reposição, n ≤ 10% da população, de modo que as observações sejam quase independentes.

Normalidade/amostra grande. A população é aproximadamente normal, ou n ≥ 30. Se n < 30 e a forma da população é desconhecida, faça um gráfico da amostra: não pode haver assimetria forte nem valores atípicos.

A figura mostra três amostras na mesma escala.

	n	a amostra	Normal/grande?
A	12	aproximadamente simétrica, sem valores atípicos	sim
B	12	fortemente assimétrica à direita, 1 valor atípico	não
C	40	assimétrica à direita	sim, n ≥ 30

Em B, Q₁ = 2.40 e Q₃ = 6.15, então qualquer valor acima de 6.15 + 1.5(3.75) = 11.78 é atípico: 13.7 é. Com apenas 12 valores, x̄ e s são puxados por ele, e o procedimento t não é seguro. C também é assimétrica, mas com 40 valores o teorema central do limite deixa a distribuição amostral de x̄ próxima da normal.

Para os copos de café, 16 < 30, mas o gráfico de pontos não mostra assimetria forte nem valores atípicos, então o intervalo de 7.2 é válido.

7.3 · Justificando uma afirmação com um intervalo

os valores plausíveis de μ

Um intervalo de confiança dá os valores plausíveis de μ. Um valor afirmado fora dele não é plausível; um valor dentro dele é plausível, mas não está provado.

O fabricante da máquina afirma que ela serve 250 mL em média. O intervalo de 95%, de 245.81 a 249.64 mL, não contém 250 (a reta azul). Todos os valores plausíveis estão abaixo dele: o intervalo dá evidência convincente de que a máquina serve menos de 250 mL em média.

Com 99% de confiança, o intervalo vai de 245.07 a 250.38 mL. Esse sim contém 250, então, nesse nível, a afirmação é plausível. Mais confiança significa um intervalo mais largo e menos valores descartados.

O que significa “95% de confiança”. O método captura μ em 95% de todas as amostras aleatórias possíveis, como na figura de abertura. Este intervalo específico captura μ ou não captura; não sabemos qual.

Erros comuns.

“Há 95% de probabilidade de que μ esteja entre 245.81 e 249.64.” Não: μ é fixo; a probabilidade pertence ao método.
“95% dos copos contêm entre 245.81 e 249.64 mL.” Não: o intervalo é para a média, não para copos individuais, que variam muito mais.
“250 está no intervalo de 99%, então a média é 250.” Não: é apenas um de muitos valores plausíveis.

7.4 · Montando um teste para μ

hipóteses sobre uma média populacional

Um teste t para uma amostra pergunta se uma amostra dá evidência convincente contra um valor afirmado μ₀ para a média populacional.

Um inspetor de qualidade verifica se a máquina está fora do alvo, em qualquer direção:

H_0\!: \mu = 250 \qquad H_a\!: \mu \ne 250

em que μ é o volume médio verdadeiro, em mL, de todos os copos que a máquina serve. As hipóteses são sobre o parâmetro μ, nunca sobre x̄, e são escolhidas antes de olhar os dados. Se só importasse servir de menos, H_a: μ < 250 seria unilateral.

O nível de significância, α = 0.05, também é escolhido antes: é a probabilidade de um erro do Tipo I, rejeitar H₀ quando ela é verdadeira.

As condições são as do intervalo: uma amostra aleatória; 16 copos é menos de 10% de todos os copos servidos; nenhuma assimetria forte ou valor atípico na amostra, já que 16 < 30.

A pergunta que o teste responde: a média amostral, 247.73 mL (azul), está abaixo de 250. Está abaixo o suficiente, contado em erros padrão, para que o acaso seja uma explicação improvável?

7.5 · Realizando um teste para μ

a estatística t e seu valor-p

A estatística de teste conta quantos erros padrão x̄ está de μ₀. O valor-p é a chance de um resultado pelo menos tão extremo se H₀ fosse verdadeira.

\begin{aligned}t &= \frac{\bar{x} - \mu_0}{s/\sqrt{n}} = \frac{247.73 - 250}{3.60/\sqrt{16}} \\ &= -2.53, \quad df = 15\end{aligned}

Para H_a: μ ≠ 250, as duas caudas contam (vermelho): valor-p = 2P(t ≤ −2.53) = 0.023.

Conclua no contexto. Como 0.023 < α = 0.05, rejeitamos H₀. Há evidência convincente de que o volume médio verdadeiro de todos os copos que esta máquina serve não é 250 mL.

Interprete o valor-p: supondo que a média verdadeira seja 250 mL, há probabilidade 0.023 de obter uma média amostral pelo menos tão distante de 250 quanto 247.73 mL, em qualquer direção, apenas por acaso, em uma amostra aleatória de 16 copos.

O teste concorda com o intervalo de 95% de 7.3, que deixou 250 de fora: um teste bilateral com α = 0.05 rejeita exatamente os valores que um intervalo de 95% deixa de fora. Com α = 0.01 não rejeitaríamos, pois 250 está no intervalo de 99%.

Não rejeitar nunca mostra que H₀ é verdadeira; só diz que a evidência não é convincente.

7.5 · Dados pareados

uma amostra de diferenças

Quando cada indivíduo é medido duas vezes, ou os indivíduos formam pares emparelhados, analise as diferenças: elas formam uma única amostra, e os procedimentos t para uma amostra se aplicam a elas.

12 estudantes escolhidos ao acaso fazem um teste de velocidade de leitura (palavras por minuto) antes e depois de um curso curto. Na figura, cada estudante é uma barra que liga o antes (cinza) ao depois (preto). As barras deslizam para começar em 0, e seus comprimentos são as diferenças d = depois − antes:

antes	208	135	209	170	169	245	195	160	230	207	212	195
depois	213	133	229	183	177	260	203	171	226	231	223	205
d	5	−2	20	13	8	15	8	11	−4	24	11	10

x̄_d = 9.92, s_d = 8.01. Teste H₀: μ_d = 0 contra H_a: μ_d > 0, em que μ_d é o verdadeiro ganho médio dos estudantes como estes.

\begin{aligned}t &= \frac{\bar{x}_d - 0}{s_d/\sqrt{n}} = \frac{9.92}{8.01/\sqrt{12}} \\ &= 4.29, \quad df = 11\end{aligned}

valor p = 0.0006: há evidência convincente de que o curso aumenta a velocidade média de leitura. O intervalo de 95% para μ_d vai de 4.83 a 15.00 palavras por minuto (vermelho).

As condições são verificadas nas diferenças: uma amostra aleatória, 12 < 10% de todos os estudantes desse tipo e, como 12 < 30, um gráfico de pontos das diferenças sem assimetria forte nem valores discrepantes.

7.6 · Um intervalo de confiança para μ₁ − μ₂

duas amostras independentes

Para comparar as médias de duas populações (ou dois tratamentos), use o intervalo t para duas amostras para μ₁ − μ₂.

Um avaliador testa amostras aleatórias de duas marcas de pilha na mesma lanterna (horas de luz):

	n	x̄ (h)	s (h)
marca A	14	11.94	1.27
marca B	12	10.68	1.07

\begin{aligned}SE &= \sqrt{\frac{s_1^2}{n_1} + \frac{s_2^2}{n_2}} \\ &= \sqrt{\frac{1.27^2}{14} + \frac{1.07^2}{12}} = 0.460 \\[4pt] &(\bar{x}_1 - \bar{x}_2) \pm t^*\,SE \\ &= 1.26 \pm 2.064(0.460) \\ &= (0.31,\ 2.21)\ \text{h}\end{aligned}

Graus de liberdade. A tecnologia usa uma fórmula que aqui dá df = 24.0, portanto t* = 2.064. Sem ela, a escolha conservadora é o menor n − 1 = 11, t* = 2.201: um intervalo um pouco mais largo, (0.25, 2.27). Diga qual você usou.

Condições: duas amostras aleatórias independentes (ou dois grupos formados por atribuição aleatória); cada n ≤ 10% de sua população; cada n ≥ 30, ou nenhuma das amostras mostra assimetria forte nem valores discrepantes.

Interprete: temos 95% de confiança de que o intervalo de 0.31 a 2.21 horas contém a verdadeira diferença entre as durações médias das pilhas, marca A menos marca B.

7.7 · Justificando uma afirmação sobre μ₁ − μ₂

onde o 0 se encaixa?

Para uma diferença de médias, o valor a procurar geralmente é 0: nenhuma diferença. Se 0 está fora do intervalo, o intervalo dá evidência convincente de uma diferença.

Afirmação 1: a marca A dura mais, em média. Todos os valores de 0.31 a 2.21 horas são positivos, então 0 não é plausível: há evidência convincente de que μ_A − μ_B > 0, isto é, de que a marca A dura mais, em média.

Afirmação 2: a marca A dura pelo menos 2 horas a mais, em média. 2 está dentro do intervalo, então é plausível, mas também são plausíveis valores bem abaixo dele, até 0.31. O intervalo não dá evidência convincente a favor dessa afirmação (nem contra).

Leia o sinal junto com a ordem da subtração. A − B de 0.31 a 2.21 é o mesmo que B − A de −2.21 a −0.31.

A conclusão é sobre as médias das populações amostradas. Se os dados viessem de um experimento aleatorizado, seria também sobre causa e efeito; de amostras aleatórias, não é.

7.8 · Montando um teste para μ₁ − μ₂

pareado ou duas amostras?

Primeiro, decida como os dados foram produzidos. Duas medidas em cada indivíduo, ou pares emparelhados, pedem um teste t pareado nas diferenças; dois grupos independentes pedem um teste t para duas amostras.

Para dois grupos independentes:

\begin{aligned}&H_0\!: \mu_1 - \mu_2 = 0 \\ &H_a\!: \mu_1 - \mu_2 > 0,\ < 0 \text{ or } \ne 0\end{aligned}

definindo μ₁ e μ₂ no contexto e dizendo qual é subtraída de qual. Para pares, o parâmetro é a única diferença média μ_d.

Por que importa. As velocidades de leitura de 7.5, tratadas erradamente como duas amostras independentes:

	SE	t	valor p
pareado (certo)	2.31	4.29	0.0006
duas amostras (errado)	13.30	0.75	0.232

Mesmas médias, mesma diferença 9.92. Mas os estudantes diferem uns dos outros muito mais (s ≈ 31 palavras por minuto) do que qualquer estudante muda (s_d = 8.01). A análise de duas amostras conta toda essa variação entre estudantes como ruído; o emparelhamento a elimina. Na figura, o intervalo azul é a análise errada e o vermelho, a certa.

O procedimento de duas amostras também exige que os grupos sejam independentes, e as notas de antes e depois de um mesmo estudante não são.

7.9 · Realizando um teste para μ₁ − μ₂

o teste t para duas amostras

A estatística de teste é a diferença das médias amostrais, menos seu valor sob H₀, contada em erros padrão.

O avaliador de 7.6 perguntou de antemão se a marca A dura mais. H₀: μ_A − μ_B = 0, H_a: μ_A − μ_B > 0, em que cada μ é a verdadeira duração média daquela marca nesta lanterna, com α = 0.05.

\begin{aligned}t &= \frac{(\bar{x}_A - \bar{x}_B) - 0}{\sqrt{\dfrac{s_A^2}{n_A} + \dfrac{s_B^2}{n_B}}} \\ &= \frac{11.94 - 10.68}{0.460} = 2.74\end{aligned}

Com df = 24.0 (tecnologia), o valor p é P(t ≥ 2.74) = 0.0057, a cauda vermelha (ampliada no canto); com o df = 11 conservador, é 0.0096. De qualquer forma, é menor que 0.05.

Conclua: rejeite H₀. Há evidência convincente de que as pilhas da marca A duram mais, em média, que as da marca B nesta lanterna.

Não combine (agrupe) os dois desvios padrão: o curso AP usa o erro padrão não combinado acima. E não faça dois testes de uma amostra para compará-los: a pergunta é sobre a diferença, então o procedimento também deve ser.

7.10 · Escolhendo um procedimento

escolher, executar e comunicar

Grande parte do trabalho está na escolha. Pergunte, em ordem: que tipo de parâmetro, quantas amostras, e estimar ou testar?

Média ou proporção? Dados quantitativos (uma medida para cada indivíduo) levam a uma média μ e a t. Dados categóricos (sim ou não) levam a uma proporção p e a z (Capítulo 6). Médias usam t porque σ é estimado por s.

Uma amostra, pareada ou duas amostras? Dados pareados são uma amostra de diferenças. Duas amostras independentes, ou dois grupos de tratamento, usam os procedimentos de duas amostras.

Intervalo ou teste? “Estime” ou “quanto” pede um intervalo; “há evidência convincente” pede um teste.

procedimento	erro padrão	df
t para uma amostra	s/√n	n − 1
t pareado	s_d/√n	n − 1 (pares)
t para duas amostras	√(s₁²/n₁ + s₂²/n₂)	tecnologia, ou o menor n − 1

Depois comunique, em quatro passos: Declare o parâmetro e as hipóteses (ou o nível de confiança) no contexto; Planeje: nomeie o procedimento e verifique aleatoriedade, 10% e amostra normal/grande; Faça: a estatística, df e valor p ou intervalo; Conclua no contexto, ligado a α, sem afirmar mais do que o planejamento permite.